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Erschienen in:
2020 | OriginalPaper | Buchkapitel
20. Beanspruchung stabförmiger Bauteile
verfasst von : Prof. Dr.-Ing. Joachim Villwock, Dr.-Ing. Andreas Hanau
Erschienen in: Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Im Bereich konstanter Längs- oder Normalkraft \(F_\mathrm{N}=F\) gilt für Spannung, Dehnung und Verschiebung (Abb. 20.1a) \(\sigma=F_\mathrm{N}/A\); \(\varepsilon=\mathrm{d}u/\mathrm{d}x=\Updelta l/l=\sigma/E\); \(u\left(x\right)=\left(\sigma/E\right)x\); \(u(l)=\Updelta l=\varepsilon l=(\sigma/E)l\). Das Hooke’sche Gesetz wird hier und im Folgenden immer als gültig vorausgesetzt. Nach Abschn. 19.1.3 ist die Formänderungsarbeit
$$W=\frac{1}{2}\int\sigma\varepsilon\,\mathrm{d}V=\frac{\sigma^2Al}{2E}=\frac{F^2_\mathrm{N}l}{2EA}\:.$$
Diese Gleichungen gelten für Zug- und Druckkräfte. Bei Druckkräften ist der Nachweis gegen Knicken zusätzlich erforderlich (s. Kap. 25).
Veränderliche Längskraft \(F_\mathrm{N}\) tritt z. B. infolge Eigengewicht (Dichte ϱ) auf (Abb. 20.1a). Für Querschnitt \(A=\text{const}\) folgt \(C=0\) aus u(x = 0), d. h. \(\Updelta l=u(l)=\varrho gl^2/(2E)\); Formänderungsarbeit
$$\begin{aligned}F_\mathrm{N}(x) &=\varrho gV=\varrho gA(l-x),\\sigma(x)&=\varrho g(l-x)\:,\\ u(x) &=\int\mathrm{d}u=\int\varepsilon(x)\,\mathrm{d}x\\ {}&=\int\left({\frac{1}{ E}}\right)\varrho g(l-x)\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{\varrho g}{E} \, \frac{lx-x^2}{2}+C\:;\end{aligned}$$
$$W={\frac{1}{ 2}}\int\sigma\varepsilon\,\mathrm{d}V={\frac{1}{ 2}}\int^ l_{ x=0} {\frac{\sigma^2}{ E}}\;A\,\mathrm{d} x=\frac{F^2_\mathrm{G}l}{ 6\: EA}\:.$$