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2019 | Buch

Einleitung Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 2

verfasst von: Prof. Dr. Klaus Höllig, Jörg Hörner

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Mehr als 500 typische Klausur- und Übungsaufgaben zur Höheren Mathematik für Ingenieure, Natur- und Wirtschaftswissenschaftler mit detaillierten Lösungen ermöglichen eine optimale Vorbereitung auf Prüfungen und erleichtern die Bearbeitung von Übungsblättern.

Die wesentlich erweiterte, in drei Bände gegliederte zweite Auflage enthält ebenfalls Aufgaben, die den Einsatz von MATLAB®und Maple(TM) bei zentralen mathematischen Problemstellungen illustrieren.

Inhalt dieses zweiten Bandes

Lineare Algebra

Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen

Mehrdimensionale Integration

Anwendungen mathematischer Software

Ergänzt werden die Bände der Neuauflage durch Präsentationsfolien zu den Themengebieten der Höheren Mathematik sowie das Lexikon und die Aufgabensammlung von Mathematik-Online.

Diese Internet-Angebote bieten insbesondere ausführliche Beschreibungen mathematischer Lehrsätze und Methoden und ermöglichen, erlernte Techniken interaktiv zu überprüfen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Einleitung
Zusammenfassung
Die Einleitung skizziert die Themengebiete der Aufgaben und beschreibt die Darstellungsform der Lösungen sowie die folgenden zusätzlichen Online-Angebote:
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Lineare Algebra

Frontmatter
Kapitel 2. Gruppen und Körper
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Gruppe der linearen Funktionen
  • Untergruppen der Kongruenzabbildungen eines Quadrates
  • Untergruppe generiert durch eine Permutation
  • Rechnen mit Permutationen in Zyklenschreibweise
  • Zyklendarstellung, Vorzeichen und Hintereinanderschaltung von Permutationen
  • Mathematik-Online Schiebepuzzle
  • Verknüpfungstabelle einer Permutationsgruppe
  • Gleichungssystem mit zwei Unbekannten über einem Primkörper
  • Chinesischer Restsatz für drei Kongruenzen
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 3. Vektorräume, Skalarprodukte und Basen
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Unterräume des Vektorraums der Polynome
  • Eigenschaften reeller Skalarprodukte
  • Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im ℝ4
  • Lineare Unabhängigkeit und Basis im ℝ4
  • Basis mit Parameter
  • Basis eines Polynomraums
  • Ergänzung zu einer komplexen orthogonalen Basis und Koeffizientenbestimmung
  • Orthogonale Basis einer Hyperebene und Projektion
  • Basis zu einer Gramschen Matrix
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 4. Lineare Abbildungen und Matrizen
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Linearität von Abbildungen
  • Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
  • Matrix der Projektion auf eine Ebene
  • Matrix eines Basiswechsels
  • Affine Abbildungen
  • Affine Abbildungen in homogenen Koordinaten
  • Matrix-Produkte
  • Matrizen und binomische Formeln
  • Kommutierende 3 × 3-Matrizen
  • Cholesky-Faktorisierung
  • Rechnen mit adjungierten Matrizen
  • Rang einer Matrix und orthogonale Basis für den Kern
  • Rang einer Matrix und orthogonale Basis für das Bild
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 5. Determinanten
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Verschiedene Methoden zur Berechnung einer 3 × 3-Determinante
  • Determinanten von 3 × 3-Matrizen
  • Rechnen mit Determinanten
  • Entwicklung einer 4 × 4-Determinante
  • Determinante einer 5 × 5-Matrix
  • Determinante einer dünn besetzten 5 × 5-Matrix
  • Determinanten von Matrizen mit Block-Struktur
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 6. Lineare Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Cramersche Regel für ein lineares Gleichungssystem (3 × 3)
  • Lineares Gleichungssystem (4 × 4)
  • Affine Transformation zu gegebenen Bildpunkten
  • Punkte innerhalb und außerhalb eines Dreiecks
  • Tridiagonales lineares Gleichungssystem (5 × 5)
  • Elektrischer Schaltkreis
  • Bauer Marcus
  • Zeilenstufenform und allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems (3 × 4)
  • Zeilenstufenform und allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems (3 × 5)
  • Lineares Gleichungssystem mit Parameter (2 × 2)
  • Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit Parameter (3 × 3)
  • Lineares Gleichungssystem mit Parameter (3 × 3)
  • Lineares Gleichungssystem mit Parameter (4 × 3)
  • Inverse einer 3 × 3-Matrix
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 7. Eigenwerte und Normalformen
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Eigenwerte und Eigenvektoren von 2 × 2-Matrizen
  • Eigenwerte und Eigenvektoren einer 3 × 3-Matrix
  • Eigenvektoren von 3 × 3-Matrizen mit dreifachen Eigenwerten
  • Eigenvektoren einer symmetrischen 4 × 4-Matrix
  • Diagonalisierung einer 3 × 3-Matrix
  • Diagonalform einer orthogonalen symmetrischen 3 × 3-Matrix
  • Dritte Wurzel einer 2 × 2-Matrix
  • Eigenwerte und Inverse einer zyklischen 4 × 4-Matrix
  • Normalität und Eigenvektoren einer 2 × 2-Matrix mit Parameter
  • Jordan-Form einer 3 × 3-Matrix
  • Grenzwert bei einer 3-Term-Rekursion
  • Marktanteile konkurrierender Firmen
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 8. Ausgleichsprobleme und Singulärwertzerlegung
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Ausgleichsgerade zu drei Datenpaaren
  • Ausgleichsproblem (3 × 2)
  • Gerade mit kürzesten Abständen zu gegebenen Punkten
  • Ausgleichsebene
  • Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse einer 3 × 2-Matrix
  • Lösung eines Ausgleichsproblems mit der Singulärwertzerlegung
  • Lineare Approximation einer Abbildung
  • Korrektur von Höhenmessungen
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 9. Spiegelungen, Drehungen, Kegelschnitte und Quadriken
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Matrix-Darstellung einer Spiegelung
  • Projektion und Spiegelung, bestimmt durch eine Gerade
  • Drehachse und Drehwinkel
  • Matrixdarstellung einer Drehung
  • Drehmatrix, die gegebene Vektoren ineinander überführt
  • Drehung als Komposition zweier Spiegelungen
  • Zerlegung einer Drehung in Drehungen um die Koordinatenachsen
  • Gleichung einer Ellipse
  • Hauptachsentransformation eines Kegelschnitts
  • Normalform eines Kegelschnitts
  • Normalform und Typ einer parameterabhängigen Quadrik
  • Normalform, Typ und Hauptachsenlängen einer Quadrik
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen

Frontmatter
Kapitel 10. Stetigkeit, partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Stetigkeit im Ursprung
  • Höhenlinien und Schnitte einer bivariaten Funktion
  • Grenzwerte bivariater Funktionen
  • Sierpinski-Folgen
  • Partielle Ableitungen bivariater Funktionen
  • Partielle Ableitungen eines Polynoms
  • Partielle Ableitungen trivariater Funktionen
  • Höhere partielle Ableitungen von trivariaten Funktionen
  • Partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung einer trivariaten Funktion
  • Partielle Ableitungen bis zur dritten Ordnung einer bivariaten Funktion
  • Jacobi-Matrizen (2 × 1, 1 × 2, 2 × 3)
  • Jacobi-Matrizen (2 × 4, 3 × 3)
  • Restglied der linearen Approximation mit Hilfe der Jacobi-Matrix
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 11. Kettenregel und Richtungsableitung
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Erste und zweite partielle Ableitungen eines Ausdrucks mit einer quadratischen Form
  • Erste und zweite partielle Ableitungen radialsymmetrischer Funktionen
  • Kettenregel für den Gradienten einer bivariaten zusammengesetzten Funktion
  • Kettenregel für Jacobi-Matrizen
  • Jacobi-Matrix bei Komposition und Invertierung von Funktionen
  • Partielle Ableitungen und Polarkoordinaten
  • Ableitung einer trivariaten Funktion entlang einer Kurve
  • Richtungsableitungen trivariater Funktionen
  • Richtungsableitung und Abstiegsrichtungen einer bivariaten Funktion
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 12. Inverse und implizite Funktionen
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung
  • Inverse und Jacobi-Matrizen für eine trivariate Funktion
  • Tangente einer algebraischen Kurve
  • Tangente und lokale Parametrisierung einer implizit definierten Kurve
  • Lokale Parametrisierung einer Schnittkurve
  • Lokale Auflösbarkeit einer trivariaten Gleichung
  • Auflösbarkeit von zwei nichtlinearen Gleichungen
  • Implizite Differentiation und Tangentialebene
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 13. Anwendungen partieller Ableitungen
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Kontrahierende univariate Abbildungen
  • Banachscher Fixpunktsatz für eine univariate Abbildung
  • Gestörtes lineares Gleichungssystem
  • Tangenten ebener Kurven
  • Tangentialebenen für implizit und parametrisch definierte Flächen
  • Schnittgerade zweier Tangentialebenen
  • Fehlerfortpflanzung bei der Lösung einer quadratischen Gleichung
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 14. Taylor-Entwicklung
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Bivariate quadratische Taylor-Approximation mit Hilfe bekannter Entwicklungen
  • Restglied eines bivariaten quadratischen Taylor-Polynoms
  • Quadratisches Taylor-Polynom einer trivariaten Funktion
  • Jacobi-Matrix und Abschätzung des Taylor-Restglieds
  • Taylor-Reihe einer bivariaten Wurzelfunktion
  • Auflösbarkeit einer nichtlinearen Gleichung und Taylor-Approximation
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 15. Extremwerte
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Kritische Punkte bivariater quadratischer Funktionen
  • Kritische Punkte eines bivariaten Polynoms
  • Nullstellenmenge und kritische Punkte einer bivariaten Funktion
  • Extremwerte eines trivariaten Polynoms
  • Minimum einer quadratischen Funktion auf einem Rechteck
  • Extrema einer bivariaten Funktion entlang einer Kurve
  • Extrema einer trivariaten linearen Funktion unter einer quadratischen Nebenbedingung
  • Quadratisches Optimierungsproblem
  • Abstand eines Kegelschnitts vom Ursprung
  • US-Mailbox
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Mehrdimensionale Integration

Frontmatter
Kapitel 16. Volumina und Integrale über Elementarbereiche
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Elementare Doppelintegrale
  • Trigonometrische Doppelintegrale
  • Doppelintegrale mit Exponentialfunktionen
  • Doppelintegral einer rationalen Funktion
  • Vertauschung der Integrationsreihenfolge bei Doppelintegralen
  • Elementare Dreifachintegrale
  • Integration über die Vereinigungsmenge zweier Ellipsen
  • Integral über einen Pyramidenstumpf
  • Integration über einen Tetraeder
  • Volumen eines Polyeders
  • Darstellung und Volumen eines Schnittkörpers
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 17. Transformationssatz
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Integration über Parallelogramme
  • Integral einer quadratischen Funktion über ein Dreieck
  • Transformationssatz für ein Gebiet in Polarkoordinaten
  • Integral einer linearen Funktion über einen Spat
  • Integration eines Polynoms über einen polynomial parametrisierten ebenen Bereich
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 18. Kurven- und Flächenintegrale
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Länge einer spiralförmigen Kurve und Kurvenintegral
  • Parametrisierung und Länge einer Hyperzykloide
  • Integral über ein Parallelogramm
  • Integral über eine Fläche mit polynomialer Parametrisierung
  • Flächeninhalt und Randlänge eines Funktionsgraphen
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 19. Integration in Zylinder- und Kugelkoordinaten
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Flächeninhalt und Umfang eines in Polarkoordinaten beschriebenen Bereichs
  • Integration über einen elliptischen Kegel
  • Integrale über einen Zylinder und eine Kugel
  • Integral über eine Kugelkappe
  • Oberfläche eines Rohrs mit ausgestanztem Loch
  • Integral über eine Zylinderoberfläche
  • Integrale über eine Kugeloberfläche
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 20. Rotationskörper, Schwerpunkt und Trägheitsmoment
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Volumen von Rotationskörpern bezüglich unterschiedlicher Achsen
  • Profil und Volumen einer Vase
  • Volumen und Mantelfläche eines Rotationskörpers
  • Geometrischer Schwerpunkt einer Eistüte
  • Flächenschwerpunkt eines Paraboloids
  • Schwerpunkt und Trägheitsmoment eines Kegelstumpfes
  • Masse, Schwerpunkt und Trägheitsmoment eines Paraboloids
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 21. Partielle Integration
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Hauptsatz bei Kugel und Sphäre
  • Partielle Integration für einen Zylinder
  • Greensche Formel für eine Kugel
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Anwendungen mathematischer Software

Frontmatter
Kapitel 22. Matlab®
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Produkte von Matrizen und Vektoren mit Matlab®
  • Lineare Gleichungssysteme mit Matlab®
  • Eigenwerte und Eigenvektoren mit Matlab®
  • Ausgleichsprobleme mit Matlab®
  • Normalform einer Quadrik mit Matlab®
  • Visualisierung bivariater Funktionen mit Matlab®
  • Minimierung mit Matlab®
  • Doppel- und Dreifachintegrale mit Matlab®
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Kapitel 23. MapleTM
Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels behandeln die folgenden Themen:
  • Eingabe und Multiplikation von Matrizen und Vektoren mit MapleTM
  • Gram-Schmidt-Orthogonalisierung mit MapleTM
  • Lösen linearer Gleichungssysteme mit MapleTM
  • Eigenwerte und Jordanform mit MapleTM
  • Lösen nichtlinearer Gleichungssysteme mit MapleTM
  • Partielle Ableitungen mit MapleTM
  • Multivariate Taylor-Entwicklung mit MapleTM
  • Gebietstransformation für ein Doppelintegral mit MapleTM
Klaus Höllig, Jörg Hörner
Backmatter
Metadaten
Titel
Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 2
verfasst von
Prof. Dr. Klaus Höllig
Jörg Hörner
Copyright-Jahr
2019
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-58667-9
Print ISBN
978-3-662-58666-2
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-58667-9