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Über dieses Buch

In diesem Buch finden Sie mehr als 300 typische Übungsaufgaben mit ausgearbeiteten Lösungen zu den Mathematikveranstaltungen der ersten beiden Semester in den Natur- und Ingenieurswissenschaften, in Informatik oder verwandten Studiengängen insbesondere an Hochschulen für angewandte Wissenschaften, die Sie bei der Bearbeitung von Übungsblättern, zur Klausurvorbereitung und zur Festigung des Stoffes unterstützen können.

Einige Aufgaben dienen auch zur Auffrischung und Vertiefung zu einigen grundlegenden Themen der Schulmathematik, so dass das Buch Ihnen auch schon vor Studienbeginn helfen kann, eventuelle Lücken zu schließen, z.B. im Rahmen eines Selbststudiums oder als Begleitlektüre zu einem Brückenkurs.

Inhalte des Buchs

Auffrischung (Bruchrechnung, Potenz- und Wurzelrechnung, Beträge, quadratische Gleichungen, Ungleichungen, Trigonometrie etc.)Grundlagen (Aussagenlogik, reelle Zahlen, elementare Zahlentheorie, endliche Summen und vollständige Induktion)Analysis (Folgen und Reihen, elementare Funktionen, Grenzwertrechnung, Differential- und Integralrechnung in einer Variablen, Taylor-Reihen)Grundlagen komplexe ZahlenLineare Algebra (Vektorräume, Determinanten und Matrizen, Lineare Gleichungssysteme, analytische Geometrie, Eigenwerte und Eigenvektoren, lineare Abbildungen und Transformationen)

Zielgruppe

Studierende an Hochschulen für

Studiengänge der Natur- und Ingenieurswissenschaften, TechnomathematikInformatik & informatiknahe Studiengänge wie Data Science, Maschinelles Lernen etc.

Aber auch für Studierende des Wirtschaftsingenieurswesens, der Wirtschaftsinformatik, E-Commerce etc. können Teile des Buchs interessant sein. Natürlich kann das Buch auch als Grundlage und Einstieg in die entsprechenden Studiengänge an Universitäten dienen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Auffrischung und Grundlagen

Frontmatter

Kapitel 1. Etwas elementare Aussagenlogik

Zusammenfassung
Übersicht
1.1
Aussagen der formalen Logik
 
1.2
Aufstellen einer Wahrheitstafel
 
1.3
Überprüfung logischer Aussagen auf Äquivalenz
 
1.4
Vereinfachung von logischen Ausdrücken
 
1.5
Normalformen logischer Ausdrücke
 
Andreas Keller

Kapitel 2. Mengen, Zahlen, Beträge

Zusammenfassung
Übersicht
2.1
Rechnen mit Mengen
 
2.2
Vereinfachung von Bruchtermen
 
2.3
Elementare Bruchgleichungen
 
2.4
Rechnen mit Potenzen
 
2.5
Heuschreckenplage
 
2.6
Beträge auflösen
 
2.7
Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen
 
2.8
Zahlen der Größe nach anordnen
 
2.9
Reelle Intervalle
 
2.10
Irrationale Zahlen
 
Andreas Keller

Kapitel 3. Elementare Zahlentheorie

Zusammenfassung
Übersicht
3.1
Zahldarstellungen
 
3.2
Addition und Subtraktion von Binär- und Hexadezimalzahlen
 
3.3
Binäre Multiplikation und Division
 
3.4
Restklassenrechnung
 
3.5
Bestimmung des ggT. mit dem Euklid’schen Algorithmus
 
3.6
Lösen von diophantischen Gleichungen
 
3.7
Bestimmung von Inversen in Zm
 
3.8
Lösen von linearen Gleichungen in Zm
 
3.9
Lösen von simultanen Kongruenzgleichungen
 
3.10
Berechnung von Prüfziffern
 
3.11
Welcher Tag war der 17.12.1979? ⋆
 
Andreas Keller

Kapitel 4. Trigonometrisches

Zusammenfassung
Übersicht
4.1
Grad- und Bogenmaß
 
4.2
Funktionswerte trigonometrischer Funktionen
 
4.3
Licht und Schatten
 
4.4
Stufenwinkel am Hang
 
4.5
Allgemeine Dreiecksberechnung
 
4.6
Hindernis
 
4.7
Der Drudenfuß ⋆
 
Andreas Keller

Kapitel 5. Lineares, Quadrate und Wurzeln (rationale Potenzen)

Zusammenfassung
Übersicht
5.1
Rechnen mit Wurzeln
 
5.2
Rational machen von Nenner
 
5.3
Aufstellen von Geradengleichungen
 
5.4
Gleitpfad zum Touchdown ⋆
 
5.5
Aufstellen von Parabelgleichungen
 
5.6
Quadratische Ergänzung, Scheitelpunktform und Linearfaktorzerlegung
 
5.7
Wurzelgleichungen
 
5.8
Lösen von Ungleichungen
 
5.9
Nachweis der Gültigkeit von Ungleichungen ⋆
 
5.10
Parameterabhängige Gleichungen
 
5.11
Hochspannung ⋆
 
Andreas Keller

Kapitel 6. Fakultät, Binomialkoeffizient und endliche Summen

Zusammenfassung
Übersicht
6.1
Rechnen mit der Fakultät und dem Binomialkoeffizienten
 
6.2
Rechenregeln für den Binomialkoeffizienten
 
6.3
Wahrscheinlichkeiten beim Texas Hold’em
 
6.4
Anwendung der allgemeinen binomischen Formel
 
6.5
Berechnung endlicher Summen
 
Andreas Keller

Kapitel 7. Das Prinzip der vollständigen Induktion

Zusammenfassung
Übersicht
7.1
Gauß’sche und geometrische Summenformel
 
7.2
Michael Penns Lieblingsgleichung
 
7.3
Ungleichung und Teilbarkeit mit Induktion
 
7.4
Summe von alternierenden Binomialkoeffizienten ⋆
 
7.5
Eleonores Sparkonto ⋆
 
Andreas Keller

Analysis

Frontmatter

Kapitel 8. Folgen und Reihen

Zusammenfassung
Übersicht
8.1
Grenzwerte von Folgen durch Ausklammern
 
8.2
Grenzwerte von Folgen mit den Grenzwertsätzen
 
8.3
Rekursive Folge
 
8.4
Grenzwert von Reihen
 
8.5
Konvergenz von Reihen
 
8.6
Anwendung des Majoranten- und Minorantenkriteriums
 
8.7
Konvergenzradius und Konvergenzintervall von Potenzreihen
 
8.8
Konvergenzbereich einer Potenzreihe
 
8.9
Das große O von Landau für Folgen
 
8.10
Limes inferior und Limes superior ⋆
 
8.11
Koch’sche Schneeflocke ⋆
 
8.12
Checkliste: Grenzwerte von Folgen und praktisches Rechnen mit der Unendlichkeit
 
8.13
Checkliste: Unendliche Reihen
 
Andreas Keller

Kapitel 9. Eigenschaften von Funktionen

Zusammenfassung
Übersicht
9.1
Bestimmung von Definitions- und Wertebereich
 
9.2
Beschreibung einer Punktmenge durch den Graph einer Funktion
 
9.3
Bestimmung eines Urbilds
 
9.4
Gerade und ungerade Funktionen
 
9.5
Punktsymmetrie und Achsensymmetrie
 
9.6
Monotonieeigenschaften per Definition nachweisen
 
9.7
Verknüpfung und Umkehrung von Funktionen
 
9.8
Bijektivität
 
9.9
Injektivität und Umkehrbarkeit
 
9.10
Periodische Funktion mit Gauß-Klammer ⋆
 
Andreas Keller

Kapitel 10. Polynome und rationale Funktion

Zusammenfassung
Übersicht
10.1
Nullstellen
 
10.2
Linearfaktorzerlegung
 
10.3
Schnittpunkte der Graphen von Polynomen
 
10.4
Koeffizientenvergleich
 
10.5
Partialbruchzerlegung
 
10.6
Interpolationspolynom
 
10.7
Checkliste: Über die Nullstellensuche bei Polynomen
 
Andreas Keller

Kapitel 11. Exponential- und Logarithmusfunktion

Zusammenfassung
Übersicht
11.1
Umformen mit den Logarithmengesetzen
 
11.2
Lösen von Logarithmengleichungen
 
11.3
Lösen von Exponentialgleichungen
 
11.4
Bestimmung von Definitions- und Wertebereich
 
11.5
Hyperbel- und Areafunktionen
 
11.6
Norberts Sparkonto
 
11.7
Laufzeitanalyse von Algorithmen ⋆
 
11.8
Logarithmische Skalierung ⋆
 
11.9
Checkliste: Exponential- und Logarithmusfunktion
 
Andreas Keller

Kapitel 12. Trigonometrische Funktionen

Zusammenfassung
Übersicht
12.1
Anwendung der Additionstheoreme
 
12.2
Elementare trigonometrische Gleichungen
 
12.3
Trigonometrische Gleichungen
 
12.4
Darstellung von Sinus und Kosinus durch Tangens
 
12.5
Allgemeine Sinusschwingung ⋆
 
12.6
Konkrete Sinusschwingung
 
12.7
Periode trigonometrischer Funktionen
 
12.8
Rechnen mit den Arkusfunktionen
 
12.9
Nichtperiodische trigonometrische Funktion ⋆
 
12.10
Checkliste: Trigonometrische Funktionen
 
Andreas Keller

Kapitel 13. Grenzwert und Stetigkeit

Zusammenfassung
Übersicht
13.1
Grenzwerte von Funktionen
 
13.2
Links- und rechtsseitiger Grenzwert
 
13.3
Stetigkeit
 
13.4
Klassifikation von Unstetigkeit (stetige Ergänzung)
 
13.5
Folgerungen aus der Stetigkeit
 
13.6
Folgerungen aus der Stetigkeit
 
13.7
Geometrische Bestimmung von \(\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{sinx}{x}\)
 
13.8
Grenzwertbestimmung durch Umformung
 
13.9
Das große (und kleine) \(\mathcal{O}\) von Landau
 
13.10
Checkliste: Grenzwerte von Funktionen
 
Andreas Keller

Kapitel 14. Differentialrechnung 1 – Die Technik des Differenzierens

Zusammenfassung
Übersicht
14.1
Untersuchung auf Differenzierbarkeit
 
14.2
Parameter für Differenzierbarkeit bestimmen
 
14.3
Pvotenz- und Summenregel
 
14.4
Produkt- und Quotientenregel
 
14.5
Kettenregel
 
14.6
Logarithmisches Ableiten
 
14.7
Funktionen mit Parametern ableiten
 
14.8
Bestimmung der n-ten Ableitung
 
14.9
Ableitung des Areakosinus hyperbolicus
 
14.10
Ableiten von Potenzreihen
 
14.11
Checkliste: Differenzierbarkeit und Ableitungsregeln
 
Andreas Keller

Kapitel 15. Differentialrechnung 2 – Anwendungen

Zusammenfassung
Übersicht
15.1
Globale Extremwerte eines Polynoms
 
15.2
Globale Extrema einer Logarithmusfunktion
 
15.3
Bestimmung von Wertebereich und Monotoniebereichen
 
15.4
Näherungsweise Bestimmung einer Nullstelle (Newton)
 
15.5
Grenzwerte mit dem Satz von L’Hospital
 
15.6
Noch mehr Grenzwerte mit dem Satz von L’Hospital
 
15.7
Diskussion einer trigonometrischen Funktion
 
15.8
Diskussion einer Funktionenschar
 
15.9
Die optimale 0.33 l Getränkedose
 
15.10
Ist eπ > πe oder eπ < πe?
 
15.11
Nichtlineare Ungleichung
 
15.12
Diskussion einer gedämpften Schwingung
 
15.13
Checkliste: Anwendung der Differentialrechnung
 
Andreas Keller

Kapitel 16. Taylor-Reihen

Zusammenfassung
Übersicht
16.1
Taylor-Reihen von einem Polynom
 
16.2
Taylor-Formel mit Restglied von Lagrange
 
16.3
Taylor-Reihe der Logarithmusfunktion
 
16.4
Reihenentwicklung zusammengesetzter Funktionen
 
16.5
Bestimmung von Grenzwerten mit Potenzreihen
 
16.6
Direkte Berechnung von Taylor-Polynomen
 
16.7
Reihenentwicklung von Funktionen mit Potenzreihen bekannter Funktionen
 
16.8
Lineare Näherung der Wurzel
 
16.9
Taylor-Reihe und Taylor-Approximation einer Funktion mit Fehler-abschätzung
 
16.10
Näherungsweise Bestimmung von e
 
16.11
Checkliste: Taylor-Reihen
 
Andreas Keller

Kapitel 17. Integralrechnung 1 – Elementare Integrationsregeln

Zusammenfassung
Übersicht
17.1
Integration mit Riemann’scher Summenfolge
 
17.2
Stammfunktion verifizieren durch Differenzieren
 
17.3
Elementare Bestimmung von Stammfunktionen
 
17.4
Elementare Bestimmung bestimmter Integrale
 
17.5
Integration durch Umformung des Integranden
 
17.6
Flächenberechnung
 
17.7
Diskussion einer Integralfunktion
 
17.8
Fläche zwischen zwei Graphen
 
17.9
Fläche zwischen Sinus- und Kosinusgraph
 
17.10
Integration von Potenzreihen
 
17.11
Näherungsformel für die Parameter der Einheitsklothoide
 
17.12
Checkliste: Bestimmtes und unbestimmtes Integral
 
Andreas Keller

Kapitel 18. Integralrechnung 2 – Integrationsmethoden

Zusammenfassung
Übersicht
18.1
Partielle Integration
 
18.2
Substitution durch scharfes Hinsehen
 
18.3
Lineare Substitution
 
18.4
Integration durch Substitution
 
18.5
Substitution nach Umformung
 
18.6
Rationale Integranden
 
18.7
Uneigentliches Integral
 
18.8
Bestimmung eines uneigentlichen Integrals mittels trigonometrischer Substitution
 
18.9
Uneigentliches Integral einer rationalen Funktion
 
18.10
Näherungsweise Integration mit Potenzreihe
 
18.11
Länge von Parabelstück
 
18.12
Checkliste: Die Kunst der Integration
 
Andreas Keller

Kapitel 19. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung
Übersicht
19.1
Rechnen mit komplexen Zahlen
 
19.2
Real- und Imaginärteil, Argument und Betrag
 
19.3
Komplexe Zahlen in Polarkoordinatendarstellung
 
19.4
Geraden und Kreise in der komplexen Ebene
 
19.5
Mengen in der Gauß’schen Zahlenebene
 
19.6
Komplexe Wurzeln
 
19.7
Quadratische Gleichung im Komplexen
 
19.8
Komplexe Nullstellen eines reellen Polynoms
 
19.9
Nullstellen eines komplexen Polynoms
 
19.10
Umwandlung in Sinusschwingung
 
Komplexe WurzelnKomplexe Wurzeln
Andreas Keller

Lineare Algebra

Frontmatter

Kapitel 20. Vektorräume

Zusammenfassung
Übersicht
20.1
Die Assoziativgesetze des \(\mathbb{R}\) n
 
20.2
Der Vektorraum der reellen m × n-Matrizen: \(\mathbb{R}\)m × n
 
20.3
Funktionenräume
 
20.4
Rechnen mit Vektoren
 
20.5
Lineare Unabh¨angigkeit
 
20.6
Untervektorräume
 
20.7
Untervektorräume von Funktionenräumen
 
20.8
Lineare Unabhängigkeit von Funktionen
 
20.9
Basis und Dimension
 
20.10
Vektorraum mit unendlicher Dimension
 
Andreas Keller

Kapitel 21. Betrag, Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren

Zusammenfassung
Übersicht
21.1
Skalarprodukt und Betrag im \(\mathbb{R}\)3
 
21.2
Winkel zwischen Vektoren
 
21.3
Skalarprodukt für stetige Funktionen
 
21.4
Winkel zwischen zwei Funktionen
 
21.5
Anwendung der Skalarprodukt-Rechenregeln
 
21.6
Gram-Schmidt’sches Verfahren
 
21.7
Skalarprodukt für Matrizen
 
Andreas Keller

Kapitel 22. Matrizen und Determinanten

Zusammenfassung
Übersicht
22.1
Matrizenmultiplikation
 
22.2
Rechnen mit Matrizen
 
22.3
Lineare Unabhängigkeit von Matrizen
 
22.4
Berechnung von Determinanten
 
22.5
Determinante einer 4 × 4-Matrix
 
22.6
Rang einer Matrix
 
22.7
Sarrus-Regel für 4 × 4-Matrizen?
 
22.8
Invertierbarkeit
 
22.9
Kern und Bild einer Matrix
 
22.10
Magische Quadrate
 
Andreas Keller

Kapitel 23. Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus

Zusammenfassung
Übersicht
23.1
Lösungsverhalten von linearen Gleichungssystemen
 
23.2
Lösen eines LGS mit dem Gauß-Algorithmus
 
23.3
Überbestimmte und unterbestimmte LGS
 
23.4
Lösen von homogenen linearen Gleichungssystemen
 
23.5
Von Parametern abhängige LGS
 
23.6
Bestimmung der Inversen mit dem Gauß-Algorithmus
 
23.7
LGS mit komplexen Variablen
 
23.8
Lineares Gleichungssystem mit mehreren Parametern
 
23.9
Magische Quadrate mit Computeralgebra
 
23.10
Lösen von linearen Gleichungssystemen mit MapleTM
 
Andreas Keller

Kapitel 24. Auffrischung Analytische Geometrie

Zusammenfassung
Übersicht
24.1
Ebenengleichung in Parameter- und Koordinatenform
 
24.2
Umrechnung von Koordinatenform in Parameterform
 
24.3
Kreuzprodukt im \(\mathbb{R}\)3
 
24.4
Normalenform und Achsenabschnittsform
 
24.5
Hessesche Normalform einer Ebene
 
24.6
Durchstoßpunkt von Gerade und Ebene
 
24.7
Schnitt zweier Ebenen und Winkel zwischen Ebenen
 
24.8
Kürzester Abstand: Punkt von Gerade und Ebene
 
24.9
Lage von Punkten und Teilverhältnis einer Strecke
 
24.10
Rund um den Schnitt von Kugel mit Ebene
 
Andreas Keller

Kapitel 25. Eigenwerte und Eigenvektoren

Zusammenfassung
Übersicht
25.1
Bestimmung von Eigenwerten
 
25.2
Bestimmung von Eigenvektoren
 
25.3
Bestimmung eines Eigenraums
 
25.4
Überprüfung auf Diagonalisierbarkeit
 
25.5
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Drehmatrix
 
25.6
Diagonalisierung einer 3 × 3-Matrix
 
25.7
Diagonalmatrix einer symmetrischen 4 × 4-Matrix
 
25.8
Singulärwertzerlegung
 
25.9
MATLAB®-Computerpraktikum SVD
 
Andreas Keller

Kapitel 26. Lineare Abbildungen, Transformationen und Projektionen

Zusammenfassung
Übersicht
26.1
Untersuchung auf Linearität
 
26.2
Drehung als lineare Abbildung
 
26.3
Isomorphe Vektorräume mit endlicher Dimension
 
26.4
Lineare Abbildung zwischen Funktionenräumen
 
26.5
Koordinatentransformation
 
26.6
Darstellungsmatrizen zu verschiedenen Basen
 
26.7
Darstellungsmatrix einer Abbildung zwischen Funktionenräumen
 
26.8
Spiegelung, Rotation, Skalierung und Verschiebung
 
26.9
Transformationsmatrix einer Drehstreckung
 
26.10
Spiegelung an Geraden und Rotation um einen Punkt
 
26.11
Hintereinanderausführung von Transformationen
 
26.12
Orthogonalität von Rotation/Spiegelung
 
26.13
Orthogonal- und Zentralprojektion
 
Andreas Keller

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