Aspects of Zeta-Function Theory in the Mathematical Works of Adolf Hurwitz

“Für das Wintersemester 1981/1982 bezog er als junger Doktor nochmals die Universität Berlin, um sich bei Weierstraß und Kronecker, zu denen er auch in persönliche Beziehung trat, noch weiter zu vervollkommnen. Weierstraß interessierte sich besonders für seine Dissertation und seine funktionentheoretischen Bestrebungen, auch gab er ihm das Thema für die Habilitation daselbst…”, [96, p. 6]; this translation from the original German quotation to English as well as those in the sequel are due to the authors; we have neither corrected the German language to the grammar used nowadays nor have we tried to translate into old-fashioned English. The mentioned university is the Humboldt University, before 1949 called Friedrich-Wilhelms-Universität.

Even stronger is a statement of Ida Samuel-Hurwitz about anti-Semitism at Leipzig University during Hurwitz’s lifetime: “Obgleich sein mangelhafter Gesundheitszustand natürlich bekannt war, trachtete man in Deutschland mehrfach, ihn wieder dorthin zu ziehen. Als gleichwertig mit seinem Zürcher Lehrstuhl, den nacheinander eine Reihe der hervorragendsten Mathematiker bekleidet hatten, konnten freilich nur Berlin, München und Leipzig in Frage kommen. An die letzte Universität war die Berufung eines Juden ausgeschlossen; für Berlin war er bei Vakanz an erster Stelle vorgeschlagen. Von Göttingen war natürlich öfters die Rede, doch scheute er einerseits den mathematischen Betrieb dort, während ihm andererseits die Kleinstadt unsympatisch war.” [96, p. 11]. English translation: “Although his defective health was known there were attempts to get him back to Germany. As equivalent to his Zurich chair only Berlin, Munich and Leipzig could be considered. To fill a vacant professorship with a Jew at the latter university was impossible; for Berlin he was recommend for the first place in case of a vacancy. Of course, Göttingen was often under discussion, but on one side he disliked the mathematical business there, on the other side he considered the small town unsympathetic.”

“Augenblicklich bin ich auf Pfingsten zu Besuch zu Hause, was ich mir um so eher erlauben kann, als Hildesheim von Göttingen aus in 2 Stunden per Eisenbahn zu erreichen ist. (…) In Göttingen führe ich ein sehr angenehmes Leben. Prof. H.A. Schwarz ist sehr nett gegen mich und Dr. v. Mangoldt, welcher ebenfalls Privatdoc. für Mathematik ist, ist ein sehr nobler Character. Ferner sind von Mathemat. in Göttingen noch Prof. Stern und Prof. Schering.”

Euler’s approach has led to a powerful tool in theoretical physics, called regularization; it was Stephen Hawking [42] in 1977 who was the first to use the Riemann zeta-function by this method in order to compute certain quantities in quantum field theory.

It should be noted that Euler used slightly different notation. For more details on Euler’s work we refer to Weil [112].

According to Landau [58], the only other mathematician to have noticed Euler’s work on this topic had been Cahen [9]. This statement is refuted by Malmstèn [70], nevertheless some of Euler’s works were probably not easily accessible in this time. Only the era of mathematical journals made an easy exchange of mathematical ideas possible.

It was shown by Hamburger [38] that a functional equation of the Riemann-type is equivalent to both, the Poisson summation formula and a theta-function transformation formula.

There is something funny about his birthplace: Dirichlet was born in Düren, in between Aachen and Cologne, and the house his mother gave birth is Weierstraße 17; notice that Straße is German for street and the mathematician and contemporary Karl Weierstrass is written Weierstraß in German.

See [6] for their intensive exchange of letters.

Once again the Humboldt University, formerly Friedrich Wilhems University.

It has been observed by Minkowski [74, p. 456] that already in Gauß’ estate one can find a note from 1801 about the class number formula about 40 years previous to Dirichlet, however, a proof is missing; moreover, the Disquisitions [30, p. 369 and 466] contain formulae for sums of class numbers without a proof which was first delivered by Siegel [107].

This periodical was only the third one published in Germany after the renowned Crelle journal established in 1826 and run by the Berlin mathematical school, and the less known Archiv für Mathematik und Physik founded in 1841 by Johann August Grunert in Greifswald. According to Koch [56], the reputation of Schlömilch’s journal was not very good.

The quotation “Eisenstein stopped at formal computation” (resp. in German: “Eisenstein sei bei der formellen Rechnung stehengeblieben”) is credited to Riemann; cf. Laugwitz [63, p. 21].

Where around 1896 also Julius Hurwitz, the less famous brother of Adolf Hurwitz, was lecturing for a couple of years; see Oswald and Steuding [78] for details of Julius’ interesting life and career.

It is interesting to read Kinkelin’s comment on what is nowadays called the Riemann hypothesis: “The last two equations seem to be satisfied simultaneously only if its root s is of the form \(1/2 +\tau \sqrt{-1}\); indeed a rigorous proof of this remark has not been given so far (cf. Riemann)”; the German original is: “Die beiden letzten Gleichungen scheinen nur dann gleichzeitig nebeneinander bestehen zu können, wenn ihre Wurzel s von der Form \(1/2 +\tau \sqrt{-1}\) ist; indessen ist der strenge Beweis dieser Bemerkung noch nicht gelungen (cf. H. Riemann a.a.O.).” [55, p. 18].

“(…) gelangte ich zu allgemeinen Formeln, die von gleicher Einfachheit sind, wie die von Schlömilch und Riemann gegebenen, und dieselben überdies als spezielle Fälle enthalten. Diese allgemeinen Formeln dürften um so mehr ein Interesse beanspruchen, als sie sich auf eben die Functionen beziehen, die bei den tiefen Untersuchungen Dirichlet’s über die Anzahl der Klassen binärer quadratischer Formen und über die in einer arithmetischen Reihe enthaltenen Primzahlen eine wichtige Rolle spielen.”, [46, p. 73/74].

“Unendlich habe ich mich gefreut mit einem Briefe von Dir empfangen zu werden; auch Deinen letzten Brief mit Deiner Photographie (Die Leute sind dumm, sie gehen und lassen sich photografiren) habe ich erhalten”, [4, p. 77].

In the subsequent paper [79] the authors investigated the Hurwitz estate further and found interesting details concerning Hurwitz’s approach to zeta-functions associated with quadratic forms.

“Dein Spürsinn hat die richtige Verallgemeinerung getroffen; ich hatte allerdings auch ein paar Tage nach der Absendung meines vorigen Briefes dieselbe Idee, da mich der leicht zu behandelnde Fall einer Primzahl mit Nothwendigkeit darauf führte. Ich theile Dir nun heutige die fertigen Resultate mit…”, [4, p. 74].

Such integrals are now called Hankel integrals in honor of Riemann’s pupil Hermann Hankel who used them in his studies [39] of the Gamma-function (although already Riemann [93] used them earlier).

“Mein gesellschaftliches Leben ist durch die Musik ein sehr reges. Ich begleite meine Freundinnen zum Gesang und spiele mit Ihnen (Du brauchst nichts Schlechtes zu denken). Neulich haben wir sogar 8-händig auf 2 Claviren musicirt: 3 Damen und ich. Den Aufsatz von Lipschitz kenne ich nicht und leider kann ich mir denselben hier auch nicht verschaffen. Von Berlin aus kann ich Dir über denselben berichten, wenn es dann für Dich noch Werth hat,” [4, p. 76].

Or Matyáš Lerch in Czech; Lerch started school only at the age of 9 years because of a severe injury of his left leg, a handicap he suffered for the rest of his life. For details of his unfortunate career and difficult character we refer to Porubský [92].

In 1889, Alfred Jonquiere [54] obtained the analogue of Hurwitz’s formula for the polylogarithm, however, Lerch’s result is more general.

“Um aus diesen Formeln Vortheil für die Classenzahlen zu gewinnen, müsste man den entspr. Zusammenhang für die erforschen.”

At least, Hurwitz is not mentioned in Scharlau’s list [98] of letters Lipschitz had received from his contemporaries. There is also no correspondence between Lipschitz and Hurwitz in the latter one’s estate, neither in Zurich nor in the archive of the Staats- und Universitätsbiliothek Göttingen where most of his letters are stored.

“Sehr verehrter Herr Geheimrat! Herr Minkowski hat mich schon vor einiger Zeit darauf aufmerksam gemacht, daß meine Abhandlung über die Dirichlet’schen Reihen in enger Beziehung zu Ihrem im 54 ten Bande des Crelle’schen Journals publizierten Aufsatz steht. Leider war mir dieser Aufsatz zur Zeit als ich jene Abhandlung schrieb nicht bekannt, so daß ich es unterließ auf denselben Bezug zu nehmen. Neuerdings waren Sie so freundlich mir Ihre denselben Gegenstand betreffende Abhandlung ‘Untersuchung der Eigenschaften einer Gattung von unendlichen Reihen’ zuzusenden. Ich möchte Ihnen hierfür meinen herzlichen Dank aussprechen und mir zugleich erlauben, Ihnen einige weitere Resultate mitzutheilen, welche ich im Anschluß an meine Arbeit über die D. Reihen vor längerer Zeit erhalten habe. Durch die Beschäftigung mit anderen Fragen bin ich immer wieder von der sorgfältigen Durcharbeitung dieser Untersuchungen abgezogen worden, und ich weiß deshalb nicht, ob die Bedingungen welchen ich die eingef. Größen unterwerfe sämtlich nothwendig sind. Die Sätze welche ich gefunden habe beziehen sich auf die Function Hier bedeuten u ₁, … u _p , v ₁, … v _p  2p reelle Größen; die Summation bezieht sich auf alle positiven und negativen ganzzahligen Werthe von n ₁, n ₂, … n _p , wobei jedoch falls u ₁, u ₂, … u _p ganzzahlige Werthe besitzen die Combination n ₁ = −u ₁, n ₂ = −u ₂, … n _p  = −u _p auszuschließen ist. Ferner bedeutet φ(x ₁, x ₂, … x _p ) eine positive quadratische Form, deren Determinante (unbeschadet der Allgemeinheit) gleich 1 angenommen wird. Die Summe convergirt bisher für alle Werthe von s deren reeller Best. größer als \(\frac{p} {2}\) ist. Die Function f(s) läßt sich über die ganze complexe Zahlenebene fortsetzen und es zeigt sich dabei, daß diese Function in der ganzen complexen Zahlenebene eindeutig ist und nur für s = 0 und s = p∕2 von der ersten Art unendlich ist. Bildet man nun die Function wo ϕ die zu φ adjungirte Form bezeichnet, so hat die Function F(s) denselben analytischen Charakter wie f(s) und es ist Indem ich Ihnen angenehme F. wünsche, verbleibe ich mit freundlichen Grüßen. Ihr ganz ergebener A. Hurwitz” Notice that we have not copied scratched formulae or fragments of sentences. The abbreviation ‘F.’ might stand for ‘Ferien’ meaning ‘holidays’, so we have used the letter ‘h.’ in our translation.

“Dem entsprechend existirt für die von Herrn Lipschitz untersuchte Function—die allgemeinste bisher betrachtete ‘Zeta’-function—eine Integraldarstellung mit Hülfe einer unendlichen Thetareihe mit beliebiger Charakteristik. Diesem Gedankengange folgend definiren wir als allgemeine Zetafunction p ^ter Ordnung eine p-fach unendliche Reihe, welche in gleicher Weise eine Verallgemeinerung der Riemann’schen ζ-function darstellt, wie die allgemeine Thetareihe p ^ter Ordnung gegenüber der elliptischen Thetareihe. Dass diese Erweiterung der Zetafunctionen naturgemäss ist, zeigt sich vor allem darin, dass sich der oben angeführte Riemann’sche Satz über die Function ζ(s) in überraschend einfacher Weise auf die allgemeinste Zetafunction übertragen lässt.” [22, p. 616].

In a subsequent paper the authors intend to investigate the Hurwitz estate further in order to find details about his approach to zeta-functions associated with quadratic forms.

In 1897, Minkowski married Auguste Adler from Strasbourg, the place where Epstein obtained his doctorate in 1895 (advised by Elwin Christoffel) and remained as docent until 1919 when he received the call of the recently founded university in his native town of Frankfurt/Main. As a matter of fact, Minkowski was frequently visiting his brother and famous physician Oskar at Strasbourg starting from 1889 as we know from Hermann Minkowski’s letters to Hilbert [75]; during some of these visits Minkowski got in touch with the mathematicians at Strasbourg University and Christoffel in particular (see [75, p. 34 and 36]). A word about Frankfurt University, too. This institution was founded in 1914, mainly by donations of the Jewish community of Frankfurt, but the Jew Epstein was driven to commit suicide under the Nazi regime. Actually, all members of the Frankfurt Mathematical Seminar except Siegel lost their positions.

Actually, Riemann wrote that it is “very likely” that all these zeros lie on a line; he did neither announce this comparable to his other claims nor did he formulate it as a conjecture. Nowadays we can only speculate whether Riemann knew about the arithmetical consequences of such a zero distribution.

”Die vorliegende Abhandlung ist die weitere Ausführung einer Arbeit, die von der Akademie der Wissenschaften zu Paris mit dem grossen mathematischen Preise gekrönt worden ist. Dem Umstande, dass der Verfasser nur eine beschränkte Zeit zur Verfügung hatte, ist es wohl zuzuschreiben, dass die Abfassung der Abhandlung dem Verständnisse manche Schwierigkeiten bereitet. So muss beispielsweise der Beweis des Hauptsatzes im ersten Teile der Arbeit anders angeordnet werden, um bindende Kraft zu erhalten. Diese Ausstellung betrifft indessen nur die äussere Form der Arbeit; inhaltlich darf dieselbe wohl als eine der bedeutendsten functionentheoretischen Arbeiten der letzten Jahre bezeichnet werden.”

Which was founded as early as 1868 by Carl Orthmann and Felix Müller and served as pre-runner of Mathematical Reviews and Zentralblatt until 1942; now its many reviews are included into the Zentralblatt data bank.

The Lerch pupil Michel Plancherel was chosen to inherit Hurwitz’s chair, not Pólya although he was considered as outstanding mathematician by none less than Hilbert and Hadamard; see Frei and Stammbach [27, p. 51] for details.

And may have been also an inspiration for the book [91] of Pólya & Szegö.

Since in Hurwitz’s last diary one can find some notes from 1918 about Arthur Cayley’s studies of counting trees, namely alkane C _n H _2n+2 with certain restrictions, one could speculate whether this might have been an inspiration for Pólyas celebrated enumeration theory.

See Iwaniec [52] for a recent presentation.

It is interesting to notice that around the same time Carl Ludwig Siegel was investigating Riemann’s estate in Göttingen; his study [106] has changed the impression many contemporaries had about Riemann’s approach to number theory.

According to Narkiewicz [77], p. 258, Jensen’s formula was essentially known by Carl Gustav Jacobi already in 1827.

“Dies alles in einigen kleinen Heften und an einer grossen Anzahl von losen Blättern, so dass in den allermeisten Fällen unmöglich festzustellen ist, in welcher Reihenfolge und zu welchem Datum die Aufzeichnungen entstanden sind. Wie aus dieser Schilderung hervorgeht, erlaubt der Zustand des Nachlasses nicht, dessen Inhalt mit Sicherheit festzustellen.”

“I ist in JV (S. 188), II und III sind in JN öfters hervorgehoben. Für II und IV vgl. P ₃. II und III waren (nebst der in Nr. 6 im Anschluss an Satz III hervorgehobenen Konsequenzen) mehreren mit mir befreundeten Mathematikern bekannt; beide kommen in den Tagebüchern von A. Hurwitz (aufbewahrt in der Bibliothek der Eidg. Technischen Hochschule in Zürich) unter dem Datum 1899 vor,” [87, p. 11]. Here P ₃ is an abbreviation for [85].

Which probably was unknown to him and better should be named after Augustin Louis Cauchy as already Eugène Rouché had remarked; see Bottazini and Gray [7] for details.

“Der Beweis dieses Satzes pflegt man nach Poisson’s Vorgang auf eine Integralformel zu gründen…”; [47, p. 246].

“Die Richtigkeit dieses Beweises kann angezweifelt werden; ich bin der Ansicht, dass der Beweis ohne wesentliche Aenderungen des Gedankenganges lückenlos zu führen ist. Der hier gegebene Beweis ist von der Richtigkeit des Laguerreschen völlig unabhängig, und beruht auf einer ganz anderen Grundlage.”, [82, p. 280].

“Eine hübsche Anwendung des Biehler’schen Satzes fiel mir vergangene Nacht ein.”

See the correspondence [89] between Andrew Odlyzko and Pólya on this topic.

Actually, the notion of an L-function is usually used for zeta-functions having an Euler product. An axiomatic setting for such arithmetically relevant Dirichlet series was provided by Atle Selberg [105]. It is legend that the letter “L” is chosen with respect to Dirichlet’s given name “Leujene.”

“Wohl wird noch in den Tagbüchern manches hübsche Einzelresultat, mancher entwicklungsfähige Anregungskeim zu finden sein…”; [90, p. 7.].