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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch erklärt verständlich, welche Vorteile die Bayes-Statistik den Human- und Sozialwissenschaften bietet, warum sie der klassischen Statistik mitunter überlegen ist und wie man sie konkret anwendet. Es beginnt bei den erkenntnistheoretischen Grundlagen der Bayes-Statistik und erklärt speziell (aber nicht nur) für die typischen Fragen der Human- und Sozialwissenschaften, wie sich diese mit einfachen Formeln behandeln lassen. Wolfgang Tschirk vermittelt überzeugend, warum die Bayes-Statistik eine Krone der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist: Weil sie auch spärliche Informationen zu einem Problem so kombiniert, dass die Schlüsse ein Maximum an Wahrscheinlichkeit gewinnen – ein Vorteil besonders in den Wissenschaften vom Menschen, die mit ihrem Forschungsobjekt nicht beliebig experimentieren können.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einführung

Frontmatter

1. Statistik in den Human- und Sozialwissenschaften

In den Human- und Sozialwissenschaften sind quantitative Untersuchungen oft statistische Untersuchungen. Dabei werden fast ausschließlich Elemente der klassischen Statistik eingesetzt: klassische Punktschätzungen, Konfidenzintervalle und Signifikanztests. Deren Ergebnisse sind jedoch zum Teil wenig aussagekräftig und anfällig für Fehlinterpretationen. Die Bayes-Statistik würde sich für viele Fragen besser eignen. Was ihr zum breiten Einsatz fehlt, ist eine anwenderfreundliche Aufbereitung.
Wolfgang Tschirk

Theorie des bayesschen Schätzens und Testens

Frontmatter

2. Wahrscheinlichkeit

Behauptungen über eine Gesamtheit, von der man nur eine Stichprobe kennt, sind im Allgemeinen nicht sicher, sondern nur mehr oder weniger plausibel. Wie plausibel eine Behauptung ist, hängt davon ab, in welcher Beziehung sie zu anderen Behauptungen steht, deren Plausibilität man kennt. Ein Plausibilitätsmaß, das diesem Grundsatz folgt, ist die Wahrscheinlichkeit, wie sie in der Bayes-Statistik verwendet wird.
Wolfgang Tschirk

3. Univariate Verteilungen

Dass eine Größe mehrere mögliche Werte hat, kann zweierlei bedeuten: Entweder ist es eine veränderliche Größe, die tatsächlich verschiedene Werte annimmt, wie der täglich gemessene Blutdruck eines Menschen; oder eine Größe mit festem, aber unbekanntem Wert, wie der gegenwärtige Anteil der Linkshänder unter den Schulkindern. Die möglichen Werte sind jeweils die aus Sicht des Wissens in Frage kommenden. Die vollständige Angabe, mit welchen Wahrscheinlichkeiten sie angenommen werden, heißt Verteilung. Kann eine Größe nur isolierte (zum Beispiel ganzzahlige) Werte annehmen, heißen sie und ihre Verteilung diskret; kann sie beliebige Zwischenwerte annehmen, heißen sie und ihre Verteilung stetig. Die Verteilung eines Skalars nennt man univariat, die eines Vektors multivariat; das vorliegende Kapitel handelt von univariaten Verteilungen.
Wolfgang Tschirk

4. Multivariate Verteilungen

Fasst man zwei oder mehr Größen zu einem Vektor zusammen, so nennt man dessen Verteilung multivariat. Wir stellen diskrete und stetige Verteilungen vor und unter den stetigen eine spezielle bivariate. Weiters besprechen wir Verteilungen von Summen und Differenzen und die für uns wichtigsten Stichprobenparameter.
Wolfgang Tschirk

5. Likelihood und Fisher-Information

Grundlage des bayesschen Schätzens und Testens ist eine Verteilung, die das gesamte Wissen über die betrachtete Größe repräsentiert: die Posterioriverteilung. Das Wissen setzt sich oft aus zwei Teilen zusammen: dem, was man aus einer Stichprobe erfährt, und dem, was man unabhängig von der Stichprobe weiß. Die Information aus der Stichprobe wird ausgedrückt durch die Likelihood, das andere Wissen durch die Prioriverteilung. In diesem Abschnitt betrachten wir die Likelihood und die von ihr abgeleitete Fisher-Information, die später auch zum Bilden von Prioriverteilungen dienen wird.
Wolfgang Tschirk

6. Die Prioriverteilung

Die Prioriverteilung einer Größe enthält, was man ohne Kenntnis der Stichprobe über den Wert der Größe weiß. Im Extremfall weiß man gar nichts; eine Prioriverteilung, die Unwissen ausdrückt, nennt man nichtinformativ. Prioriverteilungen, in denen Wissen über den Wert steckt, heißen informativ. In diesem Kapitel besprechen wir, wie man nichtinformative und informative Prioriverteilungen der uns interessierenden Parameter festlegt.
Wolfgang Tschirk

7. Die Posterioriverteilung

In Kap. 5 und 6 haben wir gesehen, wie man die Information, die eine Stichprobe liefert, durch die Likelihood ausdrückt und das von der Stichprobe unabhängige Wissen durch die Prioriverteilung. Nun besprechen wir, wie man Likelihood und Prioriverteilung zur Posterioriverteilung kombiniert, die schließlich das gesamte Wissen verkörpert. Dieses Kombinieren hat der Bayes-Statistik ihren Namen gegeben, denn hier spielt der Satz von Bayes die zentrale Rolle.
Wolfgang Tschirk

8. Bayessches Schätzen

Eine Größe kann man auf zwei Arten schätzen: durch eine Punktschätzung (einen Wert, der dem wahren Wert möglichst nahekommt) und durch eine Intervallschätzung (einen Bereich, in dem der wahre Wert vermutlich liegt). Beide Schätzungen beruhen auf der Posterioriverteilung der Größe. Im gesamten Kapitel sprechen wir von stetigen Größen.
Wolfgang Tschirk

9. Bayessches Testen

In der Bayes-Statistik testet man eine Hypothese, indem man feststellt, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie stimmt. Alle Hypothesen der Statistik lassen sich so formulieren, dass sie Werte statistischer Größen zum Inhalt haben, und ihre Wahrscheinlichkeiten erhält man aus den Posterioriverteilungen dieser Größen. Wieder sprechen wir im gesamten Kapitel von stetigen Größen.
Wolfgang Tschirk

Praxis des bayesschen Schätzens und Testens

Frontmatter

10. Von der Theorie zur Praxis

In Teil III dieses Buches wenden wir die bisher gewonnenen Erkenntnisse auf typische Probleme der Human- und Sozialwissenschaften an. Dazu benötigen wir die Umsetzung einer oft umgangssprachlich formulierten Fragestellung in eine exakte, die wir mit den erarbeiteten Mitteln auch beantworten können, und einen möglichst einfachen Weg, der zur Antwort führt. Das ist der Gegenstand des vorliegenden Kapitels.
Wolfgang Tschirk

11. Statistik von Anteilen

Der Anteil von Merkmalsträgern in einer Gesamtheit ist unter oft zutreffenden Bedingungen betaverteilt. In diesem Kapitel besprechen wir das Schätzen von Anteilen, von deren Summen und Differenzen sowie das Testen von Hypothesen über solche Größen.
Wolfgang Tschirk

12. Statistik poissonverteilter Größen

Die Häufigkeit seltener Ereignisse ist unter oft zutreffenden Bedingungen poissonverteilt, und der Parameter dieser Verteilung ist zugleich ihr Mittelwert. Wir besprechen das Schätzen des Parameters einer Poissonverteilung, das Schätzen von Summen und Differenzen von Parametern und das Testen von Hypothesen über solche Größen.
Wolfgang Tschirk

13. Statistik exponentialverteilter Größen

Die Dauer bis zu einem Ereignis und die Zeitspanne zwischen zwei Ereignissen sind unter oft zutreffenden Bedingungen exponentialverteilt, und aus dem Parameter dieser Verteilung lassen sich mittlere Dauer und Halbwertszeit berechnen. Wir besprechen das Schätzen des Parameters, des Mittelwerts und der Halbwertszeit einer Exponentialverteilung, das Schätzen von Parametersummen und -differenzen und das Testen von Hypothesen über solche Größen.
Wolfgang Tschirk

14. Statistik normalverteilter Größen

Viele Größen sind annähernd normalverteilt, und oft interessiert man sich für ihren Mittelwert. Wir besprechen das Schätzen des Mittelwerts einer Normalverteilung, das Schätzen von Summen und Differenzen von Mittelwerten und das Testen von Hypothesen über solche Größen. Dabei gehen wir von der (fast immer zutreffenden) Annahme aus, dass die Varianz der Verteilung unbekannt ist.
Wolfgang Tschirk

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