12. Beschreibung des elektromagnetischen Feldes durch das magnetische Vektorpotential \(\vec {A}\)

Sie ist bei Gültigkeit der Maxwellschen Gleichungen stets erfüllt. Mit \(\vec {J} = \gamma \cdot \vec {E}\), \(\vec {D} = \varepsilon \cdot \vec {E}\), \(div\, \vec {D} = \rho \) und konstanten Werten für γ und ɛ nimmt die Kontinuitätsgleichung die Form \(\frac{\gamma }{\varepsilon } \cdot \rho + \frac{\partial }{\partial \,t} \rho = 0\) an. Folglich ist die Raumladungsdichte im Nichtleiter – in Übereinstimmung mit der Anschauung – zeitlich konstant. Im Leiter gilt \(\rho (t) = \rho_0 \cdot \exp ( - t / \tau )\) mit ρ₀ anfängliche Ladungsverteilung, Ortsfunktion und τ = γ/ɛ als Relaxations- oder Stoßzeit benannt. Welche Werte sind in üblichen Leiterwerkstoffen für τ zu erwarten? Bei zeitlich veränderlichen Feldern ist zu berücksichtigen, dass die Ladungsträger wegen ihrer Massenträgheit dem Feld nur verzögert folgen können. Die Massenträgheit der Elektronen wirkt sich nicht nur bei der Leitfähigkeit aus, sondern auch im elektrischen Verhalten der Atome, wo sie zu einer Frequenzabhängigkeit der atomaren Polarisierbarkeit und damit der Dielelektrizitätskonstanten führt. In [2] ist aus der Bewegungsgleichung für die einzelnen Elektronen für die Relaxationszeit τ = B · m gefunden; B Beweglichkeit, m Masse. Zusammen mit der Gleichstromleitfähigkeit \(\gamma_{DC} = n\, e^2\,B\) folgt \(\tau = \frac{m\, \gamma_{DC} }{n\, e^2}\); n räumliche Dichte der Ladungsträger, e Ladung. Für Kupfer bei 0°C erhält man mit m = 0, 90 E-30 kg, γ_DC = 64, 5 E 6 S/m, n = 8, 4 E 28 m⁻³ und e =−1, 602 E-19 As schließlich τ = 2,7 · 10 E-14 Sek.

Die gesamte Stromdichte beträgt \(\vec {J} + \frac{\partial }{\partial \,t} \vec {D}\); mit \(\vec {J} = \gamma \,\vec {E}\), \(\vec {D} = \varepsilon \,\vec {E}\) folgt für den Effektivwert der gesamten Stromdichte \(\vec {J}_{ges} \) bei harmonischer Zeitabhängigkeit \(\vec {J}_{ges} = \gamma \cdot \left( {1 + \omega \frac{\varepsilon }{\gamma }} \right)\cdot \vec {E}\). Mit den in Fußnote 1 dargestellten Zahlenwerten für die Relaxationszeit τ = ɛ/γ für Kupfer bei 0°C folgt \(\omega \cdot \tau = 2\pi \cdot 2{,}7 \cdot 10\, E\hbox{-}14 \cdot f = 1{,}7 \cdot 10\, E\hbox{-}13 \cdot f,\, [f] = Hz\).

\(\vec{M}_0 \) ist das Resultat eines Magnetisierungsvorganges in einem externen Feld; χ_m bezeichnet die einheitenlose Größe „magnetische Suszeptibilität“, µ_r die relative Permeabilität.