Ausgewählte Kapitel der Höheren Mathematik

Vektoranalysis, Spezielle Funktionen, Partielle Differentialgleichungen

verfasst von: Walter Strampp

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Einloggen, um Zugang zu erhalten

Über dieses Buch

Animationen im Internet veranschaulichen z. B. die Wellengleichung durch eine schwingende Membran, die Wärmeleitung durch eine abnehmende Temperaturverteilung und die Potentialgleichung durch ein von der Randbelegung aufgeprägtes Potenzial. Welche Methoden verbergen sich dahinter, wie erzeugt man diese Animationen? Darauf soll der Leser eine erschöpfende Antwort geben können. Auf ausführliche, formale Beweise wird verzichtet. Die Begriffe werden mittels Beispielen und Graphiken in ihren Grundideen veranschaulicht und motiviert. Der Leser soll Hintergrundwissen und Lösungskompetenz bekommen, damit er sich nicht mit der Formelmanipulation zufrieden geben muss. Studierende sollen in die Lage versetzt werden, Probleme, die sich aus ihrer Bachelor/Masterarbeit oder aus den Anwendungen ergeben, zu bearbeiten.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Vektoranalysis

Zusammenfassung

Wir stellen zuerst die erforderlichen Grundlagen aus der Vektorrechnung bereit und führen Tensoren als multilineare Abbildungen ein. Ausführlich wird das Transformationsverhalten von Tensoren beim Basiswechsel geschildert. Wir betrachten den dreidimensionalen Raum dann als Mannigfaltigkeit und gelangen über die Tangentialräume zum Feldbegriff. Wir beschreiben die grundlegenden Operationen mit Tensoren und Feldern, wie sie in den klassischen Anwendungsgebieten der Mechanik und der elektrischen Feldtheorie benötigt werden. Wiederum wird hierbei ausführlich auf die Transformation von Tensorfeldern in verschiedene Koordinatensysteme eingegangen. Nach der Einführung der Kurven und Flächen im Raum entwickeln wir die Inhaltsmessung und das Konzept der Orientierung und können damit die Integralsätze der Vektoranalysis (Green, Gauß und Stokes) in tensorieller Form darstellen. Wir bekommen Anwendungen wie die Interpretation der Divergenz und der Rotation eines Vektorfeldes als Volumen- und Flächenableitung oder die Greenschen Formeln für die Potentialtheorie.

Walter Strampp

2. Spezielle Funktionen und Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Die Entwicklung einer Funktion nach einem orthogonalen Funktionensystem stellt eines der wichtigsten Werkzeuge der Analysis und der angewandten Mathematik dar. Wir beginnen mit der Orthogonalisierung der Monome in verschiedenen Räumen und erhalten die klassischen Systeme der Legendre-, Tschebyscheff-, Laguerre- und Hermite-Polynome. Anhand der Legendre-Polynome werden grundlegende Ordnungsprinzipien der Polynomsysteme wie Formeln von Rodrigues, Rekursionsformeln, erzeugende Funktionen und Differentialgleichungen herausgearbeitet. Dadurch werden wir auf die lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung geführt. Potenzreihenansätze wie im Reellen greifen zu kurz. Deshalb betrachten wir die Gleichungen im Komplexen, wo ein Umlauf um einen singulären Punkt vorgenommen werden kann. Differentialgleichungen vom Fuchsschen Typ eröffnen den Zugang zu den speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Im Gegensatz zu ihrer Bedeutung erfahren die Differentialgleichungen im Komplexen oft eine vergleichsweise geringe Beachtung. Ähnliches gilt in einführenden Vorlesungen für die Stabilitätstheorie, die mit den Ljapunow-Funktionen und Konstanten der Bewegung eine Überleitung zu den partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung liefert.

Walter Strampp

3. Partielle Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Wir beschäftigen uns zuerst mit der Theorie der Charakteristiken. Bei den Differentialgleichungen erster Ordnung beinhalten die Charakteristiken bereits die Losungen. Die partiellen Differentialgleichungen gehen auf gewöhnliche zurück. Bei den partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung geben uns die Charakteristiken den Schlüssel zur Typeinteilung und zur Überführung in Normalformen. Die Prototypen - Wellengleichung, Wärmeleitungsgleichung und Potentialgleichung - werden mit ihren wichtigsten Eigenschaften dargestellt. Im Wesentlichen greifen wir dabei auf die Separationsmethode zurück. Die Lösung der Wellen- und Wärmeleitung ist von den Fouriermethoden geprägt, während bei der Beschreibung von Potentialen die Vektoranalysis eine große Rolle spielt. Beispiele in mehreren Raumdimensionen zeigen die Bedeutung der speziellen Funktionen.

Walter Strampp

Backmatter

Titel: Ausgewählte Kapitel der Höheren Mathematik
verfasst von: Walter Strampp
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-05550-9
Print ISBN: 978-3-658-05549-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-05550-9