Asymmetrische Irrfahrten und Verwandtes

In diesem Kapitel befreien wir uns von der in Kapitel 1 gemachten Voraussetzung, dass die Wegrichtungen einer Irrfahrt auf ℤ gleich wahrscheinlich seien, geben also die Symmetrieannahme auf. Zur Präzisierung sei

X

1

,

X

2

, ... eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit

P

(

X

j

= 1) :=

p

,

P

(

X

j

= -1) =

q

:= 1-

p

, wobei

p

∈ (0, 1). Die Irrfahrt ist dann wie in Kapitel 1 durch

S

0

:= 0 und

S

n

:=

X

1

+ ... +

X

n

,

n

≥ 1, gegeben. Im Unterschied zu dort lassen wir ab jetzt zu, dass die Wahrscheinlichkeiten

p

bzw.

q

für einen Aufwärts- bzw. Abwärtsschritt verschieden sein können. In einem solchen Fall sprechen wir auch von einer

asymmetrischen Irrfahrt

. Wegen

E

(

X

j

) =

p

-

q

= 2

p

- 1 folgt

$$ E(S_{n}) = \sum_{j=1}^{n} E(X_{j}) = n \cdot (2p - 1), $$

was zeigt, dass asymmetrische Irrfahrten einen gewissen Trend im Hinblick auf die Erwartungswerte der Höhen im zeitlichen Verlauf besitzen. Die Punkte (

n

,

E

(

S

n

)) mit

n

≥ 0 liegen auf der diesen Trend beschreibenden Geraden

x

7 → (2

p

- 1)

x

. Im Fall

p

> 1/2 besitzt diese Gerade eine positive Steigung, im Fall

p

< 1/2 ist die Steigung negativ. Bild 3.1 zeigt zwei Irrfahrten der Länge 2500, von denen die blau eingezeichnete symmetrisch ist. Die schwarz gekennzeichente Irrfahrt ist asymmetrisch, wobei

p

= 0.51 gewählt wurde. Zusätzlich ist die Trendgerade eingezeichnet.