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Über dieses Buch

Mehr als 500 typische Klausur- und Übungsaufgaben zur Höheren Mathematik für Ingenieure, Natur- und Wirtschaftswissenschaftler mit detaillierten Lösungen ermöglichen eine optimale Vorbereitung auf Prüfungen und erleichtern die Bearbeitung von Übungsblättern.

Die wesentlich erweiterte, in drei Bände gegliederte zweite Auflage enthält ebenfalls Aufgaben, die den Einsatz von MATLAB® und Maple™ bei zentralen mathematischen Problemstellungen illustrieren.

Inhalt dieses dritten Bandes

Vektoranalysis

Differentialgleichungen

Fourier-Analysis

Komplexe Analysis

Anwendungen mathematischer Software


Ergänzt werden die Bände der Neuauflage durch Präsentationsfolien zu den Themengebieten der Höheren Mathematik sowie das Lexikon und die Aufgabensammlung von Mathematik-Online.


Diese Internet-Angebote bieten insbesondere ausführliche Beschreibungen mathematischer Lehrsätze und Methoden und ermöglichen, erlernte Techniken interaktiv zu überprüfen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Grundlage für die Aufgaben der drei Bände von Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik bildet der Stoff, der üblicherweise Bestandteil der Mathematik-Grundvorlesungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften ist. Die Reihenfolge der Themen entspricht einem typischen dreisemestrigen Vorlesungszyklus Höhere Mathematik für Fachrichtungen, die ein umfassendes Mathematikangebot benötigen.
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Vektoranalysis

Frontmatter

Kapitel 2. Skalar- und Vektorfelder

Zusammenfassung
Übersicht
1.1
Niveaulinien, Gradient und Laplace-Operator für ein ebenes Skalarfeld
 
1.2
Differentialgleichung für die Feldlinien eines ebenen Vektorfeldes, Existenz eines Potentials
 
1.3
Darstellung eines Vektorfeldes sowie Berechnung von Divergenz und Rotation
 
1.4
Skalarfeld in Zylinderkoordinaten
 
1.5
Vektorfeld in Zylinderkoordinaten
 
1.6
Rechenregeln für Gradient, Rotation und Divergenz
 
1.7
Differentiation von Skalar-, Vektor- und Spatprodukten
 
1.8
Produktregeln für Differentialoperatoren
 
1.9
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
 
1.10
Gradient und Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
 
1.11
Divergenz und Rotation in Kugelkoordinaten
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 3. Arbeits- und Flussintegral

Zusammenfassung
Übersicht
2.1
Kurven- und Arbeitsintegral für eine Schraubenlinie
 
2.2
Arbeitsintegral längs gradliniger Wege
 
2.3
Arbeitsintegral längs verschiedener Wege
 
2.4
Arbeitsintegrale für einen Weg auf der Sphäre
 
2.5
Flächeninhalt und Flussintegral
 
2.6
Fluss- und Flächenintegral für ein Dreieck
 
2.7
Flussintegrale für Parallelogramme
 
2.8
Fluss durch einen Funktionsgraph
 
2.9
Fluss durch eine Sphäre
 
2.10
Fluss durch die Oberfläche eines Hohlzylinders
 
2.11
Flussintegral für ein Paraboloid
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 4. Integralsätze von Gauß, Stokes und Green

Zusammenfassung
Übersicht
3.1
Arbeits- und Flussintegrale längs verschiedener Wege
 
3.2
Arbeitsintegrale und Satz von Green
 
3.3
Satz von Green für ein Dreieck
 
3.4
Fluss eines ebenen Vektorfeldes
 
3.5
Fläche mit polynomialem Rand
 
3.6
Satz von Gauß und Flussintegrale für ein Prisma
 
3.7
Satz von Gauß für einen Zylinder
 
3.8
Volumen und Fluss in Zylinderkoordinaten
 
3.9
Flächen- und Flussintegral für eine Halbkugelschale
 
3.10
Sätze von Gauß und Stokes für einen Kegel
 
3.11
Fluss- und Flächenintegral für einen Kegelmantel
 
3.12
Fluss durch ein sphärisches Dreieck
 
3.13
Fluss durch eine Halbkugelschale
 
3.14
Arbeits- und Flussintegrale für einen Zylinder
 
3.15
Greensche Formeln für einen Tetraeder
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 5. Potential und Vektorpotential

Zusammenfassung
Übersicht
4.1
Existenz und Konstruktion von Potentialen für ebene Vektorfelder
 
4.2
Vektorfeld zu gegebenen Arbeitsintegralen
 
4.3
Bestimmung eines Vektorfeldes und dessen Potentials
 
4.4
Konstruktion eines wirbelfreien Vektorfeldes aus Feldlinien, Potential
 
4.5
Potential für ein Vektorfeld mit Parametern
 
4.6
Wegunabhängigkeit und Wert eines Arbeitsintegrals für ein lineares Vektorfeld
 
4.7
Potential und Arbeitsintegral für ein radialsymmetrisches Vektorfeld
 
4.8
Vektorpotential und Flussintegral
 
4.9
Vektorpotential und Fluss durch eine Kugelkappe
 
4.10
Potentiale des quellen- und des wirbelfreien Anteils eines linearen Vektorfeldes
 
4.11
Potentiale und Vektorpotentiale
 
4.12
Vektorpotential für ein Vektorfeld mit Parametern
 
4.13
Quellenfreies Vektorpotential
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Differentialgleichungen

Frontmatter

Kapitel 6. Differentialgleichungen erster Ordnung

Zusammenfassung
Übersicht
5.1
Anfangswertprobleme verschiedenen Typs
 
5.2
Richtungsfeld einer Differentialgleichung
 
5.3
Lineare Differentialgleichung erster Ordnung
 
5.4
Lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit spezieller rechter Seite
 
5.5
Parameterabhängige lineare Differentialgleichung erster Ordnung
 
5.6
Bernoullische Differentialgleichung
 
5.7
Separable Differentialgleichung
 
5.8
Allgemeine Lösung und Skizze von Lösungen für eine separable Differentialgleichung
 
5.9
Ähnlichkeitsdifferentialgleichung
 
5.10
Exakte Differentialgleichung
 
5.11
Integrierender Faktor
 
5.12
Substitution bei einer Differentialgleichung erster Ordnung
 
5.13
Fehler des Euler-Verfahrens
 
5.14
Riccatische Differentialgleichung
 
5.15
Verfolgung auf hoher See
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 7. Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Zusammenfassung
Übersicht
6.1
Linearer Oszillator mit variabler Frequenz
 
6.2
Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit verschiedenen rechten Seiten
 
6.3
Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit verschiedenen rechten Seiten
 
6.4
Homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Parameter
 
6.5
Inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
 
6.6
Differentialgleichung zweiter Ordnung mit polynomialer rechter Seite
 
6.7
Inhomogene Eulersche Differentialgleichung
 
6.8
Differentialgleichungen mit reduzierbarer Ordnung
 
6.9
Autonome Differentialgleichungen
 
6.10
Anfangswertproblem für eine Schwingungsdifferentialgleichung
 
6.11
Periodischer Orbit oder Reise ohne Wiederkehr?
 
6.12
Allgemeine Lösung und Resonanzfrequenz einer Schwingungsdifferentialgleichung
 
6.13
Taylor-Approximation der Differentialgleichung für ein gedämpftes Pendel
 
6.14
Kritische Punkte und Phasendiagramm einer autonomen Differentialgleichung
 
6.15
Eindimensionale Bewegung in einem Potential
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 8. Differentialgleichungssysteme

Zusammenfassung
Übersicht
7.1
Standardform und Taylor-Approximation
 
7.2
Fundamentalmatrix für ein lineares Differentialgleichungssystem
 
7.3
Anfangswertproblem für ein lineares Differentialgleichungssystem
 
7.4
Schwingungsdifferentialgleichungen gekoppelter Federn
 
7.5
Inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem
 
7.6
Jordan-Form eines homogenen Differentialgleichungssystems
 
7.7
Differentialgleichungen für Feld- und Äquipotentiallinien
 
7.8
Eliminationsmethode für ein System von zwei Differentialgleichungen
 
7.9
Zweidimensionales System, Typ und allgemeine Lösung
 
7.10
Newtonsche Bewegungsgleichung für ein nicht-konservatives Kraftfeld
 
7.11
Jordan-Form eines inhomogenen Differentialgleichungssystems
 
7.12
Raubtier-Beute-Modell
 
7.13
Typ und Lösungskurven eines zweidimensionalen Differentialgleichungssystems mit Parameter
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 9. Laplace-Transformation

Zusammenfassung
Übersicht
8.1
Laplace-Transformation trigonometrischer Funktionen
 
8.2
Laplace-Transformierte von Exponentialfunktionen
 
8.3
Inverse Laplace-Transformierte rationaler Funktionen
 
8.4
Laplace-Transformierte periodischer Funktionen
 
8.5
Laplace-Transformierte periodischer Funktionen
 
8.6
Laplace-Transformation von Anfangswertproblemen erster Ordnung
 
8.7
Laplace-Transformation eines Anfangswertproblems erster Ordnung mit stückweise konstanter rechter Seite
 
8.8
Laplace-Transformation eines Anfangswertproblems zweiter Ordnung
 
8.9
Laplace-Transformation einer Integralgleichung
 
8.10
Laplace-Transformation einer homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Parameter
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Fourier-Analysis

Frontmatter

Kapitel 10. Reelle und komplexe Fourier-Reihen

Zusammenfassung
Übersicht
9.1
Orthogonalität von Sinus und Kosinus
 
9.2
Sinus als Kosinus-Reihe
 
9.3
Reelle Fourier-Reihe einer Treppenfunktion
 
9.4
Reelle und komplexe Fourier-Reihe einer stückweise linearen Funktion
 
9.5
Reelle und komplexe Fourier-Reihe von Hyperbelfunktionen
 
9.6
Komplexe und reelle Fourier-Entwicklung einer T-periodischen Funktion
 
9.7
Reelle Fourier-Reihe und Stammfunktion
 
9.8
Funktionen zu reellen Fourier-Reihen
 
9.9
Sinus-Reihe und Parseval-Identität
 
9.10
Differentiation von Fourier-Reihen und Parseval-Identität
 
9.11
Multiplikation von Fourier-Reihen mit trigonometrischen Funktionen
 
9.12
Laplace-Gleichung auf der Einheitskreisscheibe
 
9.13
Fourier-Entwicklung für eine Wärmeleitungsgleichung
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 11. Diskrete Fourier-Transformation

Zusammenfassung
Übersicht
10.1
Diskrete Fourier-Transformation trigonometrischer Vektoren
 
10.2
Inverse der Sinus-Transformation
 
10.3
Rekursion bei diskreter Fourier-Transformation
 
10.4
Ablauf des FFT-Algorithmus
 
10.5
Trigonometrische Interpolation an äquidistanten Stützstellen
 
10.6
Eigenwerte und Inverse einer zyklischen Matrix
 
10.7
Konstruktion einer zyklischen Matrix aus einem Bildvektor
 
10.8
Zyklisches lineares Gleichungssystem
 
10.9
Approximation von Fourier-Koeffizienten mit Riemann-Summen
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 12. Fourier-Transformation

Zusammenfassung
Übersicht
11.1
Fourier-Transformierte und Fourier-Reihe einer linearen Funktion
 
11.2
Fourier-Transformierte einer stückweise linearen Funktion
 
11.3
Fourier-Transformierte und reelle Fourier-Reihe einer Betragsfunktion
 
11.4
Fourier-Transformierte einer Treppenfunktion
 
11.5
Fourier-Transformation von Produkten mit charakteristischen Funktionen
 
11.6
Fourier-Transfomierte von Exponentialfunktionen
 
11.7
Fourier-Transformation von Gaußfunktionen
 
11.8
Regeln für Fourier-Transformationen
 
11.9
Fourier-Transformierte von rationalen Funktionen
 
11.10
Satz von Plancherel und uneigentliche Integrale
 
11.11
Fourier-Transformation einer Differentialgleichung zweiter Ordnung
 
11.12
Reihenberechnung mit der Poisson-Summationsformel
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Komplexe Analysis

Frontmatter

Kapitel 13. Komplexe Differenzierbarkeit und konforme Abbildungen

Zusammenfassung
Übersicht
12.1
Reelle Darstellung komplexer Funktionen
 
12.2
Komplexe Ableitung und Jacobi-Matrix1
 
12.3
Komplexe Differenzierbarkeit
 
12.4
Komplexes Potential
 
12.5
Strömung mit komplexem Potential
 
12.6
Möbius-Transformation durch Interpolation dreier Punkte
 
12.7
Darstellung einer Möbius-Transformation mit Elementarabbildungen
 
12.8
Fixpunkte einer Möbius-Transformation
 
12.9
Bilder von Kreisen unter einer Möbius-Transformation
 
12.10
Bild des Koordinatengitters unter einer Möbius-Transformation
 
12.11
Konforme Abbildung eines Quadranten auf einen Streifen und eine Kreisscheibe
 
12.12
Konforme Abbildung eines Halbstreifens auf eine Halbkreisscheibe
 
12.13
Konforme Abbildung für ein Dirichlet-Problem
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 14. Komplexe Integration und Residuenkalkül

Zusammenfassung
Übersicht
13.1
Komplexe Kurvenintegrale über ein Liniensegment
 
13.2
Komplexe Kurvenintegrale über ein Parabel- und ein Kreissegment
 
13.3
Stammfunktionen mit Hilfe der Kettenregel und komplexe Kurvenintegrale
 
13.4
Stammfunktionen und komplexe Kurvenintegrale
 
13.5
Berechnung von Residuen
 
13.6
Komplexe Integration einer rationalen Funktion über einen Kreis
 
13.7
Residuensatz für Integranden mit trigonometrischen Funktionen
 
13.8
Residuensatz für uneigentliche rationale Integrale
 
13.9
Komplexe Kurvenintegrale längs unterschiedlicher Wege
 
13.10
Residuensatz für trigonometrische Integranden
 
13.11
Residuenkalkül für transzendente Integranden
 
13.12
Die Kunst der komplexen Integration
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 15. Taylor- und Laurentreihen

Zusammenfassung
Übersicht
14.1
Taylor-Reihe eines Produktes
 
14.2
Taylor-Reihe einer rationalen Funktion
 
14.3
Taylor-Reihe einer Logarithmus-Funktion
 
14.4
Entwicklung der lokalen Umkehrfunktion eines Polynoms
 
14.5
Laurent-Entwicklung einer rationalen Funktion
 
14.6
Hauptteil und Konvergenzgebiet einer Laurent-Reihe
 
14.7
Verschiedene Konvergenzgebiete von Laurent-Reihen
 
14.8
Laurent-Entwicklung durch Koeffizientenvergleich
 
14.9
Laurent-Entwicklung durch Multiplikation und Division von Reihen
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 16. Komplexe Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Übersicht
15.1
Taylor-Entwicklung für Anfangswertprobleme erster Ordnung
 
15.2
Potenzreihenansatz im regulären Punkt
 
15.3
Taylor-Entwicklung für ein Anfangswertproblem zweiter Ordnung
 
15.4
Polynomiale Lösungen einer Differentialgleichung zweiter Ordnung
 
15.5
Differentialgleichung zu einer Rekursion der Taylor-Koeffizienten der Lösung
 
15.6
Anfangswertproblem für eine Eulersche Differentialgleichung
 
15.7
Differentialgleichung mit regulärem singulären Punkt
 
15.8
Potenzreihenansatz und Variation der Konstanten
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Anwendungen mathematischer Software

Frontmatter

Kapitel 17. MapleTM

Zusammenfassung
Übersicht
16.1
Differentialoperatoren mit MapleTM
 
16.2
Potential und Arbeitsintegral mit MapleTM
 
16.3
Vektorpotential und Flussintegral mit MapleTM
 
16.4
Differentialgleichungen erster Ordnung mit MapleTM
 
16.5
Schwingungsdifferentialgleichung mit MapleTM
 
16.6
Richtungsfeld und numerische Lösung eines Differentialgleichungssystems mit MapleTM
 
16.7
Fourier-Analysis mit MapleTM
 
16.8
Residuen und Laurent-Entwicklung mit MapleTM
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 18. Matlab®

Zusammenfassung
Übersicht
17.1
Animation mit Matlab®
 
17.2
Grafische Eingabe mit Matlab®
 
17.3
Vektorfelder mit Matlab®
 
17.4
Differentialgleichungen mit Matlab®
 
17.5
Finite-Elemente-Approximation mit Matlab®
 
17.6
Modellierung einer Achterbahnfahrt mit Matlab®
 
17.7
Lineare Differentialgleichungssysteme mit Matlab®
 
17.8
3-Körper-Problem mit Matlab®
 
17.9
Schnelle Fourier-Transformation mit Matlab®
 
17.10
Fourier-Entwicklung mit Matlab®
 
17.11
Visualisierung komplexer Iterationen mit Matlab®
 
17.12
Riemannsche Zeta-Funktion mit Matlab®
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Formelsammlung

Frontmatter

Kapitel 19. Vektoranalysis

Zusammenfassung
Übersicht
18.1
Skalar- und Vektorfelder
 
18.2
Arbeits- und Flussintegral
 
18.3
Integralsätze von Gauß, Stokes und Green
 
18.4
Potentialtheorie
 
Übersicht
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 20. Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Übersicht
19.1
Differentialgleichungen erster Ordnung
 
19.2
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
 
19.3
Differentialgleichungssysteme
 
19.4
Laplace-Transformation
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 21. Fourier-Analysis

Zusammenfassung
Übersicht
20.1
Reelle und komplexe Fourier-Reihen
 
20.2
Diskrete Fourier-Transformation
 
20.3
Fourier-Transformation
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

Kapitel 22. Komplexe Analysis

Zusammenfassung
Übersicht
21.1
Komplexe Differenzierbarkeit und konforme Abbildungen
 
21.2
Komplexe Integration und Residuenkalkül
 
21.3
Taylor- und Laurent-Reihen
 
21.4
Komplexe Differentialgleichungen
 
Klaus Höllig, Jörg Hörner

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