Ben Krause: “Discrete Analogues in Harmonic Analysis”. Graduate Studies in Mathematics 224

Der vorliegende Artikel bietet eine umfassende Einführung in das Gebiet diskreter Analoga in der harmonischen Analyse (DAHA), ein Thema, das seit den späten 1980er Jahren bedeutende Entwicklungen erlebt hat. Die Ursprünge von DAHA gehen auf die Schnittmenge von Zahlentheorie und -analyse zurück, wobei der Schwerpunkt auf der Kreismethode und ihren Anwendungen liegt. In dem Bericht werden die wichtigsten Probleme und bahnbrechenden Ergebnisse der DAHA diskutiert, wobei die Beiträge von Arkhipov-Oskolkov, Bourgain und Stein-Wainger hervorgehoben werden. Die lineare Theorie in DAHA wird detailliert untersucht, wobei der Schwerpunkt auf linearen ergodischen Durchschnittswerten und aktuellen Ergebnissen in sinnlosen bilinearen und multilinearen ergodischen Theoremen liegt. Der Bericht bietet auch einen historischen Kontext für die Entwicklung der DAHA, von ihren Vorläufern in der Zahlentheorie und -analyse bis hin zu ihrem aktuellen Status als eigenständiges Feld. Die Kreismethode wird als entscheidendes Instrument für die Analyse diskreter Analoga identifiziert, da ihre Niedrig- / Hochfrequenzanalyse eine tiefere Analogie zwischen kontinuierlichen und diskreten Ergebnissen bietet. Die Rezension schließt mit einer Diskussion der Exposition des Buches, in der die hervorragende Auswahl und Präsentation der Themen hervorgehoben wird, sowie sein Schwerpunkt auf motivierenden Beweisen und der Beschreibung einigender Themen.