2.1 Der Begriff der Odds
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Wahrscheinlichkeit, Odds und Log-Odds eines Ereignisses sind redundant: Wenn man eine der Größen kennt, kann man die anderen beiden Größen damit berechnen. Der einzige Unterschied besteht darin, auf welcher Skala sich die Information befindet:$$\begin{aligned}\begin{gathered} 0 \le {\mathbb {P}}({A}) \le 1 \\ 0 \le {\text {odds}}\, ({A})< \infty \\ -\infty< {\text {log-odds}}({A}) < \infty \end{gathered}\end{aligned}$$
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Änderungen gehen in die gleiche Richtung: Wenn man eine der drei Werte größer (bzw. kleiner) macht, werden die anderen beiden auch größer (bzw. kleiner). Zum Beispiel „Je größer die Odds, desto größer die Wahrscheinlichkeit“.
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Für seltene Ereignisse (z. B. \({\mathbb {P}}({A}) \le 0{.}05\)) liefern Odds und Wahrscheinlichkeit in etwa die gleichen Zahlenwerte, d. h. \({\text {odds}}\, ({A}) \approx {\mathbb {P}}({A})\). So gilt z. B. für \({\mathbb {P}}({A})=0{.}05\), dass \({\text {odds}}\, ({A}) \approx 0{.}0526\).
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Später nützliche Faustregeln für Log-Odds sind:Bemerkung: Die Wahrscheinlichkeiten wurden hier jeweils auf \(5 \, \%\) gerundet.$$\begin{aligned} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline {\text {log-odds}}({A}) &{} -3 &{} -2 &{} -1 &{} 0 &{} 1 &{} 2 &{} 3 \\ \hline {\mathbb {P}}({A}) &{} 5\,\% &{} 10\,\% &{} 25\,\% &{} 50\,\% &{} 75\,\% &{} 90\,\% &{} 95\,\% \\ \hline \end{array} \end{aligned}$$