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Über dieses Buch

Mehr als 500 typische Klausur- und Übungsaufgaben zur Höheren Mathematik für Ingenieure, Natur- und Wirtschaftswissenschaftler mit detaillierten Lösungen ermöglichen eine optimale Vorbereitung auf Prüfungen und erleichtern die Bearbeitung von Übungsblättern.

Die wesentlich erweiterte, in drei Bände gegliederte zweite Auflage enthält ebenfalls Aufgaben, die den Einsatz von MATLAB(R)und Maple(TM) bei zentralen mathematischen Problemstellungen illustrieren.

Inhalt dieses ersten Bandes

Mathematische Grundlagen

Vektorrechnung

Differentialrechnung

Integralrechnung

Anwendungen mathematischer Software

Ergänzt werden die Bände der Neuauflage durch Präsentationsfolien zu den Themengebieten der Höheren Mathematik sowie das Lexikon und die Aufgabensammlung von Mathematik-Online.

Diese Internet-Angebote bieten insbesondere ausführliche Beschreibungen mathematischer Lehrsätze und Methoden und ermöglichen, erlernte Techniken interaktiv zu überprüfen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Die Einleitung skizziert die Themengebiete der Aufgaben und beschreibt die Darstellungsform der Lösungen sowie die folgenden zusätzlichen Online-Angebote:
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Mathematische Grundlagen

Frontmatter

Kapitel 2. Elementare Logik

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Vereinfachung eines logischen Ausdrucks
  • Umformung und Wahrheitswerttabelle für einen logischen Ausdruck
  • Vereinfachung einer logischen Schaltung
  • Wahrheitswerttabellen für logische Ausdrücke
  • Beschreibung mit Quantoren: Größter gemeinsamer Teiler
  • Direkter Beweis: Kathetensatz
  • Indirekter Beweis: Irrationalität einer dritten Wurzel
  • Induktionsbeweis: Summe rationaler Ausdrücke
  • Rekursion und vollständige Induktion
  • Induktionsbeweis: Winkelsumme im n-Eck
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 3. Mengen und Abbildungen

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Mengenoperationen
  • Teilmengenbestimmung mit Venn-Diagramm
  • Eigenschaften von Relationen
  • Äquivalenzrelationen
  • Abbildungseigenschaften von Funktionen
  • Surjektivität und Injektivität einer parameterabhängigen Abbildung
  • Invertierung und Komposition von Funktionen
  • Ziffernkombinationen bei fünfstelligen Zahlen
  • Lotto-Wunder
  • Wahrscheinlichkeit von Drilling und Full House
  • Gruppeneinteilungen von acht Personen
  • Zeigerpositionen einer Uhr
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 4. Komplexe Zahlen

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Koordinaten- und Polarform komplexer Zahlen
  • Addition und Umwandlung komplexer Zahlen
  • Umwandlung trigonometrischer Ausdrücke
  • Mengen in der Gaußschen Zahlenebene
  • Multiplikation komplexer Zahlen
  • Division komplexer Zahlen
  • Quotienten komplexer Ausdrücke
  • Rechnen mit komplexen Zahlen
  • Komplexe Widerstände im Wechselstromkreis
  • Komplexe Wurzel
  • Potenzen komplexer Zahlen
  • Quadratische Gleichung
  • Kubische Gleichung
  • Biquadratische Gleichung
  • Kreise in der Gaußschen Zahlenebene
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Vektorrechnung

Frontmatter

Kapitel 5. Vektoren

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Koordinatendarstellungen im Raum
  • Addition von Vektoren, Resultierende Geschwindigkeit
  • Kräfteparallelogramm
  • Überlagerung von Gravitationskräften
  • Teilpunkte und Teilfläche in einem Dreieck
  • Linearkombination von Vektoren im Raum
  • Vektorielles Beweisen
  • Ecken eines Würfels
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 6. Längen, Winkel und Skalarprodukt

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Skalarprodukt, Betrag und Winkel für Vektoren
  • Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks
  • Größen im Dreieck (WSW)
  • Größen im Dreieck (SSW)
  • Geometrie eines Sechsecks
  • Tangenten an einen Kreis
  • Ergänzung zu einer Orthonormalbasis in der Ebene und Koeffizientenbestimmung
  • Seitenlängen, Winkel und Flächeninhalt eines Parallelogramms
  • Rechnen mit Epsilon-Tensor und Kronecker-Symbol
  • Nahtlänge eines Fußballs
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 7. Vektor- und Spatprodukt

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Rechnen mit Vektorprodukten
  • Konstruktion einer Orthonormalbasis und Koeffizientenbestimmung
  • Vektorprodukte und Grassmann-Identität
  • Skalar- und Vektorprodukte und Lagrange-Identität
  • Rechnen mit Spatprodukten
  • Gleichungen mit Skalar-, Vektor- und Spatprodukten
  • Volumen und Oberfläche eines Spats
  • Volumen und Grundfläche eines Tetraeders
  • Oberfläche und Volumen eines Tetraeders
  • Koordinatenbestimmung mit Hilfe des Spatproduktes
  • Volumina der Schnittkörper eines Tetraeders mit einer Ebene
  • Volumen eines aus Spaten bestehenden Körpers
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 8. Geraden und Ebenen

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Abstand eines Punktes von einer Geraden und Projektion
  • Schnittpunkte von Geraden mit einer Gerade in parametrischer Darstellung
  • Schnittpunkte von Geraden mit einer Gerade in impliziter Darstellung
  • Schnittpunkte von Geraden
  • Abstand zweier Geraden und nächst gelegene Punkte
  • Abstand zweier Flugbahnen
  • Umwandlung von Drei-Punkte- in Hesse-Normalform
  • Ebene durch einen Punkt und eine Gerade
  • Schnittpunkt und -winkel von zwei Geraden und aufgespannte Ebene
  • Projektion eines Punktes auf eine Gerade und Hesse-Normalform
  • Abstand eines Punktes von einer Ebene und Projektion
  • Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene und Schnittwinkel
  • Schnittwinkel und Schnittgerade zweier Ebenen
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Differentialrechnung

Frontmatter

Kapitel 9. Polynome und rationale Funktionen

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Definitions- und Wertebereich einer Funktion
  • Reelle und komplexe Faktorisierung eines Polynoms
  • Interpolation mit einer Parabel
  • Parabelförmige Flugbahn
  • Graphen rationaler Funktionen
  • Definitionslücken und irreduzible Darstellung einer rationalen Funktion
  • Partialbruchzerlegung einfacher Ausdrücke
  • Partialbruchzerlegung, Grad (4, 2)
  • Reelle Partialbruchzerlegung, Grad (4, 3)
  • Komplexe Partialbruchzerlegung, Grad (3, 4)
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 10. Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Rentenberechnung
  • Vergleich von Darlehen
  • Rechnen mit Potenzen und Logarithmen
  • Radioaktiver Zerfall
  • Kosinus und Sinus spezieller Winkel
  • Umwandlung trigonometrischer Polynome
  • Überlagerung harmonischer Schwingungen
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 11. Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Elementare Berechnung von Grenzwerten
  • Grenzwerte von Wurzelausdrücken
  • Konvergenz einer rekursiv definierten Folge
  • Grenzwerte von Quotienten, Fakultäten und Potenzen
  • Reihenwerte
  • Konvergenz und Divergenz von Reihen
  • Konvergenz von Potenzreihen
  • Konvergenzradius einer parameterabhängigen Potenzreihe und Randbetrachtung
  • Pythagoräischer Baum
  • Stetigkeit im Nullpunkt
  • Stetigkeit von Potenzfunktionen
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 12. Differentiationsregeln und Anwendungen

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten
  • Produkt- und Leibniz-Regel
  • Krümmung einer Kurve in Polarkoordinaten
  • Quotientenregel
  • Kettenregel
  • Zweimaliges Ableiten mit Ketten- und Quotientenregel
  • Berechnung von Ableitungen aus tabellierten Werten
  • Ableitungen der Umkehrfunktion
  • Ableitung von Exponentialausdrücken
  • Fehlerfortpflanzung
  • Grenzwerte mit Hilfe der Regel von l'Hospital
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 13. Taylor-Entwicklung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Taylor-Darstellung von Polynomen
  • Quadratische Taylor-Polynome und Restglied
  • Quadratisches Taylor-Polynom und Abschätzung des Restglieds
  • Quadratische Taylor-Entwicklung einer zusammengesetzten Funktion
  • Lineare und quadratische Taylor-Approximation einer dritten Wurzel
  • Lineare Interpolation tabellierterWerte und Taylor-Approximation
  • Konstruktion von Taylor-Entwicklungen
  • Abschätzung mit Landau-Symbolen
  • Rundungsfehler bei Addition von Gleitpunktzahlen
  • Grenzwerte mit Taylor-Entwicklung
  • Taylor-Approximation einer implizit definierten Funktion
  • Taylor-Reihe einer Logarithmusfunktion
  • Taylor-Reihe einer rationalen Funktion
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 14. Extremwerte und Funktionsuntersuchung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Extrema und Graph einer Betragsfunktion
  • Schachtel mit größtem Volumen
  • Maximierung von Einnahmen aus Buchverkäufen
  • Tangente an eine Parabel und minimales Dreieck
  • Autobahnzufahrt
  • Funktionsuntersuchung eines Polynoms
  • Funktionsuntersuchung einer rationalen Funktion
  • Definitionsbereich und Extrema einer Wurzelfunktion
  • Funktionsuntersuchung einer trigonometrischen Funktion
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Integralrechnung

Frontmatter

Kapitel 15. Integral und Stammfunktion

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Grenzwerte als Riemann-Summen
  • Fläche, begrenzt durch den Graph eines Polynoms
  • Integration elementarer Wurzelfunktionen
  • Integrale von Exponential- und Logarithmusfunktionen
  • Rationale Integranden mit einer Polstelle
  • Integration von Potenzen
  • Integrale elementarer trigonometrischer Funktionen
  • Differenzieren von Integralen
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 16. Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Stammfunktionen von Produkten mit linearen Funktionen
  • Partielle Integration von Produkten mit Exponentialfunktionen
  • Partielle Integration von Potenzen, Logarithmus und Sinus
  • Substitution durch direkte Anwendung der Kettenregel
  • Substitution bei Integranden mit Exponential- und Logarithmusfunktionen
  • Integration von Wurzelausdrücken
  • Elementare rationale Integranden
  • Integration mit Partialbruchzerlegung, Grad (3, 4)
  • Integration mit Partialbruchzerlegung, Grad (3, 2)
  • Trigonometrische Substitutionen
  • Substitution von Hyperbelfunktionen bei Integration von Wurzelausdrücken
  • Integration rationaler trigonometrischer Funktionen
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 17. Uneigentliche Integrale

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Konvergenz von uneigentlichen Integralen
  • Uneigentliche Integrale mit Exponential- und Logarithmusfunktionen
  • Uneigentliche Integrale mit Parameter
  • Integration einer rationalen Funktion mit Grad (1, 3) über ℝ+
  • Integration einer rationalen Funktion mit Grad (2, 4) über ℝ
  • Integral des Produktes eines Polynoms mit einer Exponentialfunktion über ℝ
  • Uneigentliches Integral eines Produktes von Kosinus und einer Exponentialfunktion
  • Uneigentliche Integrale von Wurzelausdrücken
  • Uneigentliches Integral und geometrische Reihe
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Anwendungen mathematischer Software

Frontmatter

Kapitel 18. Matlab®

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Schätzen von Wahrscheinlichkeiten mit Matlab®
  • Polynominterpolation mit Matlab®
  • Überlagerung harmonischer Schwingungen mit Matlab®
  • Zeichnen von Lissajous-Figuren mit Matlab®
  • Matlab® -Implementierung des Newton-Verfahrens
  • Taylor-Approximation mit Matlab®
  • Funktionsuntersuchung mit Matlab®
  • Integration mit Matlab®
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 19. MapleTM

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Lösen von Gleichungen mit MapleTM
  • Faktorisierung und Partialbruchzerlegung mit MapleTM
  • Grenzwerte mit MapleTM
  • Summen und Reihen mit MapleTM
  • Differentiation mit MapleTM
  • Taylor- und Pade-Approximation mit MapleTM
  • Integration mit MapleTM
  • MapleTM -Illustration der Superkonvergenz der Mittelpunktsregel für periodische Integranden
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Backmatter

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