Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Mehr als 500 typische Klausur- und Übungsaufgaben zur Höheren Mathematik für Ingenieure, Natur- und Wirtschaftswissenschaftler mit detaillierten Lösungen ermöglichen eine optimale Vorbereitung auf Prüfungen und erleichtern die Bearbeitung von Übungsblättern.

Die wesentlich erweiterte, in drei Bände gegliederte zweite Auflage enthält ebenfalls Aufgaben, die den Einsatz von MATLAB ® und Maple TM bei zentralen mathematischen Problemstellungen illustrieren.

Inhalt dieses dritten Bandes

Vektoranalysis

Differentialgleichungen

Fourier-Analysis

Komplexe Analysis

Anwendungen mathematischer Software


Ergänzt werden die Bände der Neuauflage durch Präsentationsfolien zu den Themengebieten der Höheren Mathematik sowie das Lexikon und die Aufgabensammlung von Mathematik-Online.


Diese Internet-Angebote bieten insbesondere ausführliche Beschreibungen mathematischer Lehrsätze und Methoden und ermöglichen, erlernte Techniken interaktiv zu überprüfen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Die Einleitung skizziert die Themengebiete der Aufgaben und beschreibt die Darstellungsform der Lösungen sowie die folgenden zusätzlichen Online-Angebote:
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Vektoranalysis

Frontmatter

Kapitel 2. Skalar- und Vektorfelder

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Niveaulinien, Gradient und Laplace-Operator für ein ebenes Skalarfeld
  • Differentialgleichung für die Feldlinien eines ebenen Vektorfeldes, Existenz eines Potentials
  • Darstellung eines Vektorfeldes sowie Berechnung von Divergenz und Rotation
  • Skalarfeld in Zylinderkoordinaten
  • Vektorfeld in Zylinderkoordinaten
  • Rechenregeln für Gradient, Rotation und Divergenz
  • Differentiation von Skalar-, Vektor- und Spatprodukten
  • Produktregeln für Differentialoperatoren
  • Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
  • Gradient und Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
  • Divergenz und Rotation in Kugelkoordinaten
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 3. Arbeits- und Flussintegral

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Kurven- und Arbeitsintegral für eine Schraubenlinie
  • Arbeitsintegral längs gradliniger Wege
  • Arbeitsintegral längs verschiedener Wege
  • Arbeitsintegrale für einen Weg auf der Sphäre
  • Flächeninhalt und Flussintegral
  • Fluss- und Flächenintegral für ein Dreieck
  • Flussintegrale für Parallelogramme
  • Fluss durch einen Funktionsgraph
  • Fluss durch eine Sphäre
  • Fluss durch die Oberfläche eines Hohlzylinders
  • Flussintegral für ein Paraboloid
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 4. Integralsätze von Gauß, Stokes und Green

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Arbeits- und Flussintegrale längs verschiedener Wege
  • Arbeitsintegrale und Satz von Green
  • Fluss eines ebenen Vektorfeldes
  • Fläche mit polynomialem Rand
  • Satz von Gauß und Flussintegrale für ein Prisma
  • Satz von Gauß für einen Zylinder
  • Volumen und Fluss in Zylinderkoordinaten
  • Flächen- und Flussintegral für eine Halbkugelschale
  • Sätze von Gauß und Stokes für einen Kegel
  • Fluss- und Flächenintegral für einen Kegelmantel
  • Fluss durch ein sphärisches Dreieck
  • Fluss durch eine Halbkugelschale
  • Arbeits- und Flussintegrale für einen Zylinder
  • Greensche Formeln für einen Tetraeder
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 5. Potential und Vektorpotential

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Existenz und Konstruktion von Potentialen für ebene Vektorfelder
  • Vektorfeld zu gegebenen Arbeitsintegralen
  • Bestimmung eines Vektorfeldes und dessen Potentials
  • Konstruktion eines wirbelfreien Vektorfeldes aus Feldlinien, Potential
  • Potential für ein Vektorfeld mit Parametern
  • Wegunabhängigkeit und Wert eines Arbeitsintegrals für ein lineares Vektorfeld
  • Potential und Arbeitsintegral für ein radialsymmetrisches Vektorfeld
  • Vektorpotential und Flussintegral
  • Vektorpotential und Fluss durch eine Kugelkappe
  • Potentiale des quellen- und des wirbelfreien Anteils eines linearen Vektorfeldes
  • Potentiale und Vektorpotentiale
  • Vektorpotential für ein Vektorfeld mit Parametern
  • Quellenfreies Vektorpotential
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Differentialgleichungen

Frontmatter

Kapitel 6. Differentialgleichungen erster Ordnung

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Richtungsfeld einer Differentialgleichung
  • Lineare Differentialgleichung erster Ordnung
  • Lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit spezieller rechter Seite
  • Parameterabhängige lineare Differentialgleichung erster Ordnung
  • Bernoullische Differentialgleichung
  • Separable Differentialgleichung
  • Allgemeine Lösung und Skizze von Lösungen für eine separable Differentialgleichung
  • Ähnlichkeitsdifferentialgleichung
  • Exakte Differentialgleichung
  • Integrierender Faktor
  • Substitution bei einer Differentialgleichung erster Ordnung
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 7. Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Linearer Oszillator mit variabler Frequenz
  • Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit verschiedenen rechten Seiten
  • Homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
  • Homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Parameter
  • Inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
  • Differentialgleichung zweiter Ordnung mit polynomialer rechter Seite
  • Anfangswertproblem für eine Schwingungsdifferentialgleichung
  • Allgemeine Lösung und Resonanzfrequenz einer Schwingungsdifferentialgleichung
  • Taylor-Approximation der Differentialgleichung für ein gedämpftes Pendel
  • Kritische Punkte und Phasendiagramm einer autonomen Differentialgleichung
  • Eindimensionale Bewegung in einem Potential
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 8. Differentialgleichungssysteme

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Standardform und Taylor-Approximation
  • Fundamentalmatrix für ein lineares Differentialgleichungssystem
  • Anfangswertproblem für ein lineares Differentialgleichungssystem
  • Schwingungsdifferentialgleichungen gekoppelter Federn
  • Inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem
  • Jordan-Form eines homogenen Differentialgleichungssystems
  • Differentialgleichungen für Feld- und Äquipotentiallinien
  • Eliminationsmethode für ein System von zwei Differentialgleichungen
  • Zweidimensionales System, Typ und allgemeine Lösung
  • Jordan-Form eines inhomogenen Differentialgleichungssystems
  • Raubtier-Beute-Modell
  • Typ und Lösungskurven eines zweidimensionalen Differentialgleichungssystems mit Parameter
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 9. Laplace-Transformation

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Laplace-Transformation trigonometrischer Funktionen
  • Laplace-Transformierte von Exponentialfunktionen
  • Inverse Laplace-Transformierte rationaler Funktionen
  • Laplace-Transformierte periodischer Funktionen
  • Laplace-Transformation eines Anfangswertproblems erster Ordnung
  • Laplace-Transformation von Anfangswertproblemen erster Ordnung
  • Laplace-Transformation eines Anfangswertproblems erster Ordnung mit stückweise konstanter rechter Seite
  • Laplace-Transformation eines Anfangswertproblems zweiter Ordnung
  • Laplace-Transformation einer Integralgleichung
  • Laplace-Transformation einer homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Parameter
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Fourier-Analysis

Frontmatter

Kapitel 10. Reelle und komplexe Fourier-Reihen

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Orthogonalität von Sinus und Kosinus
  • Sinus als Kosinus-Reihe
  • Reelle Fourier-Reihe einer Treppenfunktion
  • Reelle und komplexe Fourier-Reihe einer stückweise linearen Funktion
  • Reelle und komplexe Fourier-Reihe von Hyperbelfunktionen
  • Komplexe und reelle Fourier-Entwicklung einer T-periodischen Funktion
  • Reelle Fourier-Reihe und Stammfunktion
  • Funktionen zu reellen Fourier-Reihen
  • Sinus-Reihe und Parseval-Identität
  • Differentiation von Fourier-Reihen und Parseval-Identität
  • Multiplikation von Fourier-Reihen mit trigonometrischen Funktionen
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 11. Diskrete Fourier-Transformation

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Diskrete Fourier-Transformation trigonometrischer Vektoren
  • Inverse der Sinus-Transformation
  • Rekursion bei diskreter Fourier-Transformation
  • Ablauf des FFT-Algorithmus
  • Trigonometrische Interpolation an äquidistanten Stützstellen
  • Eigenwerte und Inverse einer zyklischen Matrix
  • Konstruktion einer zyklischen Matrix aus einem Bildvektor
  • Zyklisches lineares Gleichungssystem
  • Approximation von Fourier-Koeffizienten mit Riemann-Summen
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 12. Fourier-Transformation

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Fourier-Transformierte und Fourier-Reihe einer linearen Funktion
  • Fourier-Transformierte einer stückweise linearen Funktion
  • Fourier-Transformierte und reelle Fourier-Reihe einer Betragsfunktion
  • Fourier-Transformierte einer Treppenfunktion
  • Fourier-Transformation von Produkten mit charakteristischen Funktionen
  • Fourier-Transfomierte von Exponentialfunktionen
  • Fourier-Transformation von Gaußfunktionen
  • Regeln für Fourier-Transformationen
  • Fourier-Transformierte von rationalen Funktionen
  • Satz von Plancherel und uneigentliche Integrale
  • Fourier-Transformation einer Differentialgleichung zweiter Ordnung
  • Reihenberechnung mit der Poisson-Summationsformel
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Komplexe Analysis

Frontmatter

Kapitel 13. Komplexe Differenzierbarkeit und konforme Abbildungen

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Reelle Darstellung komplexer Funktionen
  • Komplexe Ableitung und Jacobi-Matrix
  • Komplexe Differenzierbarkeit
  • Komplexes Potential
  • Möbius-Transformation durch Interpolation dreier Punkte
  • Darstellung einer Möbius-Transformation mit Elementarabbildungen
  • Bilder von Kreisen unter einer Möbius-Transformation
  • Bild des Koordinatengitters unter einer Möbius-Transformation
  • Konforme Abbildung eines Quadranten auf einen Streifen und eine Kreisscheibe
  • Konforme Abbildung eines Halbstreifens auf eine Halbkreisscheibe
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 14. Komplexe Integration und Residuenkalkül

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Komplexe Kurvenintegrale über ein Liniensegment
  • Komplexe Kurvenintegrale über ein Parabel- und ein Kreissegment
  • Stammfunktionen mit Hilfe der Kettenregel und komplexe Kurvenintegrale
  • Stammfunktionen und komplexe Kurvenintegrale
  • Berechnung von Residuen
  • Komplexe Integration einer rationalen Funktion über einen Kreis
  • Residuensatz für Integranden mit trigonometrischen Funktionen
  • Residuensatz für uneigentliche rationale Integrale
  • Komplexe Kurvenintegrale längs unterschiedlicher Wege
  • Residuensatz für trigonometrische Integranden
  • Residuenkalkül für transzendente Integranden
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 15. Taylor- und Laurentreihen

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Taylor-Reihe eines Produktes
  • Taylor-Reihe einer rationalen Funktion
  • Taylor-Reihe einer Logarithmus-Funktion
  • Entwicklung der lokalen Umkehrfunktion eines Polynoms
  • Laurent-Entwicklung einer rationalen Funktion
  • Hauptteil und Konvergenzgebiet einer Laurent-Reihe
  • Verschiedene Konvergenzgebiete von Laurent-Reihen
  • Laurent-Entwicklung durch Koeffizientenvergleich
  • Laurent-Entwicklung durch Multiplikation und Division von Reihen
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 16. Komplexe Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Taylor-Entwicklung für Anfangswertprobleme erster Ordnung
  • Potenzreihenansatz im regulären Punkt
  • Taylor-Entwicklung für ein Anfangswertproblem zweiter Ordnung
  • Polynomiale Lösungen einer Differentialgleichung zweiter Ordnung
  • Differentialgleichung zu einer Rekursion der Taylor-Koeffizienten der Lösung
  • Anfangswertproblem für eine Eulersche Differentialgleichung
  • Differentialgleichung mit regulärem singulären Punkt
  • Potenzreihenansatz und Variation der Konstanten
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Anwendungen mathematischer Software

Frontmatter

Kapitel 17. MapleTM

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Differentialoperatoren mit MapleTM
  • Potential und Arbeitsintegral mit MapleTM
  • Vektorpotential und Flussintegral mit MapleTM
  • Differentialgleichungen erster Ordnung mit MapleTM
  • Schwingungsdifferentialgleichung mit MapleTM
  • Richtungsfeld und numerische Lösung eines Differentialgleichungssystems mit MapleTM
  • Fourier-Analysis mit MapleTM
  • Residuen und Laurent-Entwicklung mit MapleTM
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 18. MATLAB®

Zusammenfassung
Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:
  • Animation mit MATLAB®
  • Vektorfelder mit MATLAB®
  • Differentialgleichungen mit MATLAB®
  • Lineare Differentialgleichungssysteme mit MATLAB®
  • 3-Körper-Problem mit MATLAB®
  • Schnelle Fourier-Transformation mit MATLAB®
  • Fourier-Entwicklung mit MATLAB®
  • Visualisierung komplexer Iterationen mit MATLAB®
  • Riemannsche Zeta-Funktion mit MATLAB®
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Backmatter

Weitere Informationen

Premium Partner

    Bildnachweise