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Flächenträgheitsmomente:
$$I_{y}=\int z^{2}\,\mathrm{d}A\,,\quad I_{z}=\int y^{2}\,\mathrm{d}A\,,\quad I_{yz}=I_{zy}=-\int yz\,\mathrm{d}A\,.$$
Die Transformationsbeziehungen bei einer Drehung des Koordinatensystems sind analog zu denen bei den Spannungen. Bei einer Parallelverschiebung des Achsensystems gilt der Satz von Steiner.
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Gerade Biegung:
$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\text{Normalspannung}&\displaystyle\sigma(z)&\displaystyle=\frac{M}{I}\,z\,,\quad\sigma_{\mathrm{max}}=\frac{M}{W}\,,\\ \displaystyle&\displaystyle\text{Schubspannung}&\displaystyle\tau(z)&\displaystyle=\frac{Q\,S(z)}{I\,b(z)}\,,\\ \displaystyle&\displaystyle\text{Dgl. Biegelinie}&\displaystyle EIw^{\prime\prime}&\displaystyle=-M\quad\text{bzw.}\quad(EIw^{\prime\prime})^{\prime\prime}=q\,.\end{aligned}$$
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Bei der Integration der Differentialgleichung der Biegelinie treten Integrationskonstanten auf, die mit Hilfe von Randbedingungen bestimmt werden. Bei Balken mit mehreren Feldern kommen Übergangsbedingungen hinzu.
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Statisch unbestimmte Probleme können oft durch Superposition bekannter Lösungen behandelt werden (Biegelinientafel!).
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Die Durchbiegung infolge Schub kann bei schlanken Balken vernachlässigt werden.
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Schiefe Biegung (
\(y\),
\(z\) Hauptachsen):
$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\text{Normalspannung}&\displaystyle\sigma&\displaystyle=\frac{M_{y}}{I_{y}}\,z-\frac{M_{z}}{I_{z}}\,y\,,\\ \displaystyle&\displaystyle\text{Dgln. Biegelinie}&\displaystyle EI_{y}w^{\prime\prime}&\displaystyle=-M_{y}\,,\quad EI_{z}v^{\prime\prime}=M_{z}\,.\end{aligned}$$
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Bei einer Belastung durch Biegung und Zug/Druck ergeben sich die Spannungen und Verschiebungen durch Superposition der Teillösungen für die einzelnen Lastfälle.
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Eine ungleichförmige Temperaturverteilung über die Balkenhöhe ruft ein Temperaturmoment hervor, das zu einer Krümmung der Balkenachse führt.
Flächenträgheitsmomente:
$$I_{y}=\int z^{2}\,\mathrm{d}A\,,\quad I_{z}=\int y^{2}\,\mathrm{d}A\,,\quad I_{yz}=I_{zy}=-\int yz\,\mathrm{d}A\,.$$
Die Transformationsbeziehungen bei einer Drehung des Koordinatensystems sind analog zu denen bei den Spannungen. Bei einer Parallelverschiebung des Achsensystems gilt der Satz von Steiner.
Gerade Biegung:
$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\text{Normalspannung}&\displaystyle\sigma(z)&\displaystyle=\frac{M}{I}\,z\,,\quad\sigma_{\mathrm{max}}=\frac{M}{W}\,,\\ \displaystyle&\displaystyle\text{Schubspannung}&\displaystyle\tau(z)&\displaystyle=\frac{Q\,S(z)}{I\,b(z)}\,,\\ \displaystyle&\displaystyle\text{Dgl. Biegelinie}&\displaystyle EIw^{\prime\prime}&\displaystyle=-M\quad\text{bzw.}\quad(EIw^{\prime\prime})^{\prime\prime}=q\,.\end{aligned}$$
Bei der Integration der Differentialgleichung der Biegelinie treten Integrationskonstanten auf, die mit Hilfe von Randbedingungen bestimmt werden. Bei Balken mit mehreren Feldern kommen Übergangsbedingungen hinzu.
Statisch unbestimmte Probleme können oft durch Superposition bekannter Lösungen behandelt werden (Biegelinientafel!).
Die Durchbiegung infolge Schub kann bei schlanken Balken vernachlässigt werden.
Schiefe Biegung (
\(y\),
\(z\) Hauptachsen):
$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\text{Normalspannung}&\displaystyle\sigma&\displaystyle=\frac{M_{y}}{I_{y}}\,z-\frac{M_{z}}{I_{z}}\,y\,,\\ \displaystyle&\displaystyle\text{Dgln. Biegelinie}&\displaystyle EI_{y}w^{\prime\prime}&\displaystyle=-M_{y}\,,\quad EI_{z}v^{\prime\prime}=M_{z}\,.\end{aligned}$$
Bei einer Belastung durch Biegung und Zug/Druck ergeben sich die Spannungen und Verschiebungen durch Superposition der Teillösungen für die einzelnen Lastfälle.
Eine ungleichförmige Temperaturverteilung über die Balkenhöhe ruft ein Temperaturmoment hervor, das zu einer Krümmung der Balkenachse führt.
