Aussagenlogik und Widerspruchsbeweise

Beweise sind in der Schule allgemein unbeliebt. Meist werden sie entweder gar nicht behandelt oder „überlesen“. Mit dem Beginn des Mathematikstudiums tauchen sie dann häufiger auf, und es ist sehr ratsam, Beweise nicht mehr zu ignorieren, denn ihr Wert ist nicht zu unterschätzen. Beweise sichern die Gültigkeit mathematischer Aussagen, sodass wir diese Aussagen in weiteren Argumenten benutzen dürfen. Darüber hinaus offenbaren sie uns, warum eine Aussage gilt, und liefern damit viele Informationen, die hilfreich für unser mathematisches Verständnis sind. Des Weiteren stecken in ihnen viele mathematische Techniken und in der Regel die Rechentricks, die für das Lösen der Übungsaufgaben sehr hilfreich sind. Doch was erwartet Sie nun in diesem Kapitel? Natürlich: Es geht um Beweise. Erinnern wir uns an Kapitel 4. Dort wurden am Beispiel des größten gemeinsamen Teilers bereits zwei Beweistechniken vorgestellt: einen Existenzbeweis, der darauf beruht, dass in Mengen von natürlichen Zahlen immer ein kleinstes Element existiert, und einen algorithmischen Beweis, der das gesuchte Element direkt berechnet. In diesem Kapitel soll eine weitere Technik, der Beweis durch Widerspruch, besprochen werden. Um das zu realisieren, müssen einige Grundbegriffe der Aussagenlogik eingeführt werden. Als Anwendung der Beweistechnik präsentieren wir den vielleicht berühmtesten Widerspruchsbeweis der Mathematikgeschichte: Euklids Beweis dafür, dass die Menge der Primzahlen nicht endlich sein kann.