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Über dieses Buch

Mehr als 500 typische Klausur- und Übungsaufgaben zur Höheren Mathematik für Ingenieure, Natur- und Wirtschaftswissenschaftler mit detaillierten Lösungen ermöglichen eine optimale Vorbereitung auf Prüfungen und erleichtern die Bearbeitung von Übungsblättern. Darüber hinaus illustrieren Programmieraufgaben den Einsatz von MATLAB® und MapleTM bei zentralen mathematischen Problemstellungen.

Die dritte Auflage enthält eine Reihe neuer Aufgaben insbesondere zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und eine Formelsammlung zum schnellen Nachschlagen verwendeter Methoden und Lehrsätze.


Inhalt dieses ersten Bandes

Mathematische Grundlagen

Vektorrechnung

Differentialrechnung

Integralrechnung

Anwendungen mathematischer Software

Ergänzt werden die Bände der Neuauflage durch Präsentationsfolien zu den Themengebieten der Höheren Mathematik sowie das Lexikon und die Aufgabensammlung von Mathematik-Online.


Diese Internet-Angebote bieten insbesondere ausführliche Beschreibungen mathematischer Lehrsätze und Methoden und ermöglichen, erlernte Techniken interaktiv zu überprüfen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Grundlage für die Aufgaben der drei Bände von Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik bildet der Stoff, der üblicherweise Bestandteil der Mathematik-Grundvorlesungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften ist.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Mathematische Grundlagen

Frontmatter

Kapitel 2. Elementare Logik

Zusammenfassung
Übersicht
1.1
Vereinfachung eines logischen Ausdrucks
 
1.2
Umformung und Wahrheitswerttabelle für einen logischen Ausdruck
 
1.3
Vereinfachung einer logischen Schaltung ? *
 
1.4
Wahrheitswerttabellen für logische Ausdrücke
 
1.5
Beschreibung mit Quantoren: Größter gemeinsamer Teiler
 
1.6
Direkter Beweis: Kathetensatz
 
1.7
Beweis von Identitäten für Binomialkoeffizienten
 
1.8
Indirekter Beweis: Irrationalität einer dritten Wurzel
 
1.9
Indirekter Beweis: Irrationalität von Koordinaten gleichseitiger Dreiecke
 
1.10
Induktionsbeweis: Summe rationaler Ausdrücke
 
1.11
Rekursion und vollständige Induktion
 
1.12
Induktionsbeweis: Winkelsumme im n-Eck ? *
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 3. Mengen und Abbildungen

Zusammenfassung
Übersicht
2.1
Mengenoperationen
 
2.2
Teilmengenbestimmung mit Venn-Diagramm
 
2.3
Anwendung von Regeln für Mengenoperationen
 
2.4
Gleichung mit Betragsfunktionen
 
2.5
Lösungsmengen von Ungleichungen
 
2.6
Eigenschaften von Relationen
 
2.7
Äquivalenzrelationen
 
2.8
Abbildungseigenschaften von Funktionen
 
2.9
Surjektivität und Injektivität einer parameterabhängigen Abbildung
 
2.10
Invertierung und Komposition von Funktionen.
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 4. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Zusammenfassung
Übersicht
3.1
Ziffernkombinationen bei fünfstelligen Zahlen
 
3.2
Gruppeneinteilungen von acht Personen ? *
 
3.3
Zeigerpositionen einer Uhr ? *
 
3.4
Wahrscheinlichkeit eines Dreiers beim Würfeln
 
3.5
Lotto-Wunder
 
3.6
Statistik von Todesfällen
 
3.7
Binomialverteilung bei einem Glücksrad
 
3.8
Gewinnwahrscheinlichkeit beim Ziehen von Losen
 
3.9
Wahrscheinlichkeiten bei einem Urnenmodell
 
3.10
Wahrscheinlichkeit von Drilling und Full House
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 5. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung
Übersicht
4.1
Koordinaten- und Polarform komplexer Zahlen
 
4.2
Addition und Umwandlung komplexer Zahlen
 
4.3
Umwandlung trigonometrischer Ausdrücke
 
4.4
Mengen in der Gaußschen Zahlenebene
 
4.5
Multiplikation komplexer Zahlen
 
4.6
Division komplexer Zahlen
 
4.7
Quotienten komplexer Ausdrücke
 
4.8
Rechnen mit komplexen Zahlen
 
4.9
Komplexe Widerstände im Wechselstromkreis
 
4.10
Komplexe Wurzel
 
4.11
Potenzen komplexer Zahlen
 
4.12
Quadratische Gleichung
 
4.13
Kubische Gleichung
 
4.14
Biquadratische Gleichung
 
4.15
Kreise in der Gaußschen Zahlenebene
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Vektorrechnung

Frontmatter

Kapitel 6. Vektoren

Zusammenfassung
Übersicht
5.1
Koordinatendarstellungen im Raum
 
5.2
Addition von Vektoren, Resultierende Geschwindigkeit
 
5.3
Kräfteparallelogramm
 
5.4
Überlagerung von Gravitationskräften
 
5.5
Teilpunkte und Teilfläche in einem Dreieck
 
5.6
Linearkombination von Vektoren im Raum
 
5.7
Vektorielles Beweisen
 
5.8
Ecken eines Würfels ? *
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 7. Längen, Winkel und Skalarprodukt

Zusammenfassung
Übersicht
6.1
Skalarprodukt, Betrag und Winkel für Vektoren
 
6.2
Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks
 
6.3
Größen im Dreieck (WSW)
 
6.4
Größen im Dreieck (SSW)
 
6.5
Geometrie eines Sechsecks ? *
 
6.6
Tangenten an einen Kreis
 
6.7
Ergänzung zu einer Orthonormalbasis in der Ebene und Koeffizientenbestimmung
 
6.8
Seitenlängen, Winkel und Flächeninhalt eines Parallelogramms
 
6.9
Rechnen mit Epsilon-Tensor und Kronecker-Symbol
 
6.10
Nahtlänge eines Fußballs ? *
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 8. Vektor- und Spatprodukt

Zusammenfassung
Übersicht
7.1
Rechnen mit Vektorprodukten
 
7.2
Konstruktion einer Orthonormalbasis und Koeffizientenbestimmung
 
7.3
Vektorprodukte und Grassmann-Identität
 
7.4
Skalar- und Vektorprodukte und Lagrange-Identität
 
7.5
Rechnen mit Spatprodukten
 
7.6
Gleichungen mit Skalar-, Vektor- und Spatprodukten
 
7.7
Volumen und Oberfläche eines Spats
 
7.8
Volumen und Grundfläche eines Tetraeders
 
7.9
Oberfläche und Volumen eines Tetraeders
 
7.10
Koordinatenbestimmung mit Hilfe des Spatproduktes
 
7.11
Volumina der Schnittkörper eines Tetraeders mit einer Ebene
 
7.12
Volumen eines aus Spaten bestehenden Körpers ? *
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 9. Geraden und Ebenen

Zusammenfassung
Übersicht
8.1
Abstand eines Punktes von einer Geraden und Projektion
 
8.2
Schnittpunkte von Geraden mit einer Geraden in parametrischer Darstellung
 
8.3
Schnittpunkte von Geraden mit einer Geraden in impliziter Darstellung
 
8.4
Schnittpunkte von Geraden
 
8.5
Abstand zweier Geraden und nächst gelegene Punkte
 
8.6
Abstand zweier Flugbahnen ? *
 
8.7
Umwandlung von Drei-Punkte- in Hesse-Normalform
 
8.8
Ebene durch einen Punkt und eine Gerade
 
8.9
Schnittpunkt und -winkel von zwei Geraden und aufgespannte Ebene
 
8.10
Projektion eines Punktes auf eine Gerade und Hesse-Normalform
 
8.11
Abstand eines Punktes von einer Ebene und Projektion
 
8.12
Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene und Schnittwinkel
 
8.13
Winkel zwischen Kanten und Flächen einer Pyramide
 
8.14
Schnittwinkel und Schnittgerade zweier Ebenen
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Differentialrechnung

Frontmatter

Kapitel 10. Polynome und rationale Funktionen

Zusammenfassung
Übersicht
9.1
Definitions- und Wertebereich einer Funktion
 
9.2
Reelle und komplexe Faktorisierung eines Polynoms
 
9.3
Interpolation mit einer Parabel
 
9.4
Parabelförmige Flugbahn
 
9.5
Graphen rationaler Funktionen
 
9.6
Definitionslücken und irreduzible Darstellung einer rationale Funktion
 
9.7
Partialbruchzerlegung einfacher Ausdrücke
 
9.8
Partialbruchzerlegung, Grad (4, 2)
 
9.9
Reelle Partialbruchzerlegung, Grad (4, 3)
 
9.10
Komplexe Partialbruchzerlegung, Grad (3, 4)
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 11. Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

Zusammenfassung
Übersicht
10.1
Rentenberechnung
 
10.2
Vergleich von Darlehen
 
10.3
Rechnen mit Potenzen und Logarithmen
 
10.4
Vereinfachen von Exponentialausdrücken und Logarithmen
 
10.5
Parameterbestimmung in einem Wachstumsmodell
 
10.6
Gleichungen mit Exponentialfunktionen
 
10.7
Radioaktiver Zerfall
 
10.8
Kosinus und Sinus spezieller Winkel
 
10.9
Umwandlung trigonometrischer Polynome ? *
 
10.10
Überlagerung harmonischer Schwingungen
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 12. Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

Zusammenfassung
Übersicht
11.1
Elementare Berechnung von Grenzwerten
 
11.2.
Grenzwerte von Wurzelausdrücken
 
11.3
Konvergenz einer rekursiv definierten Folge
 
11.4
Grenzwerte von Quotienten, Fakultäten und Potenzen
 
11.5
Reihenwerte
 
11.6
Konvergenz und Divergenz von Reihen
 
11.7
Konvergenz von Potenzreihen
 
11.8
Konvergenzradius einer parameterabhängigen Potenzreihe und Randbetrachtung
 
11.9
Pythagoräischer Baum ? *
 
11.10
Stetigkeit im Nullpunkt
 
11.11
Stetigkeit von Potenzfunktionen
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 13. Differentiationsregeln und Anwendungen

Zusammenfassung
Übersicht
12.1
Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten
 
12.2
Produkt- und Leibniz-Regel
 
12.3
Krümmung einer Kurve in Polarkoordinaten
 
12.4
Quotientenregel
 
12.5
Kettenregel
 
12.6
Zweimaliges Ableiten mit Ketten- und Quotientenregel
 
12.7
Berechnung von Ableitungen aus tabellierten Werten
 
12.8
Ableitungen der Umkehrfunktion
 
12.9
Ableitung von Exponentialausdrücken
 
12.10
Fehlerfortpflanzung
 
12.11
Grenzwerte mit Hilfe der Regel von L’Hôpital
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 14. Taylor-Entwicklung

Zusammenfassung
Übersicht
13.1
Taylor-Darstellung von Polynomen
 
13.2
Quadratische Taylor-Polynome und Restglied
 
13.3
Quadratisches Taylor-Polynom und Abschätzung des Restglieds
 
13.4
Quadratische Taylor-Entwicklung einer zusammengesetzten Funktion
 
13.5
Lineare und quadratische Taylor-Approximation einer dritten Wurzel
 
13.6
Padé-Approximation der Exponentialfunktion
 
13.7
Lineare Interpolation tabellierterWerte und Taylor-Approximation
 
13.8
Konstruktion von Taylor-Entwicklungen
 
13.9
Abschätzung mit Landau-Symbolen
 
13.10
Rundungsfehler bei Addition von Gleitpunktzahlen
 
13.11
Grenzwerte mit Taylor-Entwicklung
 
13.12
Taylor-Approximation einer implizit definierten Funktion
 
13.13
Taylor-Reihe einer Logarithmusfunktion
 
13.14
Taylor-Reihe einer rationalen Funktion
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 15. Extremwerte und Funktionsuntersuchung

Zusammenfassung
Übersicht
14.1
Extrema und Graph einer Betragsfunktion
 
14.2
Schachtel mit größtem Volumen
 
14.3
Maximierung von Einnahmen aus Buchverkäufen
 
14.4
Tangente an eine Parabel und minimales Dreieck
 
14.5
Autobahnzufahrt
 
14.6
Abstand zu einer Parabel
 
14.7
Extremales Rechteck in einer Ellipse
 
14.8
Funktionsuntersuchung eines Polynoms
 
14.9
Funktionsuntersuchung einer rationalen Funktion
 
14.10
Definitionsbereich und Extrema einer Wurzelfunktion
 
14.11
Funktionsuntersuchung einer trigonometrischen Funktion
 
14.12
Funktionsuntersuchung einer Exponentialfunktion
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Integralrechnung

Frontmatter

Kapitel 16. Integral und Stammfunktion

Zusammenfassung
Übersicht
15.1
Grenzwerte als Riemann-Summen
 
15.2
Fehler von Riemann-Summen
 
15.3
Gewichte einer Quadraturformel
 
15.4
Fläche, begrenzt durch den Graph eines Polynoms
 
15.5
Integration elementarer Wurzelfunktionen
 
15.6
Integrale von Exponential- und Logarithmusfunktionen
 
15.7
Rationale Integranden mit einer Polstelle
 
15.8
Integration von Potenzen
 
15.9
Integrale elementarer trigonometrischer Funktionen
 
15.10
Differenzieren von Integralen
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 17. Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

Zusammenfassung
Übersicht
16.1
Stammfunktionen von Produkten mit linearen Funktionen
 
16.2
Partielle Integration von Produkten mit Exponentialfunktionen
 
16.3
Partielle Integration von Potenzen, Logarithmus und Sinus
 
16.44
Taylor-Entwicklung und partielle Integration
 
16.5
Substitution durch direkte Anwendung der Kettenregel
 
16.6
Substitution bei Integranden mit Exponential– und Logarithmusfunktionen
 
16.7
Integration von Wurzelausdrücken
 
16.8
Elementare rationale Integranden
 
16.9
Integration mit Partialbruchzerlegung, Grad (3; 4)
 
16.10
Integration mit Partialbruchzerlegung, Grad (3; 2)
 
16.11
Trigonometrische Substitutionen
 
16.12
Substitution von Hyperbelfunktionen bei Integration von Wurzelausdrücken
 
16.13
Integration rationaler trigonometrischer Funktionen
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 18. Uneigentliche Integrale

Zusammenfassung
Übersicht
17.1
Konvergenz von uneigentlichen Integralen
 
17.22
Uneigentliche Integrale mit Exponential- und Logarithmusfunktionen
 
17.3
Uneigentliche Integrale mit Parameter
 
17.4
Integration einer rationalen Funktion mit Grad (1; 3) über \({\mathbb{R}}\)+
 
17.5
Integration einer rationalen Funktion mit Grad (2; 4) über \({\mathbb{R}}\)
 
17.6
Integral des Produktes eines Polynoms mit einer Exponentialfunktion über \({\mathbb{R}}\)
 
17.7
Uneigentliches Integral eines Produktes von Kosinus und einer Exponentialfunktion
 
17.8
Uneigentliche Integrale von Wurzelausdrücken
 
17.9
Dichtefunktionen und Erwartungswerte
 
17.10
Uneigentliches Integral eines Quotienten aus Logarithmus und Polynom
 
17.11
Uneigentliches Integral und geometrische Reihe
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Anwendungen mathematischer Software

Frontmatter

Kapitel 19. Matlab®

Zusammenfassung
18.1
Schätzen von Wahrscheinlichkeiten mit Matlab®
 
18.2
Polynominterpolation mit Matlab®
 
18.3
Überlagerung harmonischer Schwingungen mit Matlab®
 
18.4
Zeichnen von Lissajous-Figuren mit Matlab®
 
18.5
Matlab® -Implementierung des Newton-Verfahrens
 
18.6
Taylor-Approximation mit Matlab®
 
18.7
Funktionsuntersuchung mit Matlab®
 
18.8
Integration mit Matlab®
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 20. MapleTM

Zusammenfassung
Übersicht
19.1
Lösen von Gleichungen mit MapleTM
 
19.2
Faktorisierung und Partialbruchzerlegung mit MapleTM
 
19.3
Grenzwerte mit MapleTM
 
19.4
Summen und Reihen mit MapleTM
 
19.5
Differentiation mit MapleTM
 
19.6
Taylor- und Padé-Approximation mit MapleTM
 
19.7
Integration mit MapleTM
 
19.8
MapleTM -Illustration der Superkonvergenz der Mittelpunktsregel für periodische Integranden
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Formelsammlung

Frontmatter

Kapitel 21. Mathematische Grundlagen

Zusammenfassung
Übersicht
20.1
Elementare Logik
 
20.2
Mengen und Abbildungen
 
20.3
Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
 
20.4
Komplexe Zahlen
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 22. Vektorrechnung

Zusammenfassung
Übersicht
21.1
Vektoren
 
21.2
Längen, Winkel und Skalarprodukt
 
21.3
Vektor- und Spatprodukt
 
21.4
Geraden und Ebenen
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 23. Differentialrechnung

Zusammenfassung
Übersicht
22.1
Polynome und rationale Funktionen
 
22.2
Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen
 
22.3
Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit
 
22.4
Differentiationsregeln und Anwendungen
 
22.5
Taylor-Entwicklung
 
22.6
Extremwerte und Funktionsuntersuchung
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 24. Integralrechnung

Zusammenfassung
Übersicht
23.1
Integral und Stammfunktion
 
23.2
Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden
 
23.3
Uneigentliche Integrale
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner
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