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2019 | Buch

Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1

verfasst von: Prof. Dr. Klaus Höllig, Jörg Hörner

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Mehr als 500 typische Klausur- und Übungsaufgaben zur Höheren Mathematik für Ingenieure, Natur- und Wirtschaftswissenschaftler mit detaillierten Lösungen ermöglichen eine optimale Vorbereitung auf Prüfungen und erleichtern die Bearbeitung von Übungsblättern.

Die wesentlich erweiterte, in drei Bände gegliederte zweite Auflage enthält ebenfalls Aufgaben, die den Einsatz von MATLAB(R)und Maple(TM) bei zentralen mathematischen Problemstellungen illustrieren.

Inhalt dieses ersten Bandes

Mathematische Grundlagen

Vektorrechnung

Differentialrechnung

Integralrechnung

Anwendungen mathematischer Software

Ergänzt werden die Bände der Neuauflage durch Präsentationsfolien zu den Themengebieten der Höheren Mathematik sowie das Lexikon und die Aufgabensammlung von Mathematik-Online.

Diese Internet-Angebote bieten insbesondere ausführliche Beschreibungen mathematischer Lehrsätze und Methoden und ermöglichen, erlernte Techniken interaktiv zu überprüfen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung

Die Einleitung skizziert die Themengebiete der Aufgaben und beschreibt die Darstellungsform der Lösungen sowie die folgenden zusätzlichen Online-Angebote:

Vortragsfolien zur Höheren Mathematik (http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de)
Formatierung der Aufgaben und Lösungen als Beamer-Präsentationen (DozentenPlus)
Aufgaben und Tests mit interaktiver Lösungskontrolle (http://www.mathematik.online.org)

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Mathematische Grundlagen

Frontmatter

Kapitel 2. Elementare Logik

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Vereinfachung eines logischen Ausdrucks
Umformung und Wahrheitswerttabelle für einen logischen Ausdruck
Vereinfachung einer logischen Schaltung
Wahrheitswerttabellen für logische Ausdrücke
Beschreibung mit Quantoren: Größter gemeinsamer Teiler
Direkter Beweis: Kathetensatz
Indirekter Beweis: Irrationalität einer dritten Wurzel
Induktionsbeweis: Summe rationaler Ausdrücke
Rekursion und vollständige Induktion
Induktionsbeweis: Winkelsumme im n-Eck

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 3. Mengen und Abbildungen

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Mengenoperationen
Teilmengenbestimmung mit Venn-Diagramm
Eigenschaften von Relationen
Äquivalenzrelationen
Abbildungseigenschaften von Funktionen
Surjektivität und Injektivität einer parameterabhängigen Abbildung
Invertierung und Komposition von Funktionen
Ziffernkombinationen bei fünfstelligen Zahlen
Lotto-Wunder
Wahrscheinlichkeit von Drilling und Full House
Gruppeneinteilungen von acht Personen
Zeigerpositionen einer Uhr

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 4. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Koordinaten- und Polarform komplexer Zahlen
Addition und Umwandlung komplexer Zahlen
Umwandlung trigonometrischer Ausdrücke
Mengen in der Gaußschen Zahlenebene
Multiplikation komplexer Zahlen
Division komplexer Zahlen
Quotienten komplexer Ausdrücke
Rechnen mit komplexen Zahlen
Komplexe Widerstände im Wechselstromkreis
Komplexe Wurzel
Potenzen komplexer Zahlen
Quadratische Gleichung
Kubische Gleichung
Biquadratische Gleichung
Kreise in der Gaußschen Zahlenebene

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Vektorrechnung

Frontmatter

Kapitel 5. Vektoren

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Koordinatendarstellungen im Raum
Addition von Vektoren, Resultierende Geschwindigkeit
Kräfteparallelogramm
Überlagerung von Gravitationskräften
Teilpunkte und Teilfläche in einem Dreieck
Linearkombination von Vektoren im Raum
Vektorielles Beweisen
Ecken eines Würfels

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 6. Längen, Winkel und Skalarprodukt

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Skalarprodukt, Betrag und Winkel für Vektoren
Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks
Größen im Dreieck (WSW)
Größen im Dreieck (SSW)
Geometrie eines Sechsecks
Tangenten an einen Kreis
Ergänzung zu einer Orthonormalbasis in der Ebene und Koeffizientenbestimmung
Seitenlängen, Winkel und Flächeninhalt eines Parallelogramms
Rechnen mit Epsilon-Tensor und Kronecker-Symbol
Nahtlänge eines Fußballs

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 7. Vektor- und Spatprodukt

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Rechnen mit Vektorprodukten
Konstruktion einer Orthonormalbasis und Koeffizientenbestimmung
Vektorprodukte und Grassmann-Identität
Skalar- und Vektorprodukte und Lagrange-Identität
Rechnen mit Spatprodukten
Gleichungen mit Skalar-, Vektor- und Spatprodukten
Volumen und Oberfläche eines Spats
Volumen und Grundfläche eines Tetraeders
Oberfläche und Volumen eines Tetraeders
Koordinatenbestimmung mit Hilfe des Spatproduktes
Volumina der Schnittkörper eines Tetraeders mit einer Ebene
Volumen eines aus Spaten bestehenden Körpers

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 8. Geraden und Ebenen

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Abstand eines Punktes von einer Geraden und Projektion
Schnittpunkte von Geraden mit einer Gerade in parametrischer Darstellung
Schnittpunkte von Geraden mit einer Gerade in impliziter Darstellung
Schnittpunkte von Geraden
Abstand zweier Geraden und nächst gelegene Punkte
Abstand zweier Flugbahnen
Umwandlung von Drei-Punkte- in Hesse-Normalform
Ebene durch einen Punkt und eine Gerade
Schnittpunkt und -winkel von zwei Geraden und aufgespannte Ebene
Projektion eines Punktes auf eine Gerade und Hesse-Normalform
Abstand eines Punktes von einer Ebene und Projektion
Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene und Schnittwinkel
Schnittwinkel und Schnittgerade zweier Ebenen

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Differentialrechnung

Frontmatter

Kapitel 9. Polynome und rationale Funktionen

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Definitions- und Wertebereich einer Funktion
Reelle und komplexe Faktorisierung eines Polynoms
Interpolation mit einer Parabel
Parabelförmige Flugbahn
Graphen rationaler Funktionen
Definitionslücken und irreduzible Darstellung einer rationalen Funktion
Partialbruchzerlegung einfacher Ausdrücke
Partialbruchzerlegung, Grad (4, 2)
Reelle Partialbruchzerlegung, Grad (4, 3)
Komplexe Partialbruchzerlegung, Grad (3, 4)

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 10. Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Rentenberechnung
Vergleich von Darlehen
Rechnen mit Potenzen und Logarithmen
Radioaktiver Zerfall
Kosinus und Sinus spezieller Winkel
Umwandlung trigonometrischer Polynome
Überlagerung harmonischer Schwingungen

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 11. Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Elementare Berechnung von Grenzwerten
Grenzwerte von Wurzelausdrücken
Konvergenz einer rekursiv definierten Folge
Grenzwerte von Quotienten, Fakultäten und Potenzen
Reihenwerte
Konvergenz und Divergenz von Reihen
Konvergenz von Potenzreihen
Konvergenzradius einer parameterabhängigen Potenzreihe und Randbetrachtung
Pythagoräischer Baum
Stetigkeit im Nullpunkt
Stetigkeit von Potenzfunktionen

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 12. Differentiationsregeln und Anwendungen

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten
Produkt- und Leibniz-Regel
Krümmung einer Kurve in Polarkoordinaten
Quotientenregel
Kettenregel
Zweimaliges Ableiten mit Ketten- und Quotientenregel
Berechnung von Ableitungen aus tabellierten Werten
Ableitungen der Umkehrfunktion
Ableitung von Exponentialausdrücken
Fehlerfortpflanzung
Grenzwerte mit Hilfe der Regel von l'Hospital

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 13. Taylor-Entwicklung

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Taylor-Darstellung von Polynomen
Quadratische Taylor-Polynome und Restglied
Quadratisches Taylor-Polynom und Abschätzung des Restglieds
Quadratische Taylor-Entwicklung einer zusammengesetzten Funktion
Lineare und quadratische Taylor-Approximation einer dritten Wurzel
Lineare Interpolation tabellierterWerte und Taylor-Approximation
Konstruktion von Taylor-Entwicklungen
Abschätzung mit Landau-Symbolen
Rundungsfehler bei Addition von Gleitpunktzahlen
Grenzwerte mit Taylor-Entwicklung
Taylor-Approximation einer implizit definierten Funktion
Taylor-Reihe einer Logarithmusfunktion
Taylor-Reihe einer rationalen Funktion

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 14. Extremwerte und Funktionsuntersuchung

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Extrema und Graph einer Betragsfunktion
Schachtel mit größtem Volumen
Maximierung von Einnahmen aus Buchverkäufen
Tangente an eine Parabel und minimales Dreieck
Autobahnzufahrt
Funktionsuntersuchung eines Polynoms
Funktionsuntersuchung einer rationalen Funktion
Definitionsbereich und Extrema einer Wurzelfunktion
Funktionsuntersuchung einer trigonometrischen Funktion

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Integralrechnung

Frontmatter

Kapitel 15. Integral und Stammfunktion

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Grenzwerte als Riemann-Summen
Fläche, begrenzt durch den Graph eines Polynoms
Integration elementarer Wurzelfunktionen
Integrale von Exponential- und Logarithmusfunktionen
Rationale Integranden mit einer Polstelle
Integration von Potenzen
Integrale elementarer trigonometrischer Funktionen
Differenzieren von Integralen

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 16. Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Stammfunktionen von Produkten mit linearen Funktionen
Partielle Integration von Produkten mit Exponentialfunktionen
Partielle Integration von Potenzen, Logarithmus und Sinus
Substitution durch direkte Anwendung der Kettenregel
Substitution bei Integranden mit Exponential- und Logarithmusfunktionen
Integration von Wurzelausdrücken
Elementare rationale Integranden
Integration mit Partialbruchzerlegung, Grad (3, 4)
Integration mit Partialbruchzerlegung, Grad (3, 2)
Trigonometrische Substitutionen
Substitution von Hyperbelfunktionen bei Integration von Wurzelausdrücken
Integration rationaler trigonometrischer Funktionen

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 17. Uneigentliche Integrale

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Konvergenz von uneigentlichen Integralen
Uneigentliche Integrale mit Exponential- und Logarithmusfunktionen
Uneigentliche Integrale mit Parameter
Integration einer rationalen Funktion mit Grad (1, 3) über ℝ₊
Integration einer rationalen Funktion mit Grad (2, 4) über ℝ
Integral des Produktes eines Polynoms mit einer Exponentialfunktion über ℝ
Uneigentliches Integral eines Produktes von Kosinus und einer Exponentialfunktion
Uneigentliche Integrale von Wurzelausdrücken
Uneigentliches Integral und geometrische Reihe

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Anwendungen mathematischer Software

Frontmatter

Kapitel 18. Matlab®

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Schätzen von Wahrscheinlichkeiten mit Matlab^®
Polynominterpolation mit Matlab^®
Überlagerung harmonischer Schwingungen mit Matlab^®
Zeichnen von Lissajous-Figuren mit Matlab^®
Matlab^® -Implementierung des Newton-Verfahrens
Taylor-Approximation mit Matlab^®
Funktionsuntersuchung mit Matlab^®
Integration mit Matlab^®

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 19. MapleTM

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Lösen von Gleichungen mit Maple^TM
Faktorisierung und Partialbruchzerlegung mit Maple^TM
Grenzwerte mit Maple^TM
Summen und Reihen mit Maple^TM
Differentiation mit Maple^TM
Taylor- und Pade-Approximation mit Maple^TM
Integration mit Maple^TM
Maple^TM -Illustration der Superkonvergenz der Mittelpunktsregel für periodische Integranden

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Backmatter

Titel: Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1
verfasst von: Prof. Dr. Klaus Höllig
Jörg Hörner
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-58445-3
Print ISBN: 978-3-662-58444-6
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-58445-3