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2015 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Basic Concepts

verfasst von : Miklós Laczkovich, Vera T. Sós

Erschienen in: Real Analysis

Verlag: Springer New York

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Abstract

In former times, mathematics was defined as the science concerned with numbers and figures. (This is reflected in the title of the classic book by Hans Rademacher and Otto Toeplitz, Von Zahlen und Figuren, literally On Numbers and Figures [6].) Nowadays, however, such a definition will not do, for modern algebra deals with abstract structures instead of numbers, and some branches of geometry study objects that barely resemble any figure in the plane or in space. Other branches of mathematics, including analysis, discrete mathematics, and probability theory, also study objects that we would not call numbers or figures. All we can say about the objects studied in mathematics is that generally, they are abstractions from the real world (but not always).

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Fußnoten
1
Jacob Bernoulli (1654–1705), Swiss mathematician.
 
2
Fibonacci (Leonardo of Pisa) (c. 1170–1240), Italian mathematician.
 
3
Sometimes, containment is denoted by ⊆ .
 
4
We can write \(A_{1}\bigtriangleup A_{2}\bigtriangleup \cdots \bigtriangleup A_{n}\), since we showed in part (c) of Exercise 2.21 that different placements of parentheses define the same set (so we may simply omit them).
 
5
That is, either prove that the identity holds for every A, B, C, or give some A, B, C for which it does not hold.
 
Literatur
1.
Davidson, K.R., Dosig, A.P.: Real Analysis and Applications. Theory in Practice. Springer, New York (2010)
2.
Erdős, P., Surányi, J.: Topics in the Theory of Numbers. Springer, New York (2003)
3.
Euclid: The Thirteen Books of the Elements [Translated with introduction and commentary by Sir Thomas Heath]. Second Edition Unabridged. Dover, New York (1956)
4.
Hewitt, E., Stromberg, K.: Real and Abstract Analysis. Springer, New York (1975)
5.
Niven, I., Zuckerman, H.S., Montgomery, H.L.: An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edn. Wiley, New York (1991)
6.
Rademacher, H., Toeplitz, O.: Von Zahlen und Figuren. Springer, Berlin (1933) [English translation: The Enjoyment of Mathematics]. Dover, New York (1990)
7.
Rudin, W.: Principles of Mathematical Analysis, 3rd edn. McGraw-Hill, New York (1976)
8.
Zaidman, S.: Advanced Calculus. An Introduction to Mathematical Analysis. World Scientific, Singapore (1997)
Metadaten
Titel
Basic Concepts
verfasst von
Miklós Laczkovich
Vera T. Sós
Copyright-Jahr
2015
Verlag
Springer New York
Buch
Real Analysis

Print ISBN: 978-1-4939-2765-4

Electronic ISBN: 978-1-4939-2766-1

Copyright-Jahr: 2015

DOI
https://doi.org/10.1007/978-1-4939-2766-1_2