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2025 | Buch

Aspekte der Mathematik

Ein Buch zum Entdecken und Weiterdenken

verfasst von: Ghislain Fourier, Verity Mackscheidt, Petra Schwer

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Entdecken Sie eine faszinierende Sammlung von Themen und Projekten aus zehn unterschiedlichen Bereichen der Mathematik: Von linearer Algebra über Geometrie und Topologie bis hin zu Graphentheorie und Kombinatorik – die Themen in diesem Buch sind vielfältig und bieten einen guten Einstieg in verschiedene Bereiche der modernen Mathematik. Elementare Vorkenntnisse in linearer Algebra und Analysis reichen völlig aus, um alle Inhalte des Buches zu verstehen.

Dieses Buch bietet eine perfekte Grundlage für Proseminare, interaktive Lehrformate, Studierendenprojekte oder Abschlussarbeiten und eignet sich auch besonders für Lehramtsstudierende.

Jedes der zehn Kapitel führt anhand konkreter Beispiele in die jeweils grundlegenden Konzepte und wichtigsten Fragestellungen ein. Sofern adäquat möglich werden historische Hintergründe beleuchtet und weiterführende Hinweise gegeben. Zahlreiche kurze Projektbeschreibungen regen am Ende jedes Kapitels dazu an, das Wissen zu vertiefen oder direkt anzuwenden – sei es in Seminarvorträgen, Hausarbeiten oder Gruppenprojekten. Einige Projekte werden durch ein interaktives Julia/Jupyter-Notebook ergänzt, das die Projekte um zusätzliche Visualisierungs- und Programmieraspekte erweitert. Konkrete Vorschläge für Querschnittsseminare ergänzen dieses Material.

Tauchen Sie mit diesem vielseitigen und praxisorientierten Werk in die Welt der Mathematik ein!

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Zahlentheorie
Zusammenfassung
Die Zahlentheorie ist ein Fachbereich der Mathematik, der sich – wie der Name bereits sagt – mit Zahlen beschäftigt. Zahlen bilden seit Jahrtausenden die Basis für unser Zählen und Rechnen, und wurden entsprechend früh hinsichtlich verschiedener Fragestellungen untersucht. Hierbei kann es um Eigenschaften von Zahlen oder Zahlbereichen gehen, wie auch um Beziehungen von Zahlen miteinander.
Ghislain Fourier, Verity Mackscheidt, Petra Schwer
Kapitel 2. Algebra
Zusammenfassung
Die Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, das historisch gewachsen ist und sich in verschiedene Richtungen entwickelt hat. Innerhalb der Algebra arbeiten Forschende an einer Vielzahl von Themen, die häufig nicht miteinander verwandt sind, und es ist schwierig, das Teilgebiet Algebra exakt zu definieren. Aus diesem Grund wollen wir uns im Folgenden in einem ersten Schritt ansehen, welche Bereiche es in der Algebra gibt, und auf welche Aspekte wir uns in diesem Buch fokussieren.
Ghislain Fourier, Verity Mackscheidt, Petra Schwer
Kapitel 3. Lineare Algebra
Zusammenfassung
In diesem Kapitel möchten wir uns mit der Linearen Algebra beschäftigen. Zu dem Zeitpunkt, zu dem Sie dies hier lesen, werden Sie vermutlich Vorlesungen zu Linearer Algebra bereits gehört haben. Wozu also an dieser Stelle noch ein Kapitel zur Linearen Algebra?
Ghislain Fourier, Verity Mackscheidt, Petra Schwer
Kapitel 4. Gruppentheorie
Zusammenfassung
In diesem Kapitel möchten wir uns mit der Gruppentheorie beschäftigen. Klassisch werden Gruppen in der Algebra untersucht, sie spielen aber auch in anderen Gebieten eine wichtige Rolle. Wie wir sehen werden, abstrahiert das Konzept einer Gruppe gleichzeitig das Verhalten von Symmetrien geometrischer Objekte und die Arithmetik der Zahlen. Doch lassen Sie uns vorne starten: Was ist überhaupt eine Gruppe?
Ghislain Fourier, Verity Mackscheidt, Petra Schwer
Kapitel 5. Graphentheorie
Zusammenfassung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Graphentheorie. Die Graphentheorie eignet sich hervorragend zur Modellierung zahlreicher Anwendungs- und Alltagsfragen. Anschauliche Beispiele für Graphen aus dem Alltag sind Straßenkarten, U-Bahn-Netze oder das Haus vom Nikolaus. Graphen können als Abstraktion von Relationen oder Beziehungen zwischen Objekten verstanden werden und lassen sich oft – wie der Name suggeriert – graphisch darstellen.
Ghislain Fourier, Verity Mackscheidt, Petra Schwer
Kapitel 6. Optimierung
Zusammenfassung
In der Optimierung geht es darum, die bestmögliche – also die optimale – Lösung zu einem gegebenen Problem zu finden. Dieses Problem kann vielseitig geartet sein. Interessante Fragen auf der Suche nach einer optimalen Lösung zu einem gegebenen Problem beinhalten: Existiert überhaupt eine optimale Lösung, und falls ja, ist diese eindeutig? Wie kann ich erkennen, ob eine gegebene Lösung optimal ist? Wie finde ich eine optimale Lösung, und wie aufwendig ist diese Suche?
Ghislain Fourier, Verity Mackscheidt, Petra Schwer
Kapitel 7. Kombinatorik
Zusammenfassung
Während einige andere Kapitel dieses Buches, wie zum Beispiel Lineare Algebra oder Analysis, als eigenständige Vorlesungen an Universitäten angeboten werden, wird man die Kombinatorik eigenständige Vorlesung selten finden. Kombinatorik kann als Nanotechnologie der Mathematik angesehen werden, und wird in einer Vielzahl verschiedener Bereiche genutzt.
Ghislain Fourier, Verity Mackscheidt, Petra Schwer
Kapitel 8. Analysis
Zusammenfassung
Die Analysis wird häufig als „Mathematik der Natur- und Ingenieurwissenschaften“ bezeichnet. Auch andere Disziplinen der Mathematik spielen in Natur- und Ingenieurwissenschaften eine Rolle, jedoch ist die Motivation für die Analysis, sowie ihre historische Entwicklung, zum Großteil in diesen angewandten Naturwissenschaften zu finden. Einige Beispiele dazu werden wir uns im Laufe dieses Kapitels ansehen.
Der Fachbereich Analysis umfasst verschiedene Teilgebiete, von denen Sie einige – wie die Integration und Differentiation – bereits kennen werden. Einige weitere Fachbereiche der Analysis, wie z. B. die Variationsrechnung oder die Maßtheorie, sind Ihnen vermutlich neu. Dieses Kapitel bietet nicht genug Raum, um alle Teilbereiche der Analysis vollständig zu beleuchten, allerdings werden Sie in einigen Projekten die Chance haben, in weitere Bereiche der Analysis hineinzuschauen.
Ghislain Fourier, Verity Mackscheidt, Petra Schwer
Kapitel 9. Geometrie
Zusammenfassung
Die Geometrie ist eines der ältesten Gebiete der Mathematik. Ausgehend von konkreten Landvermessungsproblemen über erste Formalisierungsversuche durch die Schule Euklids umfasst der Begriff Geometrie heute viele verschiedene Methoden und Denkrichtungen der modernen Mathematik. In diesem Kapitel möchten wir die klassischen Geometrien der Ebene und Sphäre beleuchten und einige Ausblicke auf moderne Themen bieten. Eine umfassende Einführung würde mehrere Bücher füllen.
Ghislain Fourier, Verity Mackscheidt, Petra Schwer
Kapitel 10. Topologie
Zusammenfassung
Die Topologie befasst sich mit den Eigenschaften von Räumen, die unter Verformungen erhalten bleiben. Dabei konzentrieren sie sich ausschließlich auf kontinuierliche (oder stetige) Deformationen, wie Dehnen, Biegen, Verzerren, Aufdicken, Stauchen oder Strecken. Schneiden, Reißen oder Kleben hingegen sind in diesem Kontext nicht erlaubt.
Ghislain Fourier, Verity Mackscheidt, Petra Schwer
Backmatter
Metadaten
Titel
Aspekte der Mathematik
verfasst von
Ghislain Fourier
Verity Mackscheidt
Petra Schwer
Copyright-Jahr
2025
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-70923-8
Print ISBN
978-3-662-70922-1
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-70923-8