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2022 | Buch

Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik

verfasst von: Norbert Henze

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch liefert einen verständnisorientierten Einstieg in die asymptotische Stochastik.

Es ist vom Niveau her zu Beginn eines Mathematik-Masterstudiums angesiedelt und deckt den Stoff ab, der in einer vierstündigen Vorlesung mit zweistündigen Übungen vermittelt werden kann. Einzelne Kapitel eignen sich zudem für Seminare am Ende eines Bachelorstudiums.

Neben eher grundständigen Themen wie der Momentenmethode zum Nachweis von Verteilungskonvergenz oder dem multivariaten zentralen Grenzwertsatz und der Delta-Methode werden unter anderem Grenzwertsätze für U-Statistiken und der Satz von Donsker sowie die Brown'sche Brücke mit Anwendungen auf die Statistik behandelt. Das Buch schließt mit einem zentralen Grenzwertsatz für hilbertraumwertige Zufallselemente mit Anwendungen auf gewichtete L²-Statistiken.

Ein besonderes Merkmal des Buches sind 133 Selbstfragen, die am Ende des jeweiligen Kapitels beantwortet werden, sowie 181 Übungsaufgaben mit Lösungen. Hierdurch eignet sich dieses Werk sehr gut zum Selbststudium.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie
Zusammenfassung
In diesem einführenden Kapitel sind insbesondere Begriffe und Resultate aus der Wahrscheinlich-keitstheorie zusammengestellt, die als bekannt vorausgesetzt werden. Auf diese wird in den folgenden Kapiteln häufig zurückgegriffen. Hierzu gehören die fast sichere und die stochastische Konvergenz sowie die Konvergenz im p-ten Mittel und die Verteilungskonvergenz reeller Zufallsvariablen. Als bekannt angenommen werden insbesondere das starke Gesetz großer Zahlen und die zentralen Grenzwertsätze von Lindeberg-Lévy und Lindeberg-Feller sowie grundlegende Eigenschaften der bedingten Erwartung. Ferner sollten der Begriff der charakteristischen Funktion sowie der Stetigkeitssatz von Levy-Cramér zum Nachweis von Verteilungskonvergenz bekannt sein. Das Kapitel enthält einen Beweis des Satzes, dass die Verteilung eines Zufallsvektors durch dessen charakteristische Funktion eindeutig bestimmt ist. Es schließt mit wichtigen Resultaten aus der Maß- und Integrationstheorie.
Norbert Henze
Kapitel 2. Ein poissonscher Grenzwertsatz für Dreiecksschemata
Zusammenfassung
In diesem Kapitel geht es um Dreiecksschemata nicht-negativer ganzzahliger Zufallsvariablen. Konvergieren die Maxima der zeilenweisen Einträge eines Dreiecksschemas reeller Zufallsvariablen stochastisch gegen null, so nennt man ein solches Dreiecksschema asymptotisch vernachlässigbar oder ein Null-Schema. Hauptergebnis dieses Kapitels ist ein poissonscher Grenzwertsatz für ein Null-Schema, das aus nichtnegativen ganzzahligen Zufallsvariablen gebildet wird, wobei die Einträge in jeder Zeile stochastisch unabhängig sind. Beweismittel ist der Stetigkeitssatz für erzeugende Funktionen. Am Ende des Kapitels wird dargelegt, wie wichtig Konvergenz gegen eine Poisson-Verteilung für die Extremwertstochastik ist.
Norbert Henze
Kapitel 3. Die Momentenmethode
Zusammenfassung
Thema dieses Kapitels ist eine grundlegende Methode, um Verteilungskonvergenz nachzuweisen, die sogenannte Momentenmethode. Liegt eine gleichgradig integrierbare Folge von Zufallsvariablen vor, so folgt im Falle von Verteilungskonvergenz auch die Konvergenz der Erwartungswerte gegen den Erwartungswert der Grenzverteilung. Besitzen alle Zufallsvariablen Momente beliebiger Ordnung, und konvergiert für jede natürliche Zahl k die Folge der k-ten Momente gegen das k-te Moment einer Zufallsvariablen X, so konvergiert die Folge in Verteilung gegen X, sofern die Verteilung von X durch die Folge der Momente von X eindeutig bestimmt ist. Eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass die momentenerzeugende Funktion von X in einer Umgebung des Nullpunktes existiert.
Norbert Henze
Kapitel 4. Ein zentraler Grenzwertsatz für stationäre m-abhängige Folgen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel geht es um Folgen von Zufallsvariablen, die in einem zu präzisierenden Sinn stochastisch abhängig sein dürfen, sowie um einen zentralen Grenzwertsatz für solche Folgen. Die Präzisierung erfolgt über die Begriffe m-Abhängigkeit und Stationarität. Eine große Beispielklasse für m-abhängige stationäre Folgen bilden Funktionen von Blöcken einer Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen. Hauptergebnis ist ein zentraler Grenzwertsatz für Partialsummen einer Folge stationärer m-abhängiger Zufallsvariablen. Dieser Grenzwertsatz ist eine Verallgemeinerung des zentralen Grenzwertsatzes von Lindeberg-Lévy.
Norbert Henze
Kapitel 5. Die multivariate Normalverteilung
Zusammenfassung
Thema dieses Kapitels ist die allgemeine d-dimensionale Normalverteilung. Dabei werden zunächst die Begriffe Erwartungswertvektor und Kovarianzmatrix eingeführt. Ein Zufallsvektor heißt d-dimensional normalverteilt, wenn jede Linearkombination seiner Komponenten eindimensional normalverteilt ist. Dabei sind ausgeartete Verteilungen zugelassen. Es wird die Existenz allgemeiner d-dimensionaler Normalverteilungen gezeigt, und es werden Eigenschaften der multivariaten Normalverteilung bewiesen. Dazu gehören der Reproduktionssatz, das Additionsgesetz, die Äquivalenz von Unkorreliertheit und Unabhängigkeit, die Hauptkomponentenzerlegung, die Gestalt der Dichte im nichtausgearteten Fall sowie die Chi-Quadrat-Verteilung von quadratischen Formen.
Norbert Henze
Kapitel 6. Verteilungskonvergenz und zentraler Grenzwertsatz in
Zusammenfassung
Nach Einführung des Begriffs Verteilungsfunktion für Zufallsvektoren erfolgt der Beweis des Portmanteau-Theorems, das die Äquivalenz von fünf gleichwertigen Bedingungen für Verteilungskonvergenz im \(\mathbb {R} ^d\) zum Gegenstand hat. Als Verteilungskonvergenz einer Folge \((X_n)\) gegen einen Zufallsvektor X wird dann die Konvergenz der Erwartungswerte aller stetigen beschränkten Funktionen \(h(X_n)\) gegen den Erwartungswert von h(X) definiert. Weitere Inhalte des Kapitels sind der Abbildungssatz, das Lemma von Slutsky, die Begriffe Straffheit und relative Kompaktheit, stochastische Landau-Symbole, der Stetigkeitssatz von Lévy-Cramér und die Cramér-Wold-Technik. Hauptergebnis ist der multivariate zentrale Grenzwertsatz. Das Kapitel schließt mit Anwendungen dieses Satzes, wozu asymptotische Betrachtungen beim Chi-Quadrat-Anpassungstest und bei einem Test auf Gleichverteilung der Lottozahlen sowie die Delta-Methode gehören.
Norbert Henze
Kapitel 7. Empirische Verteilungsfunktion
Zusammenfassung
Dieses Kapitel ist auf der Schnittstelle zwischen Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischer Statistik angesiedelt. Nach Einführung der empirischen Verteilungsfunktion von unabhängigen und je nach der gleichen unbekannten Verteilungsfunktion F verteilten Zufallsvariablen erfolgt ein Beweis des Satzes von Gliwenko-Cantelli, der auch als Zentralsatz der Statistik bezeichnet wird. Nach diesem Satz ist die empirische Verteilungsfunktion ein stark konsistenter Schätzer für F. Das Kapitel spricht auch höhere Gesichtspunkte wie die fast sichere gleichmäßige Konvergenz empirischer Verteilungen und die Dvoretsky-Kiefer-Wolfowitz-Ungleichung an.
Norbert Henze
Kapitel 8. Grenzwertsätze für U-Statistiken
Zusammenfassung
Auch dieses Kapitel bewegt sich an der Schnittstelle zwischen Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Es geht um U-Statistiken, die Verallgemeinerungen von arithmetischen Mitteln bilden und erwartungstreue Schätzer darstellen. Erstes zentrales Resultat ist ein mithilfe der Hájek-Projektion gewonnener zentraler Grenzwertsatz für nicht-ausgeartete Ein-Stichproben-U-Statistiken. Ein mathematisch tief liegenderes Ergebnis ist die Limesverteilung einer einfach-entarteten U-Statistik, für deren Herleitung der Entwicklungssatz für lineare selbstadjungierte kompakte Operatoren benötigt wird. Das Kapitel enthält auch einen zentraler Grenzwertsatz für Zwei-Stichproben-U-Statistiken. Statistische Anwendungen betreffen unter anderem den Mann-Whitney-U-Test und den Cramér-von Mises-Anpassungstest. Zum Abschluss des Kapitels wird die enge Verwandtschaft von U-Statistiken und den nach R. von Mises benannten V-Statistiken beleuchtet.
Norbert Henze
Kapitel 9. Grundbegriffe der Schätztheorie
Zusammenfassung
Dieses Kapitel steckt den allgemeinen Rahmen für einige Themen der asymptotischen Statistik ab, die in diesem und in folgenden Kapiteln behandelt werden. Dazu gehört auch eine spezifische Notation. Grundkenntnisse der mathematischen Statistik sind hilfreich, aber nicht unbedingt notwendig. Zentral sind die Begriffe parametrisches Modell, statistischer Raum und kanonisches Modell. Außerdem lernen wir die Begriffe Schätzer und Schätzfolge sowie wünschenswerte Eigenschaften von Schätzern bzw. von Schätzfolgen wie etwa die (asymptotische) Erwartungstreue und die Konsistenz einer Schätzfolge kennen. Das Kapitel schließt mit (asymptotischen) Konfidenzbereichen.
Norbert Henze
Kapitel 10. Maximum-Likelihood-Schätzung
Zusammenfassung
In diesem Kapitel lernen wir eine grundlegende Methode kennen, um in parametrischen Modellen Schätzer für unbekannte Parameter zu konstruieren, nämlich die mit dem Namen R.A. Fisher verknüpfte Maximum-Likelihood-Methode (ML-Methode). Diese setzt die Existenz eines dominierenden Maßes sowie parameterabhängige Dichten bezüglich dieses Maßes voraus. Die Grundidee der ML-Schätzmethode besteht darin, bei vorliegenden Daten denjenigen Parameterwert für den glaubwürdigsten zu halten und somit als Schätzwert für den unbekannten Parameter(vektor) festzulegen, der für diese Daten die gemeinsame Dichte als Funktion des Parameters maximiert. Zentrales Resultat des Kapitels ist der Hauptsatz über ML-Schätzer. Danach konvergiert unter gewissen Regularitätsvoraussetzungen der mit der Wurzel des Stichprobenumfangs multiplizierte Schätzfehler gegen eine Normalverteilung, wobei die Fisher-Informationsmatrix auftritt. Als weiterer grundlegender Begriff im Zusammenhang mit der ML-Schätzung tritt der Kullback-Leibler-Informationsabstand auf.
Norbert Henze
Kapitel 11. Asymptotische (relative) Effizienz von Schätzern
Zusammenfassung
In diesem Kapitel geht es um die Qualität von Schätzern für unbekannte Parameter bei Vorliegen großer Stichprobenumfänge. Zunächst erfolgt ein Beweis der multivariaten Informationsungleichung, die unter gewissen Voraussetzungen eine bezüglich der Löwner-Halbordnung untere Schranke für die Kovarianzmatrix eine Schätzers darstellt. Nach Vorstellung des Satzes von LeCam-Bahadur wird die Momentenmethode als weiteres wichtiges Konstruktionsprinzip für Schätzer beleuchtet. Weitere Themen sind unter anderem beste asymptotisch normalverteile (BAN) Schätzer sowie die asymptotische relative Pitman-Effizienz.
Norbert Henze
Kapitel 12. Likelihood-Quotienten-Tests
Zusammenfassung
Gegenstand dieses Kapitels ist das Testen von Hypothesen innerhalb parametrischer Modelle. Wir beschränken uns dabei auf verallgemeinerte Likelihoodquotiententests. Diese Tests setzen wie bei der Maximum-Likelihoodmethode Dichten bezüglich eines sigma-endlichen dominierenden Maßes voraus. Die Prüfgröße ist ein logarithmisch transformierter verallgemeinerter Likelihood-Quotient, bei im Zähler bzw. im Nenner eine Maximum-Likelihood-Bildung über den Hypothesen- bzw. über den gesamten Parameterbereich erfolgt. Hauptergebnis ist die Grenzverteilung der Prüfgröße bei Gültigkeit der Hypothese. Anwendungen betreffen unter anderem Tests auf Unabhängigkeit in Kontingenztafeln. Das Kapitel schließt mit einem Beweis der asymptotischen Validität eines parametrischen Bootstrap-Verfahrens, das nicht auf den Bereich der verallgemeinerten Likelihoodquotiententests beschränkt ist.
Norbert Henze
Kapitel 13. Wahrscheinlichkeitsmaße auf metrischen Räumen
Zusammenfassung
Mit diesem Kapitel wird der endlichdimensionale Rahmen verlassen, denn es geht um Wahrscheinlichkeitsmaße auf der Borel’schen sigma-Algebra in allgemeinen metrischen Räumen. Zunächst wird anhand des uniformen empirischen Prozesses sowie eines Partialsummenprozesses motiviert, warum es sich lohnt, Wahrscheinlichkeitsmaße in dieser Allgemeinheit zu studieren. Nach einem Abriss über metrische Räume und deren wichtigste Eigenschaften liegt ein Hauptaugenmerk auf dem mit der Supremumsmetrik versehenen Raum C[0,1] aller auf dem Einheitsintervall definierten stetigen Funktionen. Der Satz von Arzelà-Ascoli charakterisiert relativ kompakte Teilmengen in diesem metrischen Raum. Das Kapitel schließt mit der Einführung der Algebra der endlichdimensionalen Mengen in C[0,1], die ein Erzeugendensystem der sigma-Algebra der Borelmengen in C[0,1] bildet.
Norbert Henze
Kapitel 14. Verteilungskonvergenz in metrischen Räumen
Zusammenfassung
Gegenstand dieses Kapitels sind die schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen und die Verteilungskonvergenz von Zufallsvariablen mit Werten in metrischen Räumen. Stichworte in diesem Zusammenhang sind das Portmanteau-Theorem, der Abbildungssatz sowie das Teilfolgenkriterium für schwache Konvergenz. Zudem werden verschiedene hinreichende Bedingungen für schwache Konvergenz hergeleitet. Beispiele betreffen den Raum aller reellen Zahlenfolgen und den Raum C[0,1] aller auf dem Einheitsintervall definierten stetigen Funktionen. Ein wichtiges Resultat dieses Kapitels ist der Satz von Prochorow, wonach in vollständigen metrischen Räumen Straffheit und relative Kompaktheit äquivalente Begriffe sind. Das Kapitel schließt mit einem Kriterium für Verteilungskonvergenz im Raum C[0,1] sowie mit dem Begriff der stochastischen Konvergenz in metrischen Räumen und einer allgemeinen Version des Lemmas von Slutzky.
Norbert Henze
Kapitel 15. Wiener-Prozess, Satz von Donsker und Brown’sche Brücke
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden zunächst das Wiener-Maß auf der sigma-Algebra der Borelmengen von C[0,1] und damit einhergehend der Wiener-Prozess definiert. Der Nachweis der Existenz des Wiener-Maßes erfolgt in zwei Schritten: Zuerst wird die Konvergenz aller endlichdimensionalen Verteilungen (fidis) eines auf unabhängigen und identisch verteilten zentrierten, quadratisch integrierbaren Summanden gründenden Partialsummenprozesses nachgewiesen. In einem zweiten Schritt wird die Straffheit dieses Partialsummenprozesses gezeigt. Der Satz von Donsker besagt, dass die Folge der Partialsummenprozesse in Verteilung gegen den Wiener-Prozess konvergiert, sofern die Verteilung der Summanden nicht ausgeartet ist. Weitere Themen dieses Kapitels sind der funktionale zentrale Grenzwertsatz, die Karhunen-Loève-Entwicklung des Wiener-Prozesses, das starke Gesetz großer Zahlen für den Wiener-Prozess sowie die Brown’sche Brücke.
Norbert Henze
Kapitel 16. Der Raum , empirische Prozesse
Zusammenfassung
In diesem Kapitel geht es um Verteilungskonvergenz im Càdlàg-Raum D[0,1] aller rechtsseitig stetigen reellen Funktionen auf dem Einheitsintervall [0,1], deren linksseitige Grenzwerte an jeder Stelle t mit \(0< t \le 1\) existieren. Themen sind die Prokhorow-Metrik sowie Kriterien für Verteilungskonvergenz in D[0,1], wobei nicht alle technischen Details ausgeführt werden. Hauptergebnisse bilden der Satz von Donsker im Raum D[0,1] sowie die Verteilungskonvergenz des empirischen Prozesses. Anwendungen betreffen die mit der Brown’schen Brücke zusammenhängenden Grenzverteilungen bei Gültigkeit der Hypothese der Prüfgrößen des Anpassungstests von Kolmogorow-Smirnow sowie des Cramér-von Mises-Anpassungstests. Als weitere Anwendung ergibt sich die Verteilung der Supremumsnorm der Brown’schen Brücke als Limesverteilung der Prüfgröße des nichtparametrischen Kolmogorow-Smirnow-Zwei-Stichprobentests bei Gültigkeit der Hypothese.
Norbert Henze
Kapitel 17. Zufallselemente in separablen Hilberträumen
Zusammenfassung
Thema dieses Kapitels sind Zufallselemente mit Werten in einem separablen Hilbertraum. Zunächst wird geklärt, wann der Erwartungswert eines hilbertraumwertigen Zufallselementes X existiert, wobei ein Abriss des Bochner-Integrals erfolgt. Ist die Norm von X quadratisch integrierbar, so existiert auch der Kovarianzoperator von X. Unter gewissen Voraussetzungen können quadratisch integrierbare stochastische Prozesse als hilbertraumwertige Zufallselemente angesehen werden. In diesem Fall sind der Erwartungswert und der Kovarianzoperator durch die Erwartungswert- bzw. durch die Kovarianzfunktion gegeben. Nach Einführung des charakteristischen Funktionals wird die Normalverteilung im Hilbertraum definiert, und es wird die Existenz von Normalverteilungen nachgewiesen. Weitere Themen sind ein Kriterium für Verteilungskonvergenz sowie ein zentraler Grenzwertsatz für hilbertraumwertige Zufallselemente. Das Kapitel schließt mit einer statistischen Anwendung, wobei gewichtete \(L^2\)-Statistiken thematisiert werden.
Norbert Henze
Backmatter
Metadaten
Titel
Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik
verfasst von
Norbert Henze
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-65611-2
Print ISBN
978-3-662-65610-5
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65611-2

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