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Erschienen in:
2015 | OriginalPaper | Buchkapitel
5. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
verfasst von : Stefan Schäffler
Erschienen in: Mathematik der Information
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Ausgehend von einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega,{\mathcal{P}}(\Omega),\mathbb{P})\) und einer Menge \(B\subseteq\Omega\) mit \(\mathbb{P}(B)> 0\) erhält man durch ein weiteres Wahrscheinlichkeitsmaß auf \({\mathcal{P}}(\Omega)\). Da \(\mathbb{P}^{B}(B)=1\), interpretiert man die Wahrscheinlichkeit \(\mathbb{P}^{B}(A)\) als die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass das Ereignis B sicher eintrifft (bedingte Wahrscheinlichkeit). Man hat sozusagen die Menge der möglichen Ergebnisse Ω auf die Menge B reduziert. Gilt nun \(\mathbb{P}^{B}(A)=\mathbb{P}(A)\), so folgt daraus \(\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\cdot\mathbb{P}(B)\); in diesem Fall wird die Wahrscheinlichkeit für A durch die Reduktion der Menge der Ergebnisse von Ω auf B nicht beeinflusst; man sagt, die Ereignisse A und B seien stochastisch unabhängig. Daher haben wir bei der Einführung der Funktion I zum Messen der Informationsmenge auch gefordert; tritt die „Nachricht“ A mit der Wahrscheinlichkeit p ein, die Nachricht B mit der Wahrscheinlichkeit q und beide Nachrichten mit der Wahrscheinlichkeit pq, so sollen sich die jeweiligen Informationsmengen addieren, falls beide Nachrichten eintreffen (da stochastische Unabhängigkeit vorliegt).
$$\displaystyle\mathbb{P}^{B}:{\mathcal{P}}(\Omega)\to[0,1],\quad A\mapsto\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}$$
$$\displaystyle I(pq)=I(p)+I(q)$$