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07.05.2019 | Ausgabe 4/2020

Journal of Automated Reasoning 4/2020

Automated Reasoning with Power Maps

Zeitschrift:
Journal of Automated Reasoning > Ausgabe 4/2020
Autoren:
G. I. Moghaddam, R. Padmanabhan, Yang Zhang
Wichtige Hinweise

Publisher's Note

Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

Abstract

In this paper, we employ automated deduction techniques to prove and generalize some well-known theorems in group theory that involve power maps \( x^n\). The difficulty lies in the fact that the term \(x^n\) cannot be expressed in the syntax of first-order logic when n is an integer variable. Here we employ a new concept of “power-like functions” by extracting relevant equational properties valid for all power functions and implement these equational rules in Prover9, a first-order theorem prover. We recast the original theorems and prove them in this new context of power-like functions. Consequently these first-order proofs remain valid for all n but the length and complexity of the proofs remain constant independent of the value of n. To give an example, it is well-known (Baer in Proc Am Math Soc 4:15–26, 1953, Alperin in Can J Math 21:1238–1244 1969) that every torsion-free group in which the power map \(f(x) = x^n\) is an endomorphism is abelian. Here we show that every torsion-free group in which a power-like map is an endomorphism is, indeed, abelian. Also, we generalize similar theorems from groups to a class of cancellative semigroups, and once again, Prover9 happily proves all these new generalizations as well.

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