Aufgaben und Lösungsmethodik Technische Mechanik

Zur Bearbeitung von Aufgaben aus der Technischen Mechanik wird eine strukturierte Lösungsmethodik entwickelt. Im Mittelpunkt steht dabei der Begriff der Modellbildung. Das reale technische Problem wird zunächst durch ein vereinfachtes physikalisches Modell und im zweiten Schritt durch das mathematische Modell zur Beschreibung der Aufgabenstellung abgebildet. Der eigentliche Lösungsprozess mit quantitativen Ergebnissen findet auf der Ebene des mathematischen Modells statt. Der Bezug der gefundenen Ergebnisse zur Realität muss über den umgekehrten Weg vom mathematischen Modell über das physikalische Modell zurück zum realen Problem verifiziert werden.

Das zentrale Arbeitsergebnis auf dem Weg zur Lösung einer Aufgabe der Technischen Mechanik ist die Erstellung des zugehörigen mathematischen Modells. Für den strukturierten, methodischen Übergang vom physikalischen Modell zum mathematischen Modell werden formale Lösungsschritte angegeben.

Fragestellungen der Stereo-Statik behandeln den Gleichgewichtszustand starrer Körper unter dem Einfluss von Kräften und Momenten. Die Lösung von solchen Fragestellungen der Stereo-Statik ist darstellbar als eine logisch strukturierte Folge von Teilaufgaben. Dieser methodische Zugang zur Lösung bereitet anfangs Schwierigkeiten, da das Handwerkszeug der Methoden oft nicht erkannt wird. Der zu durchlaufende Lösungsprozess, beginnend mit dem materiellen Problem bis hin zur Überführung in ein mathematisches Gleichungssystem ist ungewohnt und bedarf anfangs einer sehr konsequenten Arbeitsweise. In den Lösungen der nachfolgenden Aufgaben werden die einzelnen Stufen dieses methodischen Lösungsweges deshalb deutlich herausgestellt. Jeder Lösung wird eine Lösungsanalyse vorangestellt. Ohne in Details zu gehen, wird dort der Aufgabentyp herausgearbeitet, welche Lehrsätze und Arbeitsmethoden anzuwenden sind und welche Strategie zum Aufstellen der mathematischen Gleichungen einzuschlagen ist.

Zusammenfassung In der Elasto-Statik werden Fragestellungen zum Gleichgewichtszustand elastisch verformbarer Körper unter dem Einfluss von Kräften und Momenten behandelt. Wie in der Stereo-Statik ist auch hier das Vorgehen zur Lösung als eine strukturierte Folge von Teilaufgaben zu formulieren, mit dem Ziel, die technische Aufgabenstellung in ein mathematisches Gleichungssystem, das Mathematische Modell, zu überführen. Allen hier gezeigten Lösungen ist eine Lösungsanalyse vorangestellt, in der die Aufgaben analysiert und die Grundzüge zur Lösung bereitgestellt werden.

Im Folgenden werden Aufgaben aus den Arbeitsbereichen: Spannungen und Dehnungen in linear elastischen Körpern, statisch unbestimmte Systeme, technische Biegelehre, Energiemethoden in der Elasto-Statik und Knickung behandelt.

In der Kinematik werden zeitabhängige Lage- und Bewegungszustände von Punkten und starren Körpern im Raum beschrieben, ohne Betrachtung der Bewegungsursachen. Fragestellungen der Kinematik werden in der mathematischen Darstellung häufig sehr komplex und umfangreich. Es empfiehlt sich deshalb, die Lösung in formalen Teilschritten zu erarbeiten. Die mathematische Modellbildung im Rahmen der Kinematik beginnt mit der Beschreibung der Lage- und Bewegungszustände durch Vektoren. Für komplexe geometrische Zusammenhänge führe man Ortsvektorketten ein, deren Koordinaten in der Regel wesentlich einfacher anzugeben sind. Zur durchsichtigeren Analyse werden für die Koordinatendarstellung mehrere, jeweils geeignete Koordinatensysteme eingeführt. Für den formalen Übergang der Koordinaten eines Vektors von einem Koordinatensystem in ein anderes werden Transformationsmatrizen abgeleitet. Damit hat man die Möglichkeit, auch sehr komplexe Zusammenhänge übersichtlich mathematisch zu beschreiben.

Behandelt werden Bewegungen von Punkten und Punktsystemen, Relativbewegungen und die Kinematik des starren Körpers im Raum.

In der Kinetik werden die Zusammenhänge zwischen den Bewegungszuständen von Punktmassen und Körpern und den auf sie einwirkenden äußeren Kräften und Momenten untersucht. Zur übersichtlichen mathematischen Darstellung wird auch hier von der Anwendung der formalen Transformation der Koordinaten eines Vektors beim Wechsel von Koordinatensystemen Gebrauch gemacht, wobei zeitvariable Transformationsmatrizen bei zeitlichen Ableitungen in den Axiomen der Kinetik zu beachten sind.

Die Aufgabensammlung zur Kinetik umfasst die Anwendungsbereiche: