Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1

Inhaltsverzeichnis

1. Frontmatter

2. Kapitel 1. Einleitung

   Klaus Höllig, Jörg Hörner

   Zusammenfassung

   Grundlage für die Aufgaben der drei Bände von Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik bildet der Stoff, der üblicherweise Bestandteil der Mathematik- Grundvorlesungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften ist. Die Reihenfolge der Themen entspricht einem typischen dreisemestrigen Vorlesungszyklus Höhere Mathematik für Fachrichtungen, die ein umfassendes Mathematikangebot benötigen.

3. Mathematische Grundlagen

   1. Frontmatter

   2. Kapitel 2. Elementare Logik

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      1.1 Vereinfachung eines logischen Ausdrucks

      1.2 Umformung und Wahrheitswerttabelle für einen logischen Ausdruck

      1.3 Vereinfachung einer logischen Schaltung *

      1.4 Wahrheitswerttabellen für logische Ausdrücke

      1.5 Logischer Ausdruck zu einer Wahrheitswerttabelle

      1.6 Beschreibung mit Quantoren: Größter gemeinsamer Teiler

      1.7 Umwandlung in Dual- und Hexadezimaldarstellung

      1.8 Direkter Beweis: Kathetensatz

      1.9 Beweis von Identitäten für Binomialkoeffizienten

      1.10 Teilbarkeit durch 9 und 11

      1.11 Indirekter Beweis: Irrationalität einer dritten Wurzel

      1.12 Indirekter Beweis: Irrationalität von Koordinaten gleichseitiger Dreiecke

      1.13 Induktionsbeweis: Summe rationaler Ausdrücke

      1.14 Rekursion und vollständige Induktion

      1.15 Induktionsbeweis: Winkelsumme im n-Eck *

      1.16 Summe ungerader Zahlen und Quadratzahlen

      1.17 Identitäten für Fibonacci-Zahlen

      1.18 Nicos Töchter ⋆

   3. Kapitel 3. Mengen und Abbildungen

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      2.1 Mengenoperationen

      2.2 Teilmengenbestimmung mit Venn-Diagramm

      2.3 Anwendung von Regeln für Mengenoperationen

      2.4 Mengenoperationen für Intervalle

      2.5 Konstruktion von Mengen aus Grundobjekten

      2.6 Gleichung mit Betragsfunktionen

      2.7 Gleichung mit Wurzeln

      2.8 Lösungsmengen von Ungleichungen

      2.9 Eigenschaften von Relationen

      2.10 Äquivalenzrelationen

      2.11 Kompatibilität von Mengenoperationen mit Abbildungen

      2.12 Abbildungseigenschaften von Funktionen

      2.13 Surjektivität und Injektivität einer parameterabhängigen Abbildung

      2.14 Invertierung und Komposition von Funktionen

   4. Kapitel 4. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      3.1 Ziffernkombinationen bei fünfstelligen Zahlen

      3.2 Gruppeneinteilungen von acht Personen *

      3.3 Zeigerpositionen einer Uhr *

      3.4 Wahrscheinlichkeit eines Dreiers beim Würfeln

      3.5 Lotto-Wunder

      3.6 Statistik von Todesfällen

      3.7 Binomialverteilung bei einem Glücksrad

      3.8 Gewinnwahrscheinlichkeit beim Ziehen von Losen

      3.9 Wahrscheinlichkeiten bei einem Urnenmodell

      3.10 Wahrscheinlichkeit von Drilling und Full House

      3.11 Fairness in Las Vegas

   5. Kapitel 5. Komplexe Zahlen

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      4.1 Koordinaten- und Polarform komplexer Zahlen

      4.2 Komplexe Konjugation

      4.3 Addition und Umwandlung komplexer Zahlen

      4.4 Umwandlung trigonometrischer Ausdrücke

      4.5 Trigonometrische Summen ⋆

      4.6 Mengen in der Gaußschen Zahlenebene

      4.7 Multiplikation komplexer Zahlen

      4.8 Division komplexer Zahlen

      4.9 Quotienten komplexer Ausdrücke

      4.10 Rechnen mit komplexen Zahlen

      4.11 Komplexe Widerstände im Wechselstromkreis

      4.12 Komplexe Wurzel

      4.13 Potenzen komplexer Zahlen

      4.14 Quadratische Gleichung

      4.15 Kubische Gleichung

      4.16 Biquadratische Gleichung

      4.17 Kreise in der Gaußschen Zahlenebene

   6. Kapitel 6. Tests

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      5.1 Elementare Logik

      5.2 Mengen und Abbildungen

      5.3 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

      5.4 Komplexe Zahlen

4. Vektorrechnung

   1. Frontmatter

   2. Kapitel 7. Vektoren

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      6.1 Koordinatendarstellungen im Raum

      6.2 Addition von Vektoren, Resultierende Geschwindigkeit

      6.3 Kräfteparallelogramm

      6.4 Überlagerung von Gravitationskräften

      6.5 Gewicht am Seil

      6.6 Teilpunkte und Teilfläche in einem Dreieck

      6.7 Linearkombination von Vektoren im Raum

      6.8 Umkreis eines Dreiecks

      6.9 Inkreis eines Dreiecks

      6.10 Vektorielles Beweisen

      6.11 Ecken eines Würfels *

      6.12 Eckpunkte eines Spats

   3. Kapitel 8. Längen, Winkel und Skalarprodukt

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      7.1 Skalarprodukt, Betrag und Winkel für Vektoren

      7.2 Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks

      7.3 Größen im Dreieck (WSW)

      7.4 Größen im Dreieck (SSW)

      7.5 Berechnung von Seitenlängen und Winkeln eines Dreiecks

      7.6 Geometrie eines Sechsecks *

      7.7 Orthogonale Kanten eines regulären Tetraeders

      7.8 Tangenten an einen Kreis

      7.9 Länge eines Keilriemens

      7.10 Ergänzung zu einer Orthonormalbasis in der Ebene und Koeffizientenbestimmung

      7.11 Seitenlängen, Winkel und Flächeninhalt eines Parallelogramms

      7.12 Rechnen mit Epsilon-Tensor und Kronecker-Symbol

      7.13 Nahtlänge eines Fußballs *

   4. Kapitel 9. Vektor- und Spatprodukt

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      8.1 Rechnen mit Vektorprodukten

      8.2 Konstruktion einer Orthonormalbasis und Koeffizientenbestimmung

      8.3 Vektorprodukte und Grassmann-Identität

      8.4 Skalar- und Vektorprodukte und Lagrange-Identität

      8.5 Flächeninhalt eines polygonalen Bereichs

      8.6 Rechnen mit Spatprodukten

      8.7 Gleichungen mit Skalar-, Vektor- und Spatprodukten

      8.8 Fläche und umbauter Raum eines Walmdachs

      8.9 Volumen und Oberfläche eines Spats

      8.10 Volumen und Grundfläche eines Tetraeders

      8.11 Oberfläche und Volumen eines Tetraeders

      8.12 Koordinatenbestimmung mit Hilfe des Spatproduktes

      8.13 Volumina der Schnittkörper eines Tetraeders mit einer Ebene

      8.14 Volumen eines aus Spaten bestehenden Körpers *

   5. Kapitel 10. Geraden und Ebenen

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      9.1 Abstand eines Punktes von einer Geraden und Projektion

      9.2 Schnittpunkte von Geraden mit einer Geraden in parametrischer Darstellung

      9.3 Schnittpunkte von Geraden mit einer Geraden in impliziter Darstellung

      9.4 Schnittpunkte von Geraden

      9.5 Geschlossene Fünfbänder beim Billard *

      9.6 Abstand zweier Geraden und nächst gelegene Punkte

      9.7 Abstand zweier Flugbahnen *

      9.8 Umwandlung von Drei-Punkte- in Hesse-Normalform

      9.9 Ebene durch einen Punkt und eine Gerade

      9.10 Schnittpunkt und -winkel von zwei Geraden und aufgespannte Ebene

      9.11 Projektion eines Punktes auf eine Gerade und Hesse-Normalform

      9.12 Orthonormale Basis für eine Ebene

      9.13 Abstand eines Punktes von einer Ebene und Projektion

      9.14 Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene und Schnittwinkel

      9.15 Perspektivische Projektion eines Würfels

      9.16 Winkel zwischen Kanten und Flächen einer Pyramide

      9.17 Schnittwinkel und Schnittgerade zweier Ebenen.

   6. Kapitel 11. Tests

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      10.1 Vektoren

      10.2 Skalarprodukt

      10.3 Vektor- und Spatprodukt

      10.4 Geraden und Ebenen

5. Differentialrechnung

   1. Frontmatter

   2. Kapitel 12. Polynome und rationale Funktionen

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      11.1 Definitions- und Wertebereich einer Funktion

      11.2 Reelle und komplexe Faktorisierung eines Polynoms

      11.3 Interpolation mit einer Parabel

      11.4 Parabelförmige Flugbahn

      11.5 Kubische Interpolation äquidistanter Daten

      11.6 Graphen rationaler Funktionen

      11.7 Definitionslücken und irreduzible Darstellung einer rationalen Funktion

      11.8 Partialbruchzerlegung einfacher Ausdrücke

      11.9 Partialbruchzerlegung, Grad (4, 2)

      11.10 Reelle Partialbruchzerlegung, Grad (4, 3)

      11.11 Komplexe Partialbruchzerlegung, Grad (3, 4)

   3. Kapitel 13. Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      12.1 Rentenberechnung

      12.2 Vergleich von Darlehen

      12.3 Rechnen mit Potenzen und Logarithmen

      12.4 Vereinfachen von Exponentialausdrücken und Logarithmen

      12.5 Parameterbestimmung in einem Wachstumsmodell

      12.6 Gleichungen mit Exponentialfunktionen

      12.7 Radioaktiver Zerfall

      12.8 Kosinus und Sinus spezieller Winkel

      12.9 Umwandlung trigonometrischer Polynome *

      12.10 Trigonometrische Gleichungen

      12.11 Funktionsterm einer harmonischen Schwingung

      12.12 Überlagerung harmonischer Schwingungen

   4. Kapitel 14. Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      13.1 Elementare Berechnung von Grenzwerten s

      13.2 Grenzwerte von Wurzelausdrücken

      13.3 Konvergenz einer rekursiv definierten Folge

      13.4 Grenzwerte von Quotienten, Fakultäten und Potenzen

      13.5 Reihenwerte

      13.6 Konvergenz und Divergenz von Reihen

      13.7 Konvergenz von Potenzreihen

      13.8 Konvergenzradius einer parameterabhängigen Potenzreihe und Randbetrachtung

      13.9 Pythagoräischer Baum *

      13.10 Stetigkeit im Nullpunkt

      13.11 Stetigkeit von Potenzfunktionen

   5. Kapitel 15. Differentiationsregeln und Anwendungen

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      14.1 Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten

      14.2 Produkt- und Leibniz-Regel

      14.3 Krümmung einer Kurve in Polarkoordinaten

      14.4 Quotientenregel

      14.5 Kettenregel

      14.6 Zweimaliges Ableiten mit Ketten- und Quotientenregel

      14.7 Berechnung von Ableitungen aus tabellierten Werten

      14.8 Ableitungen der Umkehrfunktion

      14.9 Ableitung von Exponentialausdrücken *

      14.10 Auslöschung bei Gleitpunktsubtraktion

      14.11 Fehlerfortpflanzung

      14.12 Grenzwerte mit Hilfe der Regel von L’Hôpital

   6. Kapitel 16. Taylor-Entwicklung

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      15.1 Taylor-Darstellung von Polynomen

      15.2 Quadratische Taylor-Polynome und Restglied

      15.3 Quadratisches Taylor-Polynom und Abschätzung des Restglieds

      15.4 Quadratische Taylor-Entwicklung einer zusammengesetzten Funktion

      15.5 Lineare und quadratische Taylor-Approximation einer dritten Wurzel

      15.6 Padé-Approximation der Exponentialfunktion

      15.7 Lineare Interpolation tabellierter Werte und Taylor-Approximation

      15.8 Konstruktion von Taylor-Entwicklungen

      15.9 Abschätzung mit Landau-Symbolen

      15.10 Rundungsfehler bei Addition von Gleitpunktzahlen

      15.11 Grenzwerte mit Taylor-Entwicklung

      15.12 Taylor-Approximation einer implizit definierten Funktion

      15.13 Taylor-Reihe einer Logarithmusfunktion

      15.14 Taylor-Reihe einer rationalen Funktion

   7. Kapitel 17. Extremwerte und Funktionsuntersuchung

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      16.1 Extrema und Graph einer Betragsfunktion

      16.2 Schachtel mit größtem Volumen

      16.3 Maximierung von Einnahmen aus Buchverkäufen

      16.4 Tangente an eine Parabel und minimales Dreieck

      16.5 Autobahnzufahrt *

      16.6 Abstand zu einer Parabel

      16.7 Extremales Rechteck in einer Ellipse

      16.8 Funktionsuntersuchung eines Polynoms

      16.9 Funktionsuntersuchung einer rationalen Funktion

      16.10 Definitionsbereich und Extrema einer Wurzelfunktion

      16.11 Funktionsuntersuchung einer trigonometrischen Funktion

      16.12 Funktionsuntersuchung einer Exponentialfunktion

   8. Kapitel 18. Tests

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      17.1 Polynome und rationale Funktionen

      17.2 Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

      17.3 Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

      17.4 Differentiationsregeln und Anwendungen

      17.5 Taylor-Entwicklung

      17.6 Extremwerte und Funktionsuntersuchung

6. Integralrechnung

   1. Frontmatter

   2. Kapitel 19. Integral und Stammfunktion

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      18.1 Grenzwerte als Riemann-Summen

      18.2 Fehler von Riemann-Summen

      18.3 Gewichte einer Quadraturformel

      18.4 Fläche, begrenzt durch den Graph eines Polynoms

      18.5 Integration elementarer Wurzelfunktionen

      18.6 Stammfunktionen von Wurzelfunktionen

      18.7 Integrale von Exponential- und Logarithmusfunktionen

      18.8 Rationale Integranden mit einer Polstelle

      18.9 Integration von Potenzen

      18.10 Integrale elementarer trigonometrischer Funktionen

      18.11 Differenzieren von Integralen *

   3. Kapitel 20. Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      19.1 Stammfunktionen von Produkten mit linearen Funktionen

      19.2 Partielle Integration von Produkten mit Exponentialfunktionen

      19.3 Partielle Integration von Potenzen, Logarithmus und Sinus

      19.4 Taylor-Entwicklung und partielle Integration *

      19.5 Substitution durch direkte Anwendung der Kettenregel

      19.6 Substitution bei Integranden mit Exponential– und Logarithmusfunktionen

      19.7 Integration von Wurzelausdrücken

      19.8 Elementare rationale Integranden

      19.9 Integration mit Partialbruchzerlegung, Grad (3, 4)

      19.10 Integration mit Partialbruchzerlegung, Grad (3, 2)

      19.11 Trigonometrische Substitutionen

      19.12 Substitution von Hyperbelfunktionen bei Integration von Wurzelausdrücken

      19.13 Integration rationaler trigonometrischer Funktionen

   4. Kapitel 21. Uneigentliche Integrale

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      20.1 Konvergenz von uneigentlichen Integralen

      20.2 Uneigentliche Integrale mit Exponential- und Logarithmusfunktionen

      20.3 Uneigentliche Integrale mit Parameter

      20.4 Integration einer rationalen Funktion mit Grad (1, 3) über R₊

      20.5 Integration einer rationalen Funktion mit Grad (2, 4) über R

      20.6 Integral des Produktes eines Polynoms mit einer Exponentialfunktion über R

      20.7 Uneigentliches Integral eines Produktes von Kosinus und einer Exponentialfunktion.

      20.8 Uneigentliche Integrale von Wurzelausdrücken

      20.9 Dichtefunktionen und Erwartungswerte

      20.10 Uneigentliches Integral eines Quotienten aus Logarithmus und Polynom *

      20.11 Uneigentliches Integral und geometrische Reihe

   5. Kapitel 22. Tests

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      21.1 Integral und Stammfunktion

      21.2 Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

      21.3 Uneigentliche Integrale

7. Anwendungen mathematischer Software

   1. Kapitel 23. MATLAB®

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      22.1 Schätzen von Wahrscheinlichkeiten mit Matlab^®

      22.2 Polarform komplexer Zahlen und komplexe Exponenten mit Matlab^®

      22.3 Vektoroperationen in Matlab^®

      22.4 Parkettierungen mit Matlab^® *

      22.5 Minensuche mit Matlab^® *

      22.6 Julia-Mengen mit Matlab^® *

      22.7 Zinsanalyse mit Matlab^®

      22.8 Polynominterpolation mit Matlab^®

      22.9 Kubische Interpolation mit Matlab^®

      22.10 Überlagerung harmonischer Schwingungen mit Matlab^®

      22.11 Zeichnen von Lissajous-Figuren mit Matlab^®

      22.12 Fraktale Kurven mit Matlab^®

      22.13 Verzweigungsdiagramm der Verhulst-Rekursion mit Matlab^® *

      22.14 Matlab® -Implementierung des Newton-Verfahrens

      22.15 Mullers Verfahren mit Matlab^®

      22.16 Minimierung mit quadratischer Interpolation mit Matlab^®

      22.17 Goldene Suche mit Matlab^®

      22.18 Taylor-Approximation mit Matlab^®

      22.19 Funktionsuntersuchung mit Matlab^®

      22.20 Integration mit Matlab^®

      22.21 Romberg-Extrapolation mit Matlab^®

   2. Kapitel 24. MapleTM

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      23.1 Komplexe Zahlen mit Maple^TM

      23.2 Lösen von Gleichungen mit Maple^TM

      23.3 Elementare Vektor-Operationen mit Maple^TM

      23.4 Interpolation mit Maple^TM

      23.5 Faktorisierung und Partialbruchzerlegung mit Maple^TM

      23.6 Polygonale Approximation quadratischer Splines mit Maple^TM und Matlab^{® *}

      23.7 Grenzwerte mit Maple^TM

      23.8 Summen und Reihen mit Maple^TM

      23.9 Differentiation mit Maple^TM

      23.10 Kurbelgetriebe mit Maple^TM

      23.11 Taylor- und Padé-Approximation mit Maple^TM

      23.12 Differenzenapproximation von Differentialoperatoren mit Maple^TM

      23.13 Extrema mit Maple^TM

      23.14 Funktionsuntersuchung mit Maple^TM

      23.15 Integration mit Maple^TM

      23.16 Gauß-Quadratur mit Maple^TM

      23.17 Maple^TM-Illustration der Superkonvergenz der Mittelpunktsregel für periodische Integranden *

8. Formelsammlung

   1. Frontmatter

   2. Kapitel 25. Mathematische Grundlagen

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      24.1 Elementare Logik

      24.2 Mengen und Abbildungen

      24.3 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

      24.4 Komplexe Zahlen

   3. Kapitel 26. Vektorrechnung

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      25.1 Vektoren

      25.2 Längen, Winkel und Skalarprodukt

      25.3 Vektor- und Spatprodukt

      25.4 Geraden und Ebenen

   4. Kapitel 27. Differentialrechnung

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      26.1 Polynome und rationale Funktionen

      26.2 Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

      26.3 Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

      26.4 Differentiationsregeln und Anwendungen

      26.5 Taylor-Entwicklung

      26.6 Extremwerte und Funktionsuntersuchung

   5. Kapitel 28. Integralrechnung

      Klaus Höllig, Jörg Hörner

      Zusammenfassung

      Übersicht

      27.1 Integral und Stammfunktion

      27.2 Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

      27.3 Uneigentliche Integrale

9. Backmatter