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2021 | Buch

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Aufgaben und Lösungen zur Mathematik für den Studienstart

Brückenkurs, Analysis und Lineare Algebra für Hochschulen

verfasst von: Prof. Dr. Andreas Keller

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

In diesem Buch finden Sie mehr als 300 typische Übungsaufgaben mit ausgearbeiteten Lösungen zu den Mathematikveranstaltungen der ersten beiden Semester in den Natur- und Ingenieurswissenschaften, in Informatik oder verwandten Studiengängen insbesondere an Hochschulen für angewandte Wissenschaften, die Sie bei der Bearbeitung von Übungsblättern, zur Klausurvorbereitung und zur Festigung des Stoffes unterstützen können.

Einige Aufgaben dienen auch zur Auffrischung und Vertiefung zu einigen grundlegenden Themen der Schulmathematik, so dass das Buch Ihnen auch schon vor Studienbeginn helfen kann, eventuelle Lücken zu schließen, z.B. im Rahmen eines Selbststudiums oder als Begleitlektüre zu einem Brückenkurs.

Inhalte des Buchs

Auffrischung (Bruchrechnung, Potenz- und Wurzelrechnung, Beträge, quadratische Gleichungen, Ungleichungen, Trigonometrie etc.)Grundlagen (Aussagenlogik, reelle Zahlen, elementare Zahlentheorie, endliche Summen und vollständige Induktion)Analysis (Folgen und Reihen, elementare Funktionen, Grenzwertrechnung, Differential- und Integralrechnung in einer Variablen, Taylor-Reihen)Grundlagen komplexe ZahlenLineare Algebra (Vektorräume, Determinanten und Matrizen, Lineare Gleichungssysteme, analytische Geometrie, Eigenwerte und Eigenvektoren, lineare Abbildungen und Transformationen)

Zielgruppe

Studierende an Hochschulen für

Studiengänge der Natur- und Ingenieurswissenschaften, TechnomathematikInformatik & informatiknahe Studiengänge wie Data Science, Maschinelles Lernen etc.

Aber auch für Studierende des Wirtschaftsingenieurswesens, der Wirtschaftsinformatik, E-Commerce etc. können Teile des Buchs interessant sein. Natürlich kann das Buch auch als Grundlage und Einstieg in die entsprechenden Studiengänge an Universitäten dienen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Auffrischung und Grundlagen

Frontmatter

Kapitel 1. Etwas elementare Aussagenlogik

Zusammenfassung

Übersicht

1.1

Aussagen der formalen Logik

1.2

Aufstellen einer Wahrheitstafel

1.3

Überprüfung logischer Aussagen auf Äquivalenz

1.4

Vereinfachung von logischen Ausdrücken

1.5

Normalformen logischer Ausdrücke

Andreas Keller

Kapitel 2. Mengen, Zahlen, Beträge

Zusammenfassung

Übersicht

2.1

Rechnen mit Mengen

2.2

Vereinfachung von Bruchtermen

2.3

Elementare Bruchgleichungen

2.4

Rechnen mit Potenzen

2.5

Heuschreckenplage

2.6

Beträge auflösen

2.7

Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen

2.8

Zahlen der Größe nach anordnen

2.9

Reelle Intervalle

2.10

Irrationale Zahlen

Andreas Keller

Kapitel 3. Elementare Zahlentheorie

Zusammenfassung

Übersicht

3.1

Zahldarstellungen

3.2

Addition und Subtraktion von Binär- und Hexadezimalzahlen

3.3

Binäre Multiplikation und Division

3.4

Restklassenrechnung

3.5

Bestimmung des ggT. mit dem Euklid’schen Algorithmus

3.6

Lösen von diophantischen Gleichungen

3.7

Bestimmung von Inversen in Z_m

3.8

Lösen von linearen Gleichungen in Z_m

3.9

Lösen von simultanen Kongruenzgleichungen

3.10

Berechnung von Prüfziffern

3.11

Welcher Tag war der 17.12.1979? ⋆

Andreas Keller

Kapitel 4. Trigonometrisches

Zusammenfassung

Übersicht

4.1

Grad- und Bogenmaß

4.2

Funktionswerte trigonometrischer Funktionen

4.3

Licht und Schatten

4.4

Stufenwinkel am Hang

4.5

Allgemeine Dreiecksberechnung

4.6

Hindernis

4.7

Der Drudenfuß ⋆

Andreas Keller

Kapitel 5. Lineares, Quadrate und Wurzeln (rationale Potenzen)

Zusammenfassung

Übersicht

5.1

Rechnen mit Wurzeln

5.2

Rational machen von Nenner

5.3

Aufstellen von Geradengleichungen

5.4

Gleitpfad zum Touchdown ⋆

5.5

Aufstellen von Parabelgleichungen

5.6

Quadratische Ergänzung, Scheitelpunktform und Linearfaktorzerlegung

5.7

Wurzelgleichungen

5.8

Lösen von Ungleichungen

5.9

Nachweis der Gültigkeit von Ungleichungen ⋆

5.10

Parameterabhängige Gleichungen

5.11

Hochspannung ⋆

Andreas Keller

Kapitel 6. Fakultät, Binomialkoeffizient und endliche Summen

Zusammenfassung

Übersicht

6.1

Rechnen mit der Fakultät und dem Binomialkoeffizienten

6.2

Rechenregeln für den Binomialkoeffizienten

6.3

Wahrscheinlichkeiten beim Texas Hold’em

6.4

Anwendung der allgemeinen binomischen Formel

6.5

Berechnung endlicher Summen

Andreas Keller

Kapitel 7. Das Prinzip der vollständigen Induktion

Zusammenfassung

Übersicht

7.1

Gauß’sche und geometrische Summenformel

7.2

Michael Penns Lieblingsgleichung

7.3

Ungleichung und Teilbarkeit mit Induktion

7.4

Summe von alternierenden Binomialkoeffizienten ⋆

7.5

Eleonores Sparkonto ⋆

Andreas Keller

Analysis

Frontmatter

Kapitel 8. Folgen und Reihen

Zusammenfassung

Übersicht

8.1

Grenzwerte von Folgen durch Ausklammern

8.2

Grenzwerte von Folgen mit den Grenzwertsätzen

8.3

Rekursive Folge

8.4

Grenzwert von Reihen

8.5

Konvergenz von Reihen

8.6

Anwendung des Majoranten- und Minorantenkriteriums

8.7

Konvergenzradius und Konvergenzintervall von Potenzreihen

8.8

Konvergenzbereich einer Potenzreihe

8.9

Das große O von Landau für Folgen

8.10

Limes inferior und Limes superior ⋆

8.11

Koch’sche Schneeflocke ⋆

8.12

Checkliste: Grenzwerte von Folgen und praktisches Rechnen mit der Unendlichkeit

8.13

Checkliste: Unendliche Reihen

Andreas Keller

Kapitel 9. Eigenschaften von Funktionen

Zusammenfassung

Übersicht

9.1

Bestimmung von Definitions- und Wertebereich

9.2

Beschreibung einer Punktmenge durch den Graph einer Funktion

9.3

Bestimmung eines Urbilds

9.4

Gerade und ungerade Funktionen

9.5

Punktsymmetrie und Achsensymmetrie

9.6

Monotonieeigenschaften per Definition nachweisen

9.7

Verknüpfung und Umkehrung von Funktionen

9.8

Bijektivität

9.9

Injektivität und Umkehrbarkeit

9.10

Periodische Funktion mit Gauß-Klammer ⋆

Andreas Keller

Kapitel 10. Polynome und rationale Funktion

Zusammenfassung

Übersicht

10.1

Nullstellen

10.2

Linearfaktorzerlegung

10.3

Schnittpunkte der Graphen von Polynomen

10.4

Koeffizientenvergleich

10.5

Partialbruchzerlegung

10.6

Interpolationspolynom

10.7

Checkliste: Über die Nullstellensuche bei Polynomen

Andreas Keller

Kapitel 11. Exponential- und Logarithmusfunktion

Zusammenfassung

Übersicht

11.1

Umformen mit den Logarithmengesetzen

11.2

Lösen von Logarithmengleichungen

11.3

Lösen von Exponentialgleichungen

11.4

Bestimmung von Definitions- und Wertebereich

11.5

Hyperbel- und Areafunktionen

11.6

Norberts Sparkonto

11.7

Laufzeitanalyse von Algorithmen ⋆

11.8

Logarithmische Skalierung ⋆

11.9

Checkliste: Exponential- und Logarithmusfunktion

Andreas Keller

Kapitel 12. Trigonometrische Funktionen

Zusammenfassung

Übersicht

12.1

Anwendung der Additionstheoreme

12.2

Elementare trigonometrische Gleichungen

12.3

Trigonometrische Gleichungen

12.4

Darstellung von Sinus und Kosinus durch Tangens

12.5

Allgemeine Sinusschwingung ⋆

12.6

Konkrete Sinusschwingung

12.7

Periode trigonometrischer Funktionen

12.8

Rechnen mit den Arkusfunktionen

12.9

Nichtperiodische trigonometrische Funktion ⋆

12.10

Checkliste: Trigonometrische Funktionen

Andreas Keller

Kapitel 13. Grenzwert und Stetigkeit

Zusammenfassung

Übersicht

13.1

Grenzwerte von Funktionen

13.2

Links- und rechtsseitiger Grenzwert

13.3

Stetigkeit

13.4

Klassifikation von Unstetigkeit (stetige Ergänzung)

13.5

Folgerungen aus der Stetigkeit

13.6

Folgerungen aus der Stetigkeit

13.7

Geometrische Bestimmung von \(\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{sinx}{x}\)

13.8

Grenzwertbestimmung durch Umformung

13.9

Das große (und kleine) \(\mathcal{O}\) von Landau

13.10

Checkliste: Grenzwerte von Funktionen

Andreas Keller

Kapitel 14. Differentialrechnung 1 – Die Technik des Differenzierens

Zusammenfassung

Übersicht

14.1

Untersuchung auf Differenzierbarkeit

14.2

Parameter für Differenzierbarkeit bestimmen

14.3

Pvotenz- und Summenregel

14.4

Produkt- und Quotientenregel

14.5

Kettenregel

14.6

Logarithmisches Ableiten

14.7

Funktionen mit Parametern ableiten

14.8

Bestimmung der n-ten Ableitung

14.9

Ableitung des Areakosinus hyperbolicus

14.10

Ableiten von Potenzreihen

14.11

Checkliste: Differenzierbarkeit und Ableitungsregeln

Andreas Keller

Kapitel 15. Differentialrechnung 2 – Anwendungen

Zusammenfassung

Übersicht

15.1

Globale Extremwerte eines Polynoms

15.2

Globale Extrema einer Logarithmusfunktion

15.3

Bestimmung von Wertebereich und Monotoniebereichen

15.4

Näherungsweise Bestimmung einer Nullstelle (Newton)

15.5

Grenzwerte mit dem Satz von L’Hospital

15.6

Noch mehr Grenzwerte mit dem Satz von L’Hospital

15.7

Diskussion einer trigonometrischen Funktion

15.8

Diskussion einer Funktionenschar

15.9

Die optimale 0.33 l Getränkedose

15.10

Ist e^π > ^πe oder e^π < ^πe?

15.11

Nichtlineare Ungleichung

15.12

Diskussion einer gedämpften Schwingung

15.13

Checkliste: Anwendung der Differentialrechnung

Andreas Keller

Kapitel 16. Taylor-Reihen

Zusammenfassung

Übersicht

16.1

Taylor-Reihen von einem Polynom

16.2

Taylor-Formel mit Restglied von Lagrange

16.3

Taylor-Reihe der Logarithmusfunktion

16.4

Reihenentwicklung zusammengesetzter Funktionen

16.5

Bestimmung von Grenzwerten mit Potenzreihen

16.6

Direkte Berechnung von Taylor-Polynomen

16.7

Reihenentwicklung von Funktionen mit Potenzreihen bekannter Funktionen

16.8

Lineare Näherung der Wurzel

16.9

Taylor-Reihe und Taylor-Approximation einer Funktion mit Fehler-abschätzung

16.10

Näherungsweise Bestimmung von e

16.11

Checkliste: Taylor-Reihen

Andreas Keller

Kapitel 17. Integralrechnung 1 – Elementare Integrationsregeln

Zusammenfassung

Übersicht

17.1

Integration mit Riemann’scher Summenfolge

17.2

Stammfunktion verifizieren durch Differenzieren

17.3

Elementare Bestimmung von Stammfunktionen

17.4

Elementare Bestimmung bestimmter Integrale

17.5

Integration durch Umformung des Integranden

17.6

Flächenberechnung

17.7

Diskussion einer Integralfunktion

17.8

Fläche zwischen zwei Graphen

17.9

Fläche zwischen Sinus- und Kosinusgraph

17.10

Integration von Potenzreihen

17.11

Näherungsformel für die Parameter der Einheitsklothoide

17.12

Checkliste: Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Andreas Keller

Kapitel 18. Integralrechnung 2 – Integrationsmethoden

Zusammenfassung

Übersicht

18.1

Partielle Integration

18.2

Substitution durch scharfes Hinsehen

18.3

Lineare Substitution

18.4

Integration durch Substitution

18.5

Substitution nach Umformung

18.6

Rationale Integranden

18.7

Uneigentliches Integral

18.8

Bestimmung eines uneigentlichen Integrals mittels trigonometrischer Substitution

18.9

Uneigentliches Integral einer rationalen Funktion

18.10

Näherungsweise Integration mit Potenzreihe

18.11

Länge von Parabelstück

18.12

Checkliste: Die Kunst der Integration

Andreas Keller

Kapitel 19. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

Übersicht

19.1

Rechnen mit komplexen Zahlen

19.2

Real- und Imaginärteil, Argument und Betrag

19.3

Komplexe Zahlen in Polarkoordinatendarstellung

19.4

Geraden und Kreise in der komplexen Ebene

19.5

Mengen in der Gauß’schen Zahlenebene

19.6

Komplexe Wurzeln

19.7

Quadratische Gleichung im Komplexen

19.8

Komplexe Nullstellen eines reellen Polynoms

19.9

Nullstellen eines komplexen Polynoms

19.10

Umwandlung in Sinusschwingung

Komplexe WurzelnKomplexe Wurzeln

Andreas Keller

Lineare Algebra

Frontmatter

Kapitel 20. Vektorräume

Zusammenfassung

Übersicht

20.1

Die Assoziativgesetze des \(\mathbb{R}\) ⁿ

20.2

Der Vektorraum der reellen m × n-Matrizen: \(\mathbb{R}\)^{m × n}

20.3

Funktionenräume

20.4

Rechnen mit Vektoren

20.5

Lineare Unabh¨angigkeit

20.6

Untervektorräume

20.7

Untervektorräume von Funktionenräumen

20.8

Lineare Unabhängigkeit von Funktionen

20.9

Basis und Dimension

20.10

Vektorraum mit unendlicher Dimension

Andreas Keller

Kapitel 21. Betrag, Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren

Zusammenfassung

Übersicht

21.1

Skalarprodukt und Betrag im \(\mathbb{R}\)³

21.2

Winkel zwischen Vektoren

21.3

Skalarprodukt für stetige Funktionen

21.4

Winkel zwischen zwei Funktionen

21.5

Anwendung der Skalarprodukt-Rechenregeln

21.6

Gram-Schmidt’sches Verfahren

21.7

Skalarprodukt für Matrizen

Andreas Keller

Kapitel 22. Matrizen und Determinanten

Zusammenfassung

Übersicht

22.1

Matrizenmultiplikation

22.2

Rechnen mit Matrizen

22.3

Lineare Unabhängigkeit von Matrizen

22.4

Berechnung von Determinanten

22.5

Determinante einer 4 × 4-Matrix

22.6

Rang einer Matrix

22.7

Sarrus-Regel für 4 × 4-Matrizen?

22.8

Invertierbarkeit

22.9

Kern und Bild einer Matrix

22.10

Magische Quadrate

Andreas Keller

Kapitel 23. Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus

Zusammenfassung

Übersicht

23.1

Lösungsverhalten von linearen Gleichungssystemen

23.2

Lösen eines LGS mit dem Gauß-Algorithmus

23.3

Überbestimmte und unterbestimmte LGS

23.4

Lösen von homogenen linearen Gleichungssystemen

23.5

Von Parametern abhängige LGS

23.6

Bestimmung der Inversen mit dem Gauß-Algorithmus

23.7

LGS mit komplexen Variablen

23.8

Lineares Gleichungssystem mit mehreren Parametern

23.9

Magische Quadrate mit Computeralgebra

23.10

Lösen von linearen Gleichungssystemen mit MapleTM

Andreas Keller

Kapitel 24. Auffrischung Analytische Geometrie

Zusammenfassung

Übersicht

24.1

Ebenengleichung in Parameter- und Koordinatenform

24.2

Umrechnung von Koordinatenform in Parameterform

24.3

Kreuzprodukt im \(\mathbb{R}\)³

24.4

Normalenform und Achsenabschnittsform

24.5

Hessesche Normalform einer Ebene

24.6

Durchstoßpunkt von Gerade und Ebene

24.7

Schnitt zweier Ebenen und Winkel zwischen Ebenen

24.8

Kürzester Abstand: Punkt von Gerade und Ebene

24.9

Lage von Punkten und Teilverhältnis einer Strecke

24.10

Rund um den Schnitt von Kugel mit Ebene

Andreas Keller

Kapitel 25. Eigenwerte und Eigenvektoren

Zusammenfassung

Übersicht

25.1

Bestimmung von Eigenwerten

25.2

Bestimmung von Eigenvektoren

25.3

Bestimmung eines Eigenraums

25.4

Überprüfung auf Diagonalisierbarkeit

25.5

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Drehmatrix

25.6

Diagonalisierung einer 3 × 3-Matrix

25.7

Diagonalmatrix einer symmetrischen 4 × 4-Matrix

25.8

Singulärwertzerlegung

25.9

MATLAB^®-Computerpraktikum SVD

Andreas Keller

Kapitel 26. Lineare Abbildungen, Transformationen und Projektionen

Zusammenfassung

Übersicht

26.1

Untersuchung auf Linearität

26.2

Drehung als lineare Abbildung

26.3

Isomorphe Vektorräume mit endlicher Dimension

26.4

Lineare Abbildung zwischen Funktionenräumen

26.5

Koordinatentransformation

26.6

Darstellungsmatrizen zu verschiedenen Basen

26.7

Darstellungsmatrix einer Abbildung zwischen Funktionenräumen

26.8

Spiegelung, Rotation, Skalierung und Verschiebung

26.9

Transformationsmatrix einer Drehstreckung

26.10

Spiegelung an Geraden und Rotation um einen Punkt

26.11

Hintereinanderausführung von Transformationen

26.12

Orthogonalität von Rotation/Spiegelung

26.13

Orthogonal- und Zentralprojektion

Andreas Keller

Backmatter

Titel: Aufgaben und Lösungen zur Mathematik für den Studienstart
verfasst von: Prof. Dr. Andreas Keller
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-63628-2
Print ISBN: 978-3-662-63627-5
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-63628-2