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2021 | Buch

Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1

verfasst von: Prof. Dr. Klaus Höllig, Jörg Hörner

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Mehr als 500 typische Klausur- und Übungsaufgaben zur Höheren Mathematik für Ingenieure, Natur- und Wirtschaftswissenschaftler mit detaillierten Lösungen ermöglichen eine optimale Vorbereitung auf Prüfungen und erleichtern die Bearbeitung von Übungsblättern. Darüber hinaus illustrieren Programmieraufgaben den Einsatz von MATLAB® und MapleTM bei zentralen mathematischen Problemstellungen.

Die dritte Auflage enthält eine Reihe neuer Aufgaben insbesondere zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und eine Formelsammlung zum schnellen Nachschlagen verwendeter Methoden und Lehrsätze.

Inhalt dieses ersten Bandes

Mathematische Grundlagen

Vektorrechnung

Differentialrechnung

Integralrechnung

Anwendungen mathematischer Software

Ergänzt werden die Bände der Neuauflage durch Präsentationsfolien zu den Themengebieten der Höheren Mathematik sowie das Lexikon und die Aufgabensammlung von Mathematik-Online.

Diese Internet-Angebote bieten insbesondere ausführliche Beschreibungen mathematischer Lehrsätze und Methoden und ermöglichen, erlernte Techniken interaktiv zu überprüfen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung

Grundlage für die Aufgaben der drei Bände von Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik bildet der Stoff, der üblicherweise Bestandteil der Mathematik-Grundvorlesungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften ist.

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Mathematische Grundlagen

Frontmatter

Kapitel 2. Elementare Logik

Zusammenfassung

Übersicht

1.1

Vereinfachung eines logischen Ausdrucks

1.2

Umformung und Wahrheitswerttabelle für einen logischen Ausdruck

1.3

Vereinfachung einer logischen Schaltung ? *

1.4

Wahrheitswerttabellen für logische Ausdrücke

1.5

Beschreibung mit Quantoren: Größter gemeinsamer Teiler

1.6

Direkter Beweis: Kathetensatz

1.7

Beweis von Identitäten für Binomialkoeffizienten

1.8

Indirekter Beweis: Irrationalität einer dritten Wurzel

1.9

Indirekter Beweis: Irrationalität von Koordinaten gleichseitiger Dreiecke

1.10

Induktionsbeweis: Summe rationaler Ausdrücke

1.11

Rekursion und vollständige Induktion

1.12

Induktionsbeweis: Winkelsumme im n-Eck ? *

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 3. Mengen und Abbildungen

Zusammenfassung

Übersicht

2.1

Mengenoperationen

2.2

Teilmengenbestimmung mit Venn-Diagramm

2.3

Anwendung von Regeln für Mengenoperationen

2.4

Gleichung mit Betragsfunktionen

2.5

Lösungsmengen von Ungleichungen

2.6

Eigenschaften von Relationen

2.7

Äquivalenzrelationen

2.8

Abbildungseigenschaften von Funktionen

2.9

Surjektivität und Injektivität einer parameterabhängigen Abbildung

2.10

Invertierung und Komposition von Funktionen.

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 4. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Zusammenfassung

Übersicht

3.1

Ziffernkombinationen bei fünfstelligen Zahlen

3.2

Gruppeneinteilungen von acht Personen ? *

3.3

Zeigerpositionen einer Uhr ? *

3.4

Wahrscheinlichkeit eines Dreiers beim Würfeln

3.5

Lotto-Wunder

3.6

Statistik von Todesfällen

3.7

Binomialverteilung bei einem Glücksrad

3.8

Gewinnwahrscheinlichkeit beim Ziehen von Losen

3.9

Wahrscheinlichkeiten bei einem Urnenmodell

3.10

Wahrscheinlichkeit von Drilling und Full House

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 5. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

Übersicht

4.1

Koordinaten- und Polarform komplexer Zahlen

4.2

Addition und Umwandlung komplexer Zahlen

4.3

Umwandlung trigonometrischer Ausdrücke

4.4

Mengen in der Gaußschen Zahlenebene

4.5

Multiplikation komplexer Zahlen

4.6

Division komplexer Zahlen

4.7

Quotienten komplexer Ausdrücke

4.8

Rechnen mit komplexen Zahlen

4.9

Komplexe Widerstände im Wechselstromkreis

4.10

Komplexe Wurzel

4.11

Potenzen komplexer Zahlen

4.12

Quadratische Gleichung

4.13

Kubische Gleichung

4.14

Biquadratische Gleichung

4.15

Kreise in der Gaußschen Zahlenebene

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Vektorrechnung

Frontmatter

Kapitel 6. Vektoren

Zusammenfassung

Übersicht

5.1

Koordinatendarstellungen im Raum

5.2

Addition von Vektoren, Resultierende Geschwindigkeit

5.3

Kräfteparallelogramm

5.4

Überlagerung von Gravitationskräften

5.5

Teilpunkte und Teilfläche in einem Dreieck

5.6

Linearkombination von Vektoren im Raum

5.7

Vektorielles Beweisen

5.8

Ecken eines Würfels ? *

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 7. Längen, Winkel und Skalarprodukt

Zusammenfassung

Übersicht

6.1

Skalarprodukt, Betrag und Winkel für Vektoren

6.2

Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks

6.3

Größen im Dreieck (WSW)

6.4

Größen im Dreieck (SSW)

6.5

Geometrie eines Sechsecks ? *

6.6

Tangenten an einen Kreis

6.7

Ergänzung zu einer Orthonormalbasis in der Ebene und Koeffizientenbestimmung

6.8

Seitenlängen, Winkel und Flächeninhalt eines Parallelogramms

6.9

Rechnen mit Epsilon-Tensor und Kronecker-Symbol

6.10

Nahtlänge eines Fußballs ? *

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 8. Vektor- und Spatprodukt

Zusammenfassung

Übersicht

7.1

Rechnen mit Vektorprodukten

7.2

Konstruktion einer Orthonormalbasis und Koeffizientenbestimmung

7.3

Vektorprodukte und Grassmann-Identität

7.4

Skalar- und Vektorprodukte und Lagrange-Identität

7.5

Rechnen mit Spatprodukten

7.6

Gleichungen mit Skalar-, Vektor- und Spatprodukten

7.7

Volumen und Oberfläche eines Spats

7.8

Volumen und Grundfläche eines Tetraeders

7.9

Oberfläche und Volumen eines Tetraeders

7.10

Koordinatenbestimmung mit Hilfe des Spatproduktes

7.11

Volumina der Schnittkörper eines Tetraeders mit einer Ebene

7.12

Volumen eines aus Spaten bestehenden Körpers ? *

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 9. Geraden und Ebenen

Zusammenfassung

Übersicht

8.1

Abstand eines Punktes von einer Geraden und Projektion

8.2

Schnittpunkte von Geraden mit einer Geraden in parametrischer Darstellung

8.3

Schnittpunkte von Geraden mit einer Geraden in impliziter Darstellung

8.4

Schnittpunkte von Geraden

8.5

Abstand zweier Geraden und nächst gelegene Punkte

8.6

Abstand zweier Flugbahnen ? *

8.7

Umwandlung von Drei-Punkte- in Hesse-Normalform

8.8

Ebene durch einen Punkt und eine Gerade

8.9

Schnittpunkt und -winkel von zwei Geraden und aufgespannte Ebene

8.10

Projektion eines Punktes auf eine Gerade und Hesse-Normalform

8.11

Abstand eines Punktes von einer Ebene und Projektion

8.12

Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene und Schnittwinkel

8.13

Winkel zwischen Kanten und Flächen einer Pyramide

8.14

Schnittwinkel und Schnittgerade zweier Ebenen

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Differentialrechnung

Frontmatter

Kapitel 10. Polynome und rationale Funktionen

Zusammenfassung

Übersicht

9.1

Definitions- und Wertebereich einer Funktion

9.2

Reelle und komplexe Faktorisierung eines Polynoms

9.3

Interpolation mit einer Parabel

9.4

Parabelförmige Flugbahn

9.5

Graphen rationaler Funktionen

9.6

Definitionslücken und irreduzible Darstellung einer rationale Funktion

9.7

Partialbruchzerlegung einfacher Ausdrücke

9.8

Partialbruchzerlegung, Grad (4, 2)

9.9

Reelle Partialbruchzerlegung, Grad (4, 3)

9.10

Komplexe Partialbruchzerlegung, Grad (3, 4)

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 11. Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

Zusammenfassung

Übersicht

10.1

Rentenberechnung

10.2

Vergleich von Darlehen

10.3

Rechnen mit Potenzen und Logarithmen

10.4

Vereinfachen von Exponentialausdrücken und Logarithmen

10.5

Parameterbestimmung in einem Wachstumsmodell

10.6

Gleichungen mit Exponentialfunktionen

10.7

Radioaktiver Zerfall

10.8

Kosinus und Sinus spezieller Winkel

10.9

Umwandlung trigonometrischer Polynome ? *

10.10

Überlagerung harmonischer Schwingungen

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 12. Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

Zusammenfassung

Übersicht

11.1

Elementare Berechnung von Grenzwerten

11.2.

Grenzwerte von Wurzelausdrücken

11.3

Konvergenz einer rekursiv definierten Folge

11.4

Grenzwerte von Quotienten, Fakultäten und Potenzen

11.5

Reihenwerte

11.6

Konvergenz und Divergenz von Reihen

11.7

Konvergenz von Potenzreihen

11.8

Konvergenzradius einer parameterabhängigen Potenzreihe und Randbetrachtung

11.9

Pythagoräischer Baum ? *

11.10

Stetigkeit im Nullpunkt

11.11

Stetigkeit von Potenzfunktionen

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 13. Differentiationsregeln und Anwendungen

Zusammenfassung

Übersicht

12.1

Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten

12.2

Produkt- und Leibniz-Regel

12.3

Krümmung einer Kurve in Polarkoordinaten

12.4

Quotientenregel

12.5

Kettenregel

12.6

Zweimaliges Ableiten mit Ketten- und Quotientenregel

12.7

Berechnung von Ableitungen aus tabellierten Werten

12.8

Ableitungen der Umkehrfunktion

12.9

Ableitung von Exponentialausdrücken

12.10

Fehlerfortpflanzung

12.11

Grenzwerte mit Hilfe der Regel von L’Hôpital

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 14. Taylor-Entwicklung

Zusammenfassung

Übersicht

13.1

Taylor-Darstellung von Polynomen

13.2

Quadratische Taylor-Polynome und Restglied

13.3

Quadratisches Taylor-Polynom und Abschätzung des Restglieds

13.4

Quadratische Taylor-Entwicklung einer zusammengesetzten Funktion

13.5

Lineare und quadratische Taylor-Approximation einer dritten Wurzel

13.6

Padé-Approximation der Exponentialfunktion

13.7

Lineare Interpolation tabellierterWerte und Taylor-Approximation

13.8

Konstruktion von Taylor-Entwicklungen

13.9

Abschätzung mit Landau-Symbolen

13.10

Rundungsfehler bei Addition von Gleitpunktzahlen

13.11

Grenzwerte mit Taylor-Entwicklung

13.12

Taylor-Approximation einer implizit definierten Funktion

13.13

Taylor-Reihe einer Logarithmusfunktion

13.14

Taylor-Reihe einer rationalen Funktion

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 15. Extremwerte und Funktionsuntersuchung

Zusammenfassung

Übersicht

14.1

Extrema und Graph einer Betragsfunktion

14.2

Schachtel mit größtem Volumen

14.3

Maximierung von Einnahmen aus Buchverkäufen

14.4

Tangente an eine Parabel und minimales Dreieck

14.5

Autobahnzufahrt

14.6

Abstand zu einer Parabel

14.7

Extremales Rechteck in einer Ellipse

14.8

Funktionsuntersuchung eines Polynoms

14.9

Funktionsuntersuchung einer rationalen Funktion

14.10

Definitionsbereich und Extrema einer Wurzelfunktion

14.11

Funktionsuntersuchung einer trigonometrischen Funktion

14.12

Funktionsuntersuchung einer Exponentialfunktion

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Integralrechnung

Frontmatter

Kapitel 16. Integral und Stammfunktion

Zusammenfassung

Übersicht

15.1

Grenzwerte als Riemann-Summen

15.2

Fehler von Riemann-Summen

15.3

Gewichte einer Quadraturformel

15.4

Fläche, begrenzt durch den Graph eines Polynoms

15.5

Integration elementarer Wurzelfunktionen

15.6

Integrale von Exponential- und Logarithmusfunktionen

15.7

Rationale Integranden mit einer Polstelle

15.8

Integration von Potenzen

15.9

Integrale elementarer trigonometrischer Funktionen

15.10

Differenzieren von Integralen

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 17. Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

Zusammenfassung

Übersicht

16.1

Stammfunktionen von Produkten mit linearen Funktionen

16.2

Partielle Integration von Produkten mit Exponentialfunktionen

16.3

Partielle Integration von Potenzen, Logarithmus und Sinus

16.44

Taylor-Entwicklung und partielle Integration

16.5

Substitution durch direkte Anwendung der Kettenregel

16.6

Substitution bei Integranden mit Exponential– und Logarithmusfunktionen

16.7

Integration von Wurzelausdrücken

16.8

Elementare rationale Integranden

16.9

Integration mit Partialbruchzerlegung, Grad (3; 4)

16.10

Integration mit Partialbruchzerlegung, Grad (3; 2)

16.11

Trigonometrische Substitutionen

16.12

Substitution von Hyperbelfunktionen bei Integration von Wurzelausdrücken

16.13

Integration rationaler trigonometrischer Funktionen

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 18. Uneigentliche Integrale

Zusammenfassung

Übersicht

17.1

Konvergenz von uneigentlichen Integralen

17.22

Uneigentliche Integrale mit Exponential- und Logarithmusfunktionen

17.3

Uneigentliche Integrale mit Parameter

17.4

Integration einer rationalen Funktion mit Grad (1; 3) über \({\mathbb{R}}\)+

17.5

Integration einer rationalen Funktion mit Grad (2; 4) über \({\mathbb{R}}\)

17.6

Integral des Produktes eines Polynoms mit einer Exponentialfunktion über \({\mathbb{R}}\)

17.7

Uneigentliches Integral eines Produktes von Kosinus und einer Exponentialfunktion

17.8

Uneigentliche Integrale von Wurzelausdrücken

17.9

Dichtefunktionen und Erwartungswerte

17.10

Uneigentliches Integral eines Quotienten aus Logarithmus und Polynom

17.11

Uneigentliches Integral und geometrische Reihe

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Anwendungen mathematischer Software

Frontmatter

Kapitel 19. Matlab®

Zusammenfassung

18.1

Schätzen von Wahrscheinlichkeiten mit Matlab^®

18.2

Polynominterpolation mit Matlab^®

18.3

Überlagerung harmonischer Schwingungen mit Matlab^®

18.4

Zeichnen von Lissajous-Figuren mit Matlab^®

18.5

Matlab® -Implementierung des Newton-Verfahrens

18.6

Taylor-Approximation mit Matlab^®

18.7

Funktionsuntersuchung mit Matlab^®

18.8

Integration mit Matlab^®

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 20. MapleTM

Zusammenfassung

Übersicht

19.1

Lösen von Gleichungen mit Maple^TM

19.2

Faktorisierung und Partialbruchzerlegung mit Maple^TM

19.3

Grenzwerte mit Maple^TM

19.4

Summen und Reihen mit Maple^TM

19.5

Differentiation mit Maple^TM

19.6

Taylor- und Padé-Approximation mit Maple^TM

19.7

Integration mit Maple^TM

19.8

Maple^TM -Illustration der Superkonvergenz der Mittelpunktsregel für periodische Integranden

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Formelsammlung

Frontmatter

Kapitel 21. Mathematische Grundlagen

Zusammenfassung

Übersicht

20.1

Elementare Logik

20.2

Mengen und Abbildungen

20.3

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

20.4

Komplexe Zahlen

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 22. Vektorrechnung

Zusammenfassung

Übersicht

21.1

Vektoren

21.2

Längen, Winkel und Skalarprodukt

21.3

Vektor- und Spatprodukt

21.4

Geraden und Ebenen

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 23. Differentialrechnung

Zusammenfassung

Übersicht

22.1

Polynome und rationale Funktionen

22.2

Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

22.3

Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

22.4

Differentiationsregeln und Anwendungen

22.5

Taylor-Entwicklung

22.6

Extremwerte und Funktionsuntersuchung

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 24. Integralrechnung

Zusammenfassung

Übersicht

23.1

Integral und Stammfunktion

23.2

Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

23.3

Uneigentliche Integrale

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Titel: Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1
verfasst von: Prof. Dr. Klaus Höllig
Jörg Hörner
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-63181-2
Print ISBN: 978-3-662-63180-5
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-63181-2