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Über dieses Buch

Ein Buch über die Unendlichkeit

Wer glaubt, dass sich Rechnen auf trockene Formeln und Zahlen beschränkt, wird mit „Aspekte des Unendlichen – Eine kleine Erzählung für Nichtmathematiker“ sein blaues Wunder erleben. Dieses Buch spricht alle Leser an, die nicht nur die Logik, sondern auch die Poesie der Unendlichkeit erforschen möchten. Anstatt Laien mit kryptischem Akademikerjargon zu verwirren, übersetzt es komplexe Sachverhalte in leicht verständliche Erklärungen. So können auch Einsteiger erfahren, welche Überraschungen die Mengenlehre bereithält.

Von nicht abzählbaren Größen und unentscheidbaren Fragen

Die Wissenschaft der mathematischen Unendlichkeit umfasst zahlreiche Problemstellungen, die ebenso anspruchsvoll wie spannend sind. Dazu gehören unter anderem:

· die Bibliothek von Babel

· diskontinuierliche Kontinua

· Unmengen

· Paradoxien und Antinomien

Um solche theoretischen Ansätze in ihren Grundzügen zu begreifen, braucht es keinen Hochschulabschluss. Lutz Prieses Buch über die Mathematik der Unendlichkeit verwandelt abstrakte Konzepte in lebensnahe Zusammenhänge. Der Autor ist promovierter Logiker und hält seit seiner Pensionierung regelmäßig Vorlesungen zu Themen der Mathematik und Informatik. Dank seiner langjährigen Tätigkeit als Hochschuldozent gelingt es ihm, mit einer unterhaltsamen Sprache Anfänger und Experten gleichermaßen zu fesseln. Dabei steht vor allem die Verbindung zwischen mathematischen und philosophischen Problemen im Vordergrund:

· Wie genau können wir mit Zahlen die unendlichen Weiten des Weltalls erfassen?

· Inwiefern spiegeln die Grenzen des Rechnens die Grenzen des menschlichen Daseins wider?

· Wie können wir Unvorstellbares vorstellbar machen?

Prieses Buch über die Unendlichkeit in der Mathematik liefert keine endgültigen Antworten auf diese Fragen. Vielmehr regt es Leser dazu an, sich selbst auf die Suche zu machen und eigene Ideen zu entwickeln. Wie es der Titel verspricht, lädt „Aspekte des Unendlichen“ zu einer schier endlosen Reise durch die Gedankenwelt ein.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Das Unendliche

Zusammenfassung
Dieses Kapitel wendet sich an Nicht-Mathematiker. Zwei entgegengesetzte Standpunkte werden erläutert: Ist das Unendliche nur potentiell möglich oder existiert sogar aktual unendlich Großes. Können verschiedene aktual unendlich große Entitäten von dennoch unterschiedlicher „Größe“ existieren? Wir zeigen, wie man unterschiedliche Größen im Unendlichem definieren oder messen kann. Etwa mittels Vergleichen, Repräsentieren, bzw. Codieren. Wir stellen das Hotel Hilbert, eine Parabel auf das Abzählbare, vor. Man kann nur abzählbar viel aufschreiben oder denken, und alles in der Bibliothek von Babel und in jeder normalen Zahl verstecken. Einer der wichtigsten, schönsten und zugleich einfachsten Beweise der Mathematik, der Diagonalschluss von Cantor, wird vorgeführt und seine Auswirkungen auf Mathematik und Philosophie werden erläutert. Der Diagonalschluss zeigt, dass ein Kontinuum nicht abzählbar sein kann. Es werden einige merkwürdige Kontinua vorgestellt, wie die Potenzmenge aller natürlichen Zahlen oder der Cantorsche Staub, ein sogar diskontinuierliches Kontinuum. Wir stellen eine Hierarchie von verschiedenen Mächtigkeiten im Unendlichen vor und geben einige allgemein bekannte Objekte an, von denen es mehr als kontinuierlich viele gibt. Erste Paradoxien im Unendlichen werden gezeigt.
Lutz Priese

Kapitel 2. Paradoxien

Zusammenfassung
Es werde Paradoxien und Antinomien des Unendlichen genauer untersucht. Das Sierpinsky-Mazurkiewicz-Paradoxon wird im Detail vorgestellt, das Banach-Tarski-Paradoxon nur beschrieben. Beide Paradoxien zeigen letztlich, wie mittels einfacher geometrischer Transformationen, wie Drehen und Verschieben, neue Objekte aus dem Unendlichen geschöpft werden können. Das Banach-Tarski-Paradoxon erlaubt es, eine solide drei-dimensionale Kugel in fünf Teile zu zerlegen und diese fünf Teile zu zwei soliden Kugeln der Ausgangsgröße neu zusammenzusetzen. Hier trennt das berühmt-berüchtigte Auswahlaxiom Mathematik und Physik. Die Existenz von Punktmengen, die nicht gemessen werden können, wird gezeigt. Die berühmte Antinomie von Russell und deren Konsequenzen, die zur Erschütterung der mathematischen Logik im frühen 20. Jahrhundert führten, werden vorgestellt, ebenfalls eine Lösungsmöglichkeit. Philosophische Auswirkungen auf Mathematik und Physik werden diskutiert.
Lutz Priese

Kapitel 3. Unberechenbarkeit

Zusammenfassung
Es werden Grenzen des Rechnens aufgezeigt, die auch für alle möglichen zukünftigen Rechner gelten müssen, egal wie diese aufgebaut sein mögen, sei es mit Quantenzuständen oder uns noch gar nicht vorstellbaren Techniken. Dabei können wir mit Abzählbarkeit argumentieren, ohne ein formales Konzept eines Algorithmus, wie etwa eine Turing-Maschine o. ä., einführen zu müssen. Von zwei konkreten Problem wird gezeigt, dass sie keine algorithmischen Lösungen besitzen können. Allgemeine Unterschiede von konstruktiv, berechenbar und unberechenbar werden diskutiert.
Lutz Priese

Kapitel 4. Anhang

Zusammenfassung
Für mathematisch interessierte Leser werden einige fehlende Beweise und die gestellten Fragen aus den Kapiteln zuvor vorgeführt bzw. beantwortet.
Lutz Priese

Backmatter

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