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Über dieses Buch

"Wozu braucht man Mathematik?" Dieses Buch stellt unter Beweis, dass moderne Mathematik in fast sämtlichen Lebensbereichen eine wichtige Rolle spielt. Aktuelle Forschung wird durch unterhaltsame Aufgaben und ihre Lösungen anschaulich.

Das Buch fordert zum aktiven Mitmachen auf und zeigt, dass Mathematik interessant ist und Freude bereiten kann. Für die Anstrengung des konzentrierten Nachdenkens werden die Leserinnen und Leser mit nützlichen und manchmal auch verblüffenden Ergebnissen belohnt.

Das Buch basiert auf einer Auswahl der schönsten Aufgaben aus sechs Jahrgängen des mathematischen Adventskalenders des DFG-Forschungszentrums MATHEON. Der erstaunliche Erfolg des Mathekalenders (www.mathekalender.de) bei Jung und Alt war der Anlass, die besten Aufgaben neu zu formulieren und mit ausführlichen Erklärungen zu dem jeweiligen Praxisbezug zu versehen.

Freuen Sie sich auf eine Rundreise durch spannende Mathematik und ihre Anwendungen!

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Mathematik ganz freizeitlich

Frontmatter

Musik einpacken

Zusammenfassung
Wer schon einmal Nudeln selbst gemacht hat, der weiß: Frische Pasta kann ganz schön pappen. Das ist ein Problem für die Nudelindustrie, denn es ist nicht leicht, mit unregelmäßigen und klebrigen Nudel-Klumpen 500-Gramm-Beutel genau zu füllen. Einige Hersteller verwenden daher „Teilmengenwaagen“. Die besitzen bis zu hundert kleine Waagschalen, die über ein Förderband mit jeweils ungefähr 50 Gramm Nudel-Klumpen befüllt werden. Dann kommt Mathematik ins Spiel: Ein Computer wählt die zehn Waagschalen aus, deren Inhalt zusammen die 500 Gramm genau erreicht, und leert sie in einen Beutel aus.
Andreas Loos

Zum Glück gibt es Garantie!

Zusammenfassung
Die numerische Lösung von Gleichungssystemen ist eine zentrale Aufgabe bei der Untersuchung fast jeden wissenschaftlichen Problems. Die Beschreibung physikalischer, chemischer oder biologischer Prozesse erfolgt im Wesentlichen immer durch Systeme von Gleichungen. Diese können aus Differentialgleichungen oder auch algebraischen Gleichungen bestehen. Lösungsverfahren dieser Systeme führen jedoch meist auf das Lösen von sehr großen linearen Gleichungssystemen. Daher ist es notwendig Methoden zu entwickeln um diese linearen Gleichungssysteme effizient zu lösen.
Volker Mehrmann

Molekülbillard

Zusammenfassung
Die Entwicklung moderner Medikamente (siehe Abbildung 1) zielt auf das Design von hochspezifischen Wirkstoffen, um Nebenwirkungen so weit wie möglich auszuschließen. Da biochemische Reaktionen, z. B. die Blockade eines Rezeptors durch ein Wirkstoffmolekül, zumeist nach dem Schlüssel-Schloss-Prinzip funktionieren, ist die Gestalt von Molekülen entscheidend für die Wirksamkeit. Biochemische Tests oder gar klinische Studien sind aufwändig und teuer, daher werden zunehmend mathematische Simulationsverfahren zur Berechnung der Gestalt von Molekülen verwendet.
Martin Weiser

Stein–Schere–Papier

Zusammenfassung
Wie gewinnt man im Spiel? Die Analyse von Strategien bei Gesellschaftsspielen ist ein Thema der mathematischen Spieltheorie. Mit ihren Methoden kann man aber nicht nur Spiele wie Schach oder Skat untersuchen, sondern auch verschiedenste Konfliktsituationen, bei denen das Schicksal jedes einzelnen Akteurs nicht nur vom eigenen Verhalten abhängt, sondern auch vom Verhalten der anderen, die ebenso wie er versuchen, ein für sie selbst möglichst positives Ergebnis herauszuschlagen. Die Spieltheorie hat großen Einfluss in den Wirtschaftswissenschaften. Auch in der Psychologie, Soziologie, Biologie und der Militärwissenschaft findet sie Anwendung. In der folgenden Aufgabe geht es aber tatsächlich um ein Spiel, und zwar um ein sehr einfaches, das jeder kennt. Trotzdem ist die Lösung nicht ganz einfach, und wer sie findet, hat schon die eine oder andere grundlegende Idee der Spieltheorie verstanden.
Boris Springborn

Mathematik in Bewegung

Frontmatter

Katz und Maus

Zusammenfassung
„Da bin ich ja gerade nochmal davongekommen!“ Mathy die Maus saß in der Ecke des Mauseloches und erholte sich von ihrem Schreck.
Peter Deuflhard, Anton Schiela

Zugfahrt nach Berlin

Zusammenfassung
Alljährlich, zum europaweiten Fahrplanwechsel Mitte Dezember, stellt sich für Eisenbahnverkehrsunternehmen die Frage, wie ihr Liniennetz neu zu gestalten ist. In dieser Aufgabe betrachten wir diese Fragestellung aus der Sicht der Regionalleitung Nordost.
Christian Liebchen

Zuschauer beim Berlin-Marathon

Zusammenfassung
Jedes Computerprogramm, sei es ein Betriebssystem, eine Textverarbeitung oder ein Computerspiel, ist aus einer Vielzahl von Algorithmen zusammen gesetzt. Ein Algorithmus ist eine Art Rechenvorschrift, die Daten als Eingabe entgegennimmt und daraus ein Ergebnis berechnet. Um beispielsweise die Anzeige des Mauszeigers auf dem Bildschirm zu steuern, erhält der dafür zuständige Algorithmus die letzte Position des Mauszeigers und die Bewegung der Maus auf dem Schreibtisch als Eingabe. Daraus wird die neue Position des Mauszeigers berechnet, sie bildet die Ausgabe des Algorithmus.
Stefan Hougardy, Stefan Kirchner, Mariano Zelke

Die gelben Engel von Noehtam

Zusammenfassung
Pech gehabt: Eine Panne auf der Autobahn! Zum Glück gibt es den ADAC. Etwa 30 Minuten nach dem Anruf aus der Notrufsäule steht ein Hilfefahrzeug beim Autofahrer mit der Panne – wir nennen ihn hier Havaristen. Damit das funktioniert, muss zwischen dem Anruf in einer ADAC-Hilfezentrale und der Ankunft eines gelben Engels eine Menge organisiert werden.
Jörg Rambau

Mathematik komplett technologisch

Frontmatter

Wie viel Kapazität hat ein Mobilfunknetz?

Zusammenfassung
Wer hat das noch nicht erlebt? Der Akku ist aufgeladen und reichlich Guthaben vorhanden, doch das Telefonieren mit dem Handy klappt trotzdem nicht. Meist liegt das daran, dass man sich in einem Funkloch befindet. Aber manchmal ist auch das Netz überlastet. Anders gesagt: das Funknetz des Mobilfunkanbieters, das viele Antennen auf Hausdächern oder Masten umfasst, bietet entweder nicht genügend Abdeckung oder nicht genügend Kapazität. Genau das will der Anbieter natürlich vermeiden. Mathematik hilft, diese Herausforderungen mit einer guten Planung des Mobilfunknetzes zu bewältigen.
Andreas Eisenblätter, Hans-Florian Geerdes

Wie Rechner rechnen

Zusammenfassung
Mit Hilfe von Computern lassen sich Rechenoperationen wie Addition und Multiplikation mit hoher Geschwindigkeit ausführen. Der erste frei programmierbare Rechner, die mechanische Zuse Z1 aus dem Jahre 1937, schaffte etwa zwei Additionen pro Sekunde. Heute misst man die Geschwindigkeit in Flops (Floating Point Operations Per Second, d. h. Gleitkommaoperationen pro Sekunde).
René Lamour, Caren Tischendorf

Wann geht der Laser an?

Zusammenfassung
Ein Laser ist eine Lichtquelle, bei der durch Zufuhr von elektrischer Energie Licht besonderer Güte oder Reinheit (einfarbig, kohärent, polarisiert) erzeugt werden kann. Das dynamische Verhalten des Lasers hängt von der Energiezufuhr ab. Sie bestimmt, ob der Laser zum Beispiel dauerhaft Licht konstanter Intensität liefert, ob er dauerhaft flackert, ob er nach kurzem Aufflackern ausgeht, oder ob er noch anderes Verhalten zeigt.
Mark Lichtner, Lutz Recke

Mathematik ganz zufällig

Frontmatter

Der Forsch-Frosch Fred

Zusammenfassung
Bewegt man sich auf der Suche nach Informationen zu einem bestimmten Thema immer neuen Links folgend durch das World- Wide-Web, so stellt man in der Regel nach einer gewissen Zeit fest, dass man auf manchen Seiten immer wieder gelandet ist. Diese Seiten stellen sich oft als wichtig heraus. Suchmaschinen wie Google machen sich dieses Phänomen zu Nutze, um die Wichtigkeit einzelner Web-Seiten zu bewerten. Dazu lassen sie auf einer beliebigen Web-Seite einen imaginären Surfer starten, der immer zufällig einen der auf seiner aktuell besuchten Seite vorgefundenen Links verfolgt. Der Surfer vollführt einen Random Walk im Netzwerk der Web-Seiten.
Volker Kaibel

Keller oder Dach zuerst?

Zusammenfassung
Komplexe Planungsaufgaben entstehen in vielen Bereichen wie z. B. in der Produktion und Logistik, der Bauplanung oder allgemein im Projektmanagement. Typischerweise werden umfangreiche Projekte in viele einzelne Teilaufgaben zerlegt, die dann zeitlich geplant werden. Das heißt, es wird genau bestimmt wann bzw. in welcher Reihenfolge Aufgaben mit welchen Ressourcen durchgeführt werden sollen. Bei der Planung müssen verschiedenste Reihenfolgeabhängigkeiten zwischen den Vorgängen berücksichtigt werden. Diese Abhängigkeiten können technischer Natur sein oder werden aus sicherheitsrelevanten oder wirtschaftlichen Gründen festgelegt.
Nicole Megow

Viele Tests – viele Fehler?

Zusammenfassung
Bildgebende Verfahren haben sich in den letzten Jahren einen festen Platz in der Medizin erobert und die medizinische Forschung und Diagnostik revolutioniert. Sie ermöglichen Ärzten und Forschern einen Einblick in lebendes Gewebe. Mit der fortschreitenden technischen Entwicklung liefern die Verfahren immer höhere Auflösungen, schärfere Bilder und mehr Details. Bildgebende Verfahren sind ohne Mathematik undenkbar, von der Bildrekonstruktion aus den gemessenen Signalen, bis hin zur Auswertung der Bildinformation. Für die Analyse der großen Menge an Bilddatenpunkten (Voxel, volume element, im Gegensatz zum zweidimensionalen Pixel, picture element) werden häufig insbesondere Methoden der mathematischen Statistik benötigt. Zufällige Fehler in der Messung äußern sich als Bildrauschen, die Bilder wirken unscharf und gestört. Dadurch werden diagnostische Entscheidungen erschwert.
Karsten Tabelow

Karamell und Schokolade optimal

Zusammenfassung
In verschiedenen Situationen in Technik, Wirtschaft oder Politik ist man daran interessiert unter einer Anzahl von möglichen Entscheidungen die jeweils beste auszuwählen, also die optimale Entscheidung zu treffen, die den größtmöglichen Nutzen bringt. In den meisten Fällen sind Nutzen und Entscheidungsalternativen nicht exakt gegeben, Entscheidungen werden dann entweder sprachlichargumentativ ausgewählt und begründet oder gar aus dem Bauch heraus gefällt. In manchen Fällen ist es aber möglich, Entscheidungsalternativen und Nutzen in Zahlen und Formeln so auszudrücken, dass über diese Beschreibung im Prinzip die optimalen Entscheidungen und der maximale Nutzen festgelegt sind. Dabei ist zu beachten, dass bei mehreren (gleichzeitig oder hintereinander) zu treffenden Entscheidungen gewisse Abhängigkeiten zu berücksichtigen sind, bezüglich der möglichen Alternativen. Wenn beispielsweise die Umsetzung einer bestimmten (Teil-)Entscheidung mit bestimmten Kosten verbunden wäre, so stünde dieser Geldbetrag für andere Entscheidungen nicht mehr zur Verfügung.
Andreas Eichhorn

Mathematik in Produktion und Logistik

Frontmatter

Roboter und Zuckerstangen

Zusammenfassung
Bei Produktion und Logistik denkt man sofort an Fabriken, Lagerhallen und Gabelstapler und nicht unbedingt an Zellbiologie. Sieht man etwas genauer hin erscheint dieser Gedankensprung jedoch gar nicht mehr so unpassend. In einer lebenden Zelle laufen eine Vielzahl von Produktions-, Transport- und Regulationsprozessen ab. Soll etwa ein gerade verfügbarer Rohstoff abgebaut werden, muss vielleicht ein Signal ein Gen erreichen, das ein geeignetes Enzym kodiert. Die Aktivierung des Gens führt über mehrere Zwischenstationen zur Produktion des Enzyms, das schließlich noch dahin gelangen muss, wo es gebraucht wird. Ist der Bedarf gedeckt, muss wiederum die Enzymproduktion eingestellt werden.
Heike Siebert

Die Welt des Herrn Kuhn

Zusammenfassung
Eines Morgens erwachte Herr Kuhn fröstelnd und staunte darüber, dass es in seiner Wohnung eiskalt war. Dennoch quälte er sich aus seiner kuscheligen Bettdecke heraus und schlurfte ins Bad. „Hoffentlich wird wenigstens das Wasser warm“, dachte er sich, als er den Wasserhahn betätigte – aber es kam nicht nur kein warmes Wasser, außer einem unheilvollen Gluckser kam gar nichts aus der Leitung. „Dann werde ich wohl mal den Klempner anrufen“, sprach er sich leise in den Bart und griff zu seinem Handy – doch das Netz war tot! Herr Kuhn begann nun, sich ernsthaft Sorgen zu machen, „Oje, was ist denn heute nur los? Ist irgendetwas Schlimmes passiert?“ Um einen besseren Überblick über die Lage zu bekommen und sich austauschen zu können, brannte er nun förmlich darauf, rauszugehen und zur Arbeit zu fahren. An anderen Tagen, die er frisch geduscht und mit Kaffee und Marmeladen-Brot begann, war er selten so motiviert. So ging er also nun mit leerem Magen aus dem Haus. Hätte er den Versuch unternommen, sein tägliches Marmeladenbrot zuzubereiten, und dafür den Kühlschrank geöffnet, um das Marmeladenglas herauszunehmen, wäre ihm aufgefallen, dass auch die Stromversorgung Störungen unterworfen war, unschön zu erkennen an den ersten grünen, felligen Inseln auf seinem Lieblingskäse.
Daniela Kern

Arvin, Berit und die Lastwagen

Zusammenfassung
Die Aufgabe hat ihren mathematischen Hintergrund in einer Problemstellung, die sich Modellreduktion nennt. Dabei geht es darum, große mathematische Probleme so umzuformulieren, dass sie mit möglichst wenig Unbekannten auskommen. Das hat den Vorteil, dass diese Aufgaben für einen Computer schneller lösbar sind und weniger Speicherplatz verbrauchen. Unter Umständen nimmt man für so einen Gewinn an Geschwindigkeit beim Lösen der Aufgaben auch kleine Fehler in Kauf – allerdings nur, solange man weiß, wie groß die Fehler maximal werden können. Die Methode findet Anwendung in einer Vielzahl von alltäglichen Problemstellungen. Die bekanntesten darunter sind wahrscheinlich Bild-, Ton- und Videokompression.
Falk Ebert, Anita Liebenau

Lagenwechsel minimieren – oder das Bohren von Löchern in Leiterplatten

Zusammenfassung
Diese Aufgabe behandelt ein Problem, das beim Entwurf von Leiterplatten auftritt. Die Aufgabe ist rein kombinatorischer Natur, man benötigt keine Kenntnisse der Elektromechanik. Einfache Leiterplatten haben zwei Seiten (auch Lagen genannt), auf die Strom leitende Bahnen (genannt Leiterbahnen) aufgebracht werden können. Wir nennen diese Lagen obere und untere Lage. Abbildung 1 zeigt eine unbestückte Leiterplatte und ihren „Schatten“, der die Löcher in der Leiterplatte sichtbar macht.
Martin Grötschel, Thorsten Koch, Nam-Dung Hoàng

Mathematik gegen Bankrott

Frontmatter

Die Paketversicherung von MathPost

Zusammenfassung
Angesichts der fundamentalen Bedeutung des Versicherungsgedankens für die menschliche Existenz kann das Versicherungswesen auf eine lange Geschichte zurückblicken. Dabei lassen sich zwei Grundformen von Versicherungen unterscheiden, die sich gegenseitig beeinflusst und gegenüber anderen Formen durchgesetzt haben.
Peggy Daume

Ein Kredit für Weihnachtsbaumkugeln

Zusammenfassung
Eine Mathematikerin aus dem DFG-Forschungszentrum Matheon arbeitet an Methoden zur dreidimensionalen Visualisierung. Sie hat die Geschäftsidee, Weihnachtsbaumkugeln mit bewegten Hologrammen herzustellen, die sich individuell gestalten lassen, und plant eine Existenzgründung. Aus einem öffentlichen Förderprogramm erhält sie ein günstiges Darlehen in Höhe von 50 000 Euro. Für die Startphase ihres Unternehmens benötigt sie jedoch den vierfachen Betrag.
Sina Dahms

Optionsbewertung

Zusammenfassung
Seitdem es auf dieser Welt Geld gibt, wird damit gerechnet. Mathematik und Geld sind von daher eng miteinander verknüpft. Dabei sind die Anforderungen an die Rechenkünste gestiegen: Das Einmaleins reicht längst nicht mehr aus, schon gar nicht, wenn es um die Bewertung von Portfolios und komplizierten Finanzkonstrukten (Derivaten) geht. Mathematiker helfen der Finanzindustrie und arbeiten eng mit Banken und Versicherungen zusammen. Sie entwickeln Modelle und Programme, mit denen sich mittels mathematischer Verfahren Risiken und Absicherungsstrategien kompliziert strukturierter Finanzprodukte besser einschätzen lassen.
John Schoenmakers

Mathematik immenschlichen Körper

Frontmatter

Das morgendliche Brückenritual

Zusammenfassung
Es wäre für Mediziner sehr interessant zu wissen, was für Kräfte genau in den menschlichen Knien wirken. Klar ist, dass sie recht groß sein müssen. Das Gewicht eines erwachsenen Mannes beträgt ca. 80 kg. Wenn davon je die Hälfte auf einem Bein ruht hat man schon mindestens 400 Newton pro Knie, beim Laufen, Springen, oder Treppensteigen noch viel mehr. Man will es aber noch viel genauer wissen. Die Kondylen, das sind die Kontaktflächen in den Knien, sind nicht eben. Es gibt dort Unregelmäßigkeiten, und die Kräfte konzentrieren sich dort. An einzelnen Stellen können die Kräfte dann noch viel höher sein.
Oliver Sander

Die Schokoladen-Diät

Zusammenfassung
Schlankheitskuren sind einerseits ein soziales Phänomen, aber auch ein großer Zweig der Nahrungsmittelindustrie. Die Industrie bietet dabei verschiedene Produkte an, wie Diätlebensmittel, Nahrungsergänzungsmittel, Sportkleidung und -ausrüstung, Übungsvideos und -bücher, usw. Allerdings ist es bekanntermaßen sehr schwer, das einmal erreichte Wunschgewicht auch langfristig zu halten. Häufig tritt dabei der so genannte Jojo-Effekt auf, so dass man schließlich nach der Diät mehr wiegt als vorher.
Matthias Ehrhardt

Von Bakterien und Antibiotika

Zusammenfassung
In jedem Lebewesen spielt der Stoffwechsel oder Metabolismus eine zentrale Rolle. Dabei werden verschiedene Stoffe aus der Umgebung aufgenommen, innerhalb des Organismus umgewandelt und schließlich in veränderter Form wieder abgegeben. Auf diese Weise gewinnt die Zelle die Energie und stellt die Bausteine her, die für die Aufrechterhaltung der biologischen Funktionen benötigt werden.
Alexander Bockmayr, Abdelhalim Larhlimi

Das DNA-Puzzle

Zusammenfassung
Im Jahre 1953 wurde von James Watson und Francis Crick erstmalig der strukturelle Aufbau der sogenannten DNA (Desoxyribonukleinsäure) beschrieben, welche das Erbgut jedes Lebewesens enthält. Der wesentliche Teil des Erbguts wird dabei durch eine sehr lange Folge der vier Basen Adenin (A), Cytosin (C), Guanin (G) und Thymin (T) codiert. Seit einigen Jahren ist es möglich, die Folge der vier Basen zu einer gegebenen DNA zu bestimmen. Biologen bezeichnen diesen Vorgang als Sequenzierung.
Stefan Kirchner

Die kalte Zunge

Zusammenfassung
Gefühlte Temperaturen. Ist ein Null Grad Celsius kalter Metallstab eigentlich kälter als ein Holzstab mit der selben Temperatur? Rein physikalisch gesehen natürlich nicht, aber wenn wir beide Stäbe anfassen, kommt uns der Metallstab deutlich kälter vor. Und wer kennt nicht die Szene aus dem Film Dumm und Dümmer in der Harry mit seiner Zunge am Metallrahmen des Skilifts hängen bleibt.Würde das auch passieren, wenn man an einem eiskalten Stück Holz lecken würde? Wohl kaum, doch woran liegt das eigentlich? Unterschiedliche Materialien haben verschiedene Fähigkeiten, Wärme zu übertragen und zu leiten. So transportiert Metall die von der Zunge ausgehende Wärme sehr schnell weiter und verändert seine Temperatur kaum, während die Zunge abkühlt. Holz hingegen leitet Wärme fast gar nicht und daher wird der Teil, der von der Zunge berührt wird, aufgewärmt.
Sören Bartels, Rüdiger Müller

Mathematik auf die Schnelle

Frontmatter

Knoten

Zusammenfassung
In einer großen Fabrik werden Geschenkpapiere, Schnüre und Gummibänder hergestellt. Die Gummibänder werden zum Verpacken von besonderen Überraschungen benötigt und sind auf himmlische Weise in sich verschlungen. Leider ist in der Gummibandproduktionsmaschine ein Defekt aufgetreten: Nur zwei von fünf Gummibändern wurden wie gewünscht produziert, die anderen drei sind zu kompliziert geraten. Welche der fünf Bilder zeigen die Gummibänder, die gleich verschlungen sind? (Achtung: Beim Hinlegen kann es passieren, dass zwei gleich verschlungene Gummibänder jeweils ein anderes Bild abgeben!)
John M. Sullivan

Dachkunst

Zusammenfassung
Der Baron, Herr von und zu Dreieck, braucht ein neues Dach für seinen Pferdestall. Nach Absprache mit dem Architekten hat er sich für das in Abbildung 1 dargestellte sternförmige Design entschieden. Beim Entwerfen hat der Baron mehrmals betont, dass die Positionen der roten und grünen Punkte feststehen. Aufgabe des Architekten ist es nun noch, die Höhe des blauen Punktes in der Mitte zu bestimmen. Herr von und zu Dreieck möchte möglichst wenig Material zum Dachbau verwenden, d. h. der blaue Punkt soll so gewählt werden, dass die Gesamtfläche des Daches minimal wird.
Ulrich Reitebuch, Christian Schulz

10hoch2009?

Zusammenfassung
Der Weihnachtsmann hat im Jahr 1 a1 = 7 Millionen Geschenke vorbereitet. Im nächsten Jahr bereitete er a2 = 15 Millionen Geschenke vor. Im dritten Jahr war die Zahl der Geschenke a3 = a2 durch a1 Millionen.
Serhiy Yanchuk, Leonhard Lücken

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