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2019 | Buch

Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 3

verfasst von: Prof. Dr. Klaus Höllig, Jörg Hörner

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Mehr als 500 typische Klausur- und Übungsaufgaben zur Höheren Mathematik für Ingenieure, Natur- und Wirtschaftswissenschaftler mit detaillierten Lösungen ermöglichen eine optimale Vorbereitung auf Prüfungen und erleichtern die Bearbeitung von Übungsblättern.

Die wesentlich erweiterte, in drei Bände gegliederte zweite Auflage enthält ebenfalls Aufgaben, die den Einsatz von MATLAB ® und Maple TM bei zentralen mathematischen Problemstellungen illustrieren.

Inhalt dieses dritten Bandes

Vektoranalysis

Differentialgleichungen

Fourier-Analysis

Komplexe Analysis

Anwendungen mathematischer Software

Ergänzt werden die Bände der Neuauflage durch Präsentationsfolien zu den Themengebieten der Höheren Mathematik sowie das Lexikon und die Aufgabensammlung von Mathematik-Online.

Diese Internet-Angebote bieten insbesondere ausführliche Beschreibungen mathematischer Lehrsätze und Methoden und ermöglichen, erlernte Techniken interaktiv zu überprüfen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung

Die Einleitung skizziert die Themengebiete der Aufgaben und beschreibt die Darstellungsform der Lösungen sowie die folgenden zusätzlichen Online-Angebote:

Vortragsfolien zur Höheren Mathematik (http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de)
Formatierung der Aufgaben und Lösungen als Beamer-Präsentationen (DozentenPlus)
Aufgaben und Tests mit interaktiver Lösungskontrolle (http://www.mathematik.online.org)

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Vektoranalysis

Frontmatter

Kapitel 2. Skalar- und Vektorfelder

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Niveaulinien, Gradient und Laplace-Operator für ein ebenes Skalarfeld
Differentialgleichung für die Feldlinien eines ebenen Vektorfeldes, Existenz eines Potentials
Darstellung eines Vektorfeldes sowie Berechnung von Divergenz und Rotation
Skalarfeld in Zylinderkoordinaten
Vektorfeld in Zylinderkoordinaten
Rechenregeln für Gradient, Rotation und Divergenz
Differentiation von Skalar-, Vektor- und Spatprodukten
Produktregeln für Differentialoperatoren
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
Gradient und Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
Divergenz und Rotation in Kugelkoordinaten

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 3. Arbeits- und Flussintegral

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Kurven- und Arbeitsintegral für eine Schraubenlinie
Arbeitsintegral längs gradliniger Wege
Arbeitsintegral längs verschiedener Wege
Arbeitsintegrale für einen Weg auf der Sphäre
Flächeninhalt und Flussintegral
Fluss- und Flächenintegral für ein Dreieck
Flussintegrale für Parallelogramme
Fluss durch einen Funktionsgraph
Fluss durch eine Sphäre
Fluss durch die Oberfläche eines Hohlzylinders
Flussintegral für ein Paraboloid

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 4. Integralsätze von Gauß, Stokes und Green

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Arbeits- und Flussintegrale längs verschiedener Wege
Arbeitsintegrale und Satz von Green
Fluss eines ebenen Vektorfeldes
Fläche mit polynomialem Rand
Satz von Gauß und Flussintegrale für ein Prisma
Satz von Gauß für einen Zylinder
Volumen und Fluss in Zylinderkoordinaten
Flächen- und Flussintegral für eine Halbkugelschale
Sätze von Gauß und Stokes für einen Kegel
Fluss- und Flächenintegral für einen Kegelmantel
Fluss durch ein sphärisches Dreieck
Fluss durch eine Halbkugelschale
Arbeits- und Flussintegrale für einen Zylinder
Greensche Formeln für einen Tetraeder

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 5. Potential und Vektorpotential

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Existenz und Konstruktion von Potentialen für ebene Vektorfelder
Vektorfeld zu gegebenen Arbeitsintegralen
Bestimmung eines Vektorfeldes und dessen Potentials
Konstruktion eines wirbelfreien Vektorfeldes aus Feldlinien, Potential
Potential für ein Vektorfeld mit Parametern
Wegunabhängigkeit und Wert eines Arbeitsintegrals für ein lineares Vektorfeld
Potential und Arbeitsintegral für ein radialsymmetrisches Vektorfeld
Vektorpotential und Flussintegral
Vektorpotential und Fluss durch eine Kugelkappe
Potentiale des quellen- und des wirbelfreien Anteils eines linearen Vektorfeldes
Potentiale und Vektorpotentiale
Vektorpotential für ein Vektorfeld mit Parametern
Quellenfreies Vektorpotential

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Differentialgleichungen

Frontmatter

Kapitel 6. Differentialgleichungen erster Ordnung

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Richtungsfeld einer Differentialgleichung
Lineare Differentialgleichung erster Ordnung
Lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit spezieller rechter Seite
Parameterabhängige lineare Differentialgleichung erster Ordnung
Bernoullische Differentialgleichung
Separable Differentialgleichung
Allgemeine Lösung und Skizze von Lösungen für eine separable Differentialgleichung
Ähnlichkeitsdifferentialgleichung
Exakte Differentialgleichung
Integrierender Faktor
Substitution bei einer Differentialgleichung erster Ordnung

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 7. Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Linearer Oszillator mit variabler Frequenz
Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit verschiedenen rechten Seiten
Homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
Homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Parameter
Inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
Differentialgleichung zweiter Ordnung mit polynomialer rechter Seite
Anfangswertproblem für eine Schwingungsdifferentialgleichung
Allgemeine Lösung und Resonanzfrequenz einer Schwingungsdifferentialgleichung
Taylor-Approximation der Differentialgleichung für ein gedämpftes Pendel
Kritische Punkte und Phasendiagramm einer autonomen Differentialgleichung
Eindimensionale Bewegung in einem Potential

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 8. Differentialgleichungssysteme

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Standardform und Taylor-Approximation
Fundamentalmatrix für ein lineares Differentialgleichungssystem
Anfangswertproblem für ein lineares Differentialgleichungssystem
Schwingungsdifferentialgleichungen gekoppelter Federn
Inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem
Jordan-Form eines homogenen Differentialgleichungssystems
Differentialgleichungen für Feld- und Äquipotentiallinien
Eliminationsmethode für ein System von zwei Differentialgleichungen
Zweidimensionales System, Typ und allgemeine Lösung
Jordan-Form eines inhomogenen Differentialgleichungssystems
Raubtier-Beute-Modell
Typ und Lösungskurven eines zweidimensionalen Differentialgleichungssystems mit Parameter

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 9. Laplace-Transformation

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Laplace-Transformation trigonometrischer Funktionen
Laplace-Transformierte von Exponentialfunktionen
Inverse Laplace-Transformierte rationaler Funktionen
Laplace-Transformierte periodischer Funktionen
Laplace-Transformation eines Anfangswertproblems erster Ordnung
Laplace-Transformation von Anfangswertproblemen erster Ordnung
Laplace-Transformation eines Anfangswertproblems erster Ordnung mit stückweise konstanter rechter Seite
Laplace-Transformation eines Anfangswertproblems zweiter Ordnung
Laplace-Transformation einer Integralgleichung
Laplace-Transformation einer homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Parameter

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Fourier-Analysis

Frontmatter

Kapitel 10. Reelle und komplexe Fourier-Reihen

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Orthogonalität von Sinus und Kosinus
Sinus als Kosinus-Reihe
Reelle Fourier-Reihe einer Treppenfunktion
Reelle und komplexe Fourier-Reihe einer stückweise linearen Funktion
Reelle und komplexe Fourier-Reihe von Hyperbelfunktionen
Komplexe und reelle Fourier-Entwicklung einer T-periodischen Funktion
Reelle Fourier-Reihe und Stammfunktion
Funktionen zu reellen Fourier-Reihen
Sinus-Reihe und Parseval-Identität
Differentiation von Fourier-Reihen und Parseval-Identität
Multiplikation von Fourier-Reihen mit trigonometrischen Funktionen

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 11. Diskrete Fourier-Transformation

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Diskrete Fourier-Transformation trigonometrischer Vektoren
Inverse der Sinus-Transformation
Rekursion bei diskreter Fourier-Transformation
Ablauf des FFT-Algorithmus
Trigonometrische Interpolation an äquidistanten Stützstellen
Eigenwerte und Inverse einer zyklischen Matrix
Konstruktion einer zyklischen Matrix aus einem Bildvektor
Zyklisches lineares Gleichungssystem
Approximation von Fourier-Koeffizienten mit Riemann-Summen

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 12. Fourier-Transformation

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Fourier-Transformierte und Fourier-Reihe einer linearen Funktion
Fourier-Transformierte einer stückweise linearen Funktion
Fourier-Transformierte und reelle Fourier-Reihe einer Betragsfunktion
Fourier-Transformierte einer Treppenfunktion
Fourier-Transformation von Produkten mit charakteristischen Funktionen
Fourier-Transfomierte von Exponentialfunktionen
Fourier-Transformation von Gaußfunktionen
Regeln für Fourier-Transformationen
Fourier-Transformierte von rationalen Funktionen
Satz von Plancherel und uneigentliche Integrale
Fourier-Transformation einer Differentialgleichung zweiter Ordnung
Reihenberechnung mit der Poisson-Summationsformel

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Komplexe Analysis

Frontmatter

Kapitel 13. Komplexe Differenzierbarkeit und konforme Abbildungen

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Reelle Darstellung komplexer Funktionen
Komplexe Ableitung und Jacobi-Matrix
Komplexe Differenzierbarkeit
Komplexes Potential
Möbius-Transformation durch Interpolation dreier Punkte
Darstellung einer Möbius-Transformation mit Elementarabbildungen
Bilder von Kreisen unter einer Möbius-Transformation
Bild des Koordinatengitters unter einer Möbius-Transformation
Konforme Abbildung eines Quadranten auf einen Streifen und eine Kreisscheibe
Konforme Abbildung eines Halbstreifens auf eine Halbkreisscheibe

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 14. Komplexe Integration und Residuenkalkül

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Komplexe Kurvenintegrale über ein Liniensegment
Komplexe Kurvenintegrale über ein Parabel- und ein Kreissegment
Stammfunktionen mit Hilfe der Kettenregel und komplexe Kurvenintegrale
Stammfunktionen und komplexe Kurvenintegrale
Berechnung von Residuen
Komplexe Integration einer rationalen Funktion über einen Kreis
Residuensatz für Integranden mit trigonometrischen Funktionen
Residuensatz für uneigentliche rationale Integrale
Komplexe Kurvenintegrale längs unterschiedlicher Wege
Residuensatz für trigonometrische Integranden
Residuenkalkül für transzendente Integranden

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 15. Taylor- und Laurentreihen

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Taylor-Reihe eines Produktes
Taylor-Reihe einer rationalen Funktion
Taylor-Reihe einer Logarithmus-Funktion
Entwicklung der lokalen Umkehrfunktion eines Polynoms
Laurent-Entwicklung einer rationalen Funktion
Hauptteil und Konvergenzgebiet einer Laurent-Reihe
Verschiedene Konvergenzgebiete von Laurent-Reihen
Laurent-Entwicklung durch Koeffizientenvergleich
Laurent-Entwicklung durch Multiplikation und Division von Reihen

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 16. Komplexe Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Taylor-Entwicklung für Anfangswertprobleme erster Ordnung
Potenzreihenansatz im regulären Punkt
Taylor-Entwicklung für ein Anfangswertproblem zweiter Ordnung
Polynomiale Lösungen einer Differentialgleichung zweiter Ordnung
Differentialgleichung zu einer Rekursion der Taylor-Koeffizienten der Lösung
Anfangswertproblem für eine Eulersche Differentialgleichung
Differentialgleichung mit regulärem singulären Punkt
Potenzreihenansatz und Variation der Konstanten

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Anwendungen mathematischer Software

Frontmatter

Kapitel 17. MapleTM

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Differentialoperatoren mit Maple^TM
Potential und Arbeitsintegral mit Maple^TM
Vektorpotential und Flussintegral mit Maple^TM
Differentialgleichungen erster Ordnung mit Maple^TM
Schwingungsdifferentialgleichung mit Maple^TM
Richtungsfeld und numerische Lösung eines Differentialgleichungssystems mit Maple^TM
Fourier-Analysis mit Maple^TM
Residuen und Laurent-Entwicklung mit Maple^TM

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 18. MATLAB®

Zusammenfassung

Die Aufgaben in diesem Kapitel behandeln die folgenden Themen:

Animation mit MATLAB^®
Vektorfelder mit MATLAB^®
Differentialgleichungen mit MATLAB^®
Lineare Differentialgleichungssysteme mit MATLAB^®
3-Körper-Problem mit MATLAB^®
Schnelle Fourier-Transformation mit MATLAB^®
Fourier-Entwicklung mit MATLAB^®
Visualisierung komplexer Iterationen mit MATLAB^®
Riemannsche Zeta-Funktion mit MATLAB^®

Klaus Höllig, Jörg Hörner

Backmatter

Titel: Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 3
verfasst von: Prof. Dr. Klaus Höllig
Jörg Hörner
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-58723-2
Print ISBN: 978-3-662-58722-5
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-58723-2