Bewertung von Finanzderivaten mit Python

Anhand eines fiktiven Strukturierten Produkts geben wir einen Einblick in die Problematik der Derivatsbewertung. In einer solchen ist ein (mathematisches) Modell für die zeitliche Entwicklung des des Derivates zugrunde liegenden Basiswerts zentraler Baustein; typischerweise ist ein solches Modell gegeben als Lösung einer stochastischen Differentialgleichung. Wir betrachten als erstes Modell dasjenige von Black und Scholes, in welchem das Bewertungsproblem von Europäischen Call und Put Optionen analytisch gelöst werden kann. Dies führt zur Black-Scholes Formel für die entsprechenden Optionen. Wir diskutieren anschliessend einige Defekte dieses Modells, insbesondere führen wir den Begriff des Volatilitäts-Smile ein. Als erste Erweiterung des Black-Scholes Modells betrachten wir das CEV Modell, welches zwei Parameter beinhaltet. Die Modell-Parameter werden typischerweise anhand von Marktpreisen von Europäischen Call und Put Optionen bestimmt; dieser Vorgang wird Modell-Kalibrierung genannt. Typischerweise führt die Kalibrierung eines Modells auf ein nicht-lineares Regressionsproblem, welches wir mit dem Levenberg-Marquardt-Verfahren lösen.

Als erste numerische Bewertungsmethode betrachten wir in diesem Kapitel Binomialbäume, welche zunächst als ein diskretes Modell für die zeitliche Entwicklung des Basiswertes aufgefasst werden können. Mit Hilfe eines Hedging-Arguments verwenden wir diese, um Europäische und Amerikanische Optionen zu bewerten. Die Betrachtungen führen einerseits zur Erkenntnis, dass Derivatspreise abgezinsten Erwartungswerten bezüglich eines bestimmen Wahrscheinlichkeitsmass entsprechen und andererseits zu Python-Routinen, mit welchen wir Optionspreise mit Binomialbäumen mit beliebig vielen Perioden berechnen können. Mit Hilfe dieser Routinen weisen wir numerisch nach, dass Optionspreise erhalten mit Binomialbäumen gegen die entsprechenden Black-Scholes Preise konvergieren, wenn die Anzahl der Perioden des Baums gegen unendlich strebt. Wir erweitern sodann Binomialbäume zu Trinomialbäumen, mit welchen wir beispielhaft eine Down-und-Out Put Option bewerten.

In diesem Kapitel verwenden wir das Binomialbaum-Modell aus dem Kapitel 2, um die Black-Scholes Gleichung herzuleiten. Diese ist eine partielle Differentialgleichung für den Wert eines Derivats und stellt das prototypische Beispiel für sogenannte Bewertungsgleichungen dar. Zudem stellen wir einen Zusammenhang zwischen abgezinsten Erwartungswerten, stochastischen Prozessen und partiellen Differentialgleichungen her. Dieser Zusammenhang ist bekannt als Feynman-Kac Theorem; dieses bildet die Grundlage für alle in diesem Buch betrachteten Bewertungsgleichungen. Zusätzlich betrachten wir Kolmogorov Gleichungen für Wahrscheinlichkeitsdichten, welche für sogenannte LSV Modelle eine zentrale Rolle spielen. Die Black-Scholes Gleichung beinhaltet diverse Ableitungen des Optionspreises. Da diese sogenannten “Griechen” von grundsätzlichem Interesse sind, leiten wir entsprechende Ausdrücke für das Black-Scholes Modell her.

Die Bewertungsgleichungen im Kapitel 3 können typischerweise nicht analytisch gelöst werden und wir benötigen eine Approximationsmethode, welche näherungsweise die Lösung (den Derivatspreis) der Bewertungsgleichung liefert. Da die Bewertungsleichung aber eine partielle Differentialgleichung ist, ist es zunächst sinnvoll, die einfacheren gewöhnlichen Differentialgleichungen zu betrachten. In der Tat ist die Black-Scholes Gleichung bei Weglassen der partiellen Ableitung nach der Zeit eine gewöhnliche, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. In diesem Kapitel entwickeln wir das Finite-Differenzen-Verfahren zur approximativen Lösung solcher Differentialgleichungen (mit sogenannten Dirichlet-Randbedingungen). Das Finite-Differenzen-Verfahren führt zu einem linearen Gleichungssystem für die Bestimmung der Optionspreise; die zum Gleichungssystem gehörende Matrix ist für Dirichlet-Randbedingungen tridiagonal. Die Python-Routine “matrixgenerator” berechnet diese Matrix und stellt daher einen zentralen Baustein für die Bewertung von Finanzderivaten dar.

Wir erweitern das im Kapitel 4 entwickelte Finite-Differenzen-Verfahren zur approximativen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf die partielle Differentialgleichung von Black und Scholes. Dazu müssen wir zunächst die Bewertungsgleichung lokalisieren, das heisst, auf ein endliches Rechengebiet einschränken und Bedingungen an den Optionspreis am Rand dieses Rechengebiets stellen. Das Finite-Differenzen-Verfahren des Kapitel 4 angewendet auf die Black-Scholes Bewertungsgleichung führt auf ein (typischerweise grosses) lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung (bezüglich der Zeit). Die numerische Lösung dieses Systems bewerkstelligen wir mit dem sogenannten theta-Verfahren. Dies führt auf das sequentielle Lösen von grossen, tridiagonalen Gleichungssystemen. Die gemachten Betrachtungen liefern einer Python-Routine, welche eine partielle Differentialgleichung vom Black-Scholes Typ zu homogen Dirichlet-Randbedingungen löst. Diese Routine, welche wir auf Stabilität und Konvergenz testen, stellt die prototypische Routine für alle weiteren Bewertungsprobleme in diesem Buch dar.

In diesem Kapitel diskutieren wir einige Erweiterungen der prototypischen Routine des Kapitel 5. Wir lassen zunächst die homogenen Dirichlet-Randbedingungen fallen und diskutieren Probleme mit inhomogenen Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen sowie Differentialgleichungen, die keine Randbedingungen benötigen. Dies führt auf eine verallgemeinerte Version der Python-Routine ``matrixgenerator’’ des Kapitels 4. Dann betrachten wir rekursive Probleme, das heisst Bewertungsprobleme, für welche wir nacheinander n partielle Differentialgleichungen lösen müssen. Zum Beispiel gibt n die Anzahl der Dividendenzahlungen oder die Anzahl der Barrierebeobachtungen während der Laufzeit eines Derivats an. Weiter betrachten wir Differentialgleichungen, deren Koeffizienten nebst des Basiswerts auch noch von der Zeit abhängen. Als Anwendungen hierzu bewerten wir Asiatische Optionen im Black-Scholes Modell und Barriere Optionen im verallgemeinerten CEV Modell. Dann zeigen wir, dass man nicht nur den Preis einer Option, sondern auch deren Griechen als Lösung einer partiellen Differentialgleichung auffassen kann. Als Anwendung davon implementieren wir die Kalibrierung des im Kapitel 1 vorgestellten CEV Modells.

Wir betrachten in diesem Kapitel nochmals Amerikanische Optionen, allerdings erfolgt deren Bewertung nun nicht mehr wie im Kapitel 2 mit Hilfe von Binomialbäumen, sondern via sogenannten linearen Komplementaritätsproblemen (LKP). Ein LKP ist - salopp ausgedrückt - eine partielle Differentialungleichung. Eine Anwendung des Finite-Differenzen-Verfahrens des Kapitel 5 führt auf eine Sequenz von Matrix-LKP. Zur Lösung dieser wenden wir das Newton-Verfahren an; dies führt zum sogenannten Primal-Dual-Active Set Algorithmus, welcher typischerweise um Faktoren schneller ist als der in der Literatur üblicherweise diskutierte Projective-Successive-Overrelaxation Algorithmus. Mit Hilfe des sogenannten freien Randes kann der Investor entscheiden, ob er die Option vorzeitig ausüben möchte. Daher geben die Python-Routinen dieses Kapitels nicht nur den Preis einer Amerikanischen Option aus, sondern auch den freien Rand. Wie schon Europäische Optionen im Kapitel 6 bewerten wir auch Amerikanische Optionen unter Berücksichtigung diskreter Dividenden. Dies führt auf eine Sequenz von LKPs. Zum Abschluss dieses Kapitels betrachten und bewerten wir die einfacheren Bermuda Optionen.

In den folgenden Kapitel erweitern wir das Black-Scholes Modell zu Sprung-Diffusions-Modellen und zu Modellen der stochastischen Volatilität. Diesen Modellen ist gemein, dass ihre Parameter mit Hilfe einer Kalibrierung gefunden werden müssen. Daher betrachten wir in diesem Kapitel nochmals das bereits im Kapitel 1 betrachtete Kalibrierungsproblem. Die dazu benötigten Modellpreise von Europäischen Call und Put Optionen bestimmen wir jedoch nicht mit der Finite-Differenzen-Methode, sondern mit der sogenannten Cos-Methode. Diese setzt die explizite Kenntnis der charakteristischen Funktion des Log-Preis-Prozesses voraus. Wir erklären, wie man diese mit Hilfe des Feynman-Kac Theorems und dem Lösen von Riccati-Gleichungen bestimmen kann. Wir schreiben eine Python-Routine, welche bei Eingabe der charakteristischen Funktion des vorliegenden Modells dieses schnell an Marktdaten kalibriert. Als ein Nebenprodukt der Betrachtungen in diesem Kapitel erhalten wir eine Python-Routine, welche für Modelle mit bekannter charakteristischen Funktion innerhalb von Millisekunden Preise von Europäischen Call und Put Optionen berechnet.

Wir erweitern das Black-Scholes Modell zu Sprung-Diffusions-Modellen. In solchen ist die Bewertungsgleichung eine partielle Integro-Differentialgleichung. Deren Finite-Differenzen-Diskretisierung führt wiederum auf ein System von linearen Gleichungssystemen, allerdings sind die involvierten Matrizen nicht mehr tridiagonal, sondern voll besetzt. Dies führt dazu, dass das im Kapitel 5 entwickelte theta-Verfahren sehr langsam wird. Mit Hilfe eines iterativen Verfahrens kombiniert mit der schnellen Fourier-Transformation können wir den Geschwindigkeitsnachteil gegenüber Diffusionsmodellen jedoch (fast) vollständig ausgleichen. Die gemachten Betrachtungen erweitern wir anschliessend zu reinen Sprungmodellen, insbesondere das Varianz-Gamma Modell und das CGMY Modell. Abschliessend leiten wir die charakteristische Funktion von Sprung-Diffusions-Modellen her und verwenden die im Kapitel 8 entwickelte Kalibrierungs-Routine, um solche Modelle an Marktdaten zu kalibrieren.

In diesem Kapitel betrachten wir Probleme, bei welchen zum Kurs des Basiswerts weitere stochastische Grössen hinzukommen. Beispiele sind “Baskets”, bei welchen mehrere Basiswerte zu Grunde liegen, oder gewisse exotische Optionen wie Asiatische und Lookback Optionen oder Cliquets, bei welchen sich die zusätzlichen Variablen aus mathematischen Funktionen des Basiswertkurses ergeben. Weitere wichtige Beispiele sind Modelle der stochastischen Volatilität, sogenannte SV Modelle. Die resultierenden Bewertungsgleichungen sind partielle Differentialgleichungen mit mindestens zwei Raumdimensionen, deren Finite-Differenzen-Diskretisierung führt wiederum auf lineare Gleichungssysteme. Die dazugehörigen Matrizen sind Summen von Kronecker-Produkten, sehr gross und dünn besetzt. Da weiter die Bandbreite dieser Matrizen gross ist, ist das theta-Verfahren aus dem Kapitel 5 ineffizient. Wir stellen daher das Craig-Sneyd Verfahren als Zeitschrittverfahren vor. Dieses liefert Python-Routinen, mit welchen wir Bewertungsgleichungen mit zwei oder drei Ortsvariablen numerisch lösen können. Als Anwendung dieser Routinen bewerten wir “Baskets”, Asiatische und diverse Lookback Optionen im CEV Modell, Cliquet Optionen im Black-Scholes und Bergomi Modell sowie Optionen in verschiedenen SV Modellen. Das Kapitel schliessen wir über eine Diskussion zur Kalibrierung von SV Modellen ab.

Als Anwendung der in den vorherigen Kapiteln entwickelte Bewertungsmethode betrachten wir die Bewertung von strukturierten Produkten. Insbesondere stellen wir die typischen Kapitalschutz-, Renditeoptimierungs- und Partizipationsprodukte vor und bewerten diese im ein- als auch mehr-dimensionalen Black-Scholes Modell. Einige dieser Produkte beinhalten exotische Optionskomponenten. Zum Beispiel betrachten wir Kapitalschutzprodukte mit Asiatischer oder Cliquet Optionskomponente, oder ein Bonuszertifikat, welchem eine Lockback Option zugrunde liegt. Die Bewertung von Express Zertifikaten und (Auto) Callable Barrier Reverse Convertibles führt auf eine Sequenz von partiellen Differentialgleichungen; ähnliche Sequenzen haben wir aber bereits im Kapitel 6 betrachtet, sodass die Bewertung dieser Produkte keine neue Hürde darstellt. Wir schliessen das Kapitel mit der Berechnung der sogenannten Exit-Wahrscheinlichkeit eines Diffusion-Prozesses. Dies können wir zum Beispiel verwenden, um zu bestimmen, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Aktienkurs innerhalb einer Zeitperiode eine Barriere erreicht.

In diesem Kapitel diskutieren wir die gängigen Zinsmodelle und Zinsderivate, wobei wir uns allerdings auf ‘’short-rate’’ Modelle konzentrieren. Dazu müssen wir zunächst einige Zinssätze definieren; es stellt sich heraus, dass diese via Preise von Zero-Coupon Bonds gegeben sind. Diese Zinssätze sind die Basiswerte für die zu betrachteten Zinsderivate; deren Preise sind – einmal mehr – als Erwartungswerte gegeben. Um diese zu berechnen, verwenden wir ähnlich zur Modellierung von Aktienkursen stochastische Prozesse zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung der zuvor definierten Zinssätze. Wir bewerten unter anderem Rückrufbare Anleihen im Vasicek- und CIR Modell sowie Swaps und Swaptions im G2++ Modell. Zusätzlich beschreiben wir, wie man Zinskurven aus Marktpreisen von Anleihen bestimmen kann. Dies führt wiederum auf ein nicht-lineares Regressionsproblem.

Wir geben eine Einführung in die Berechnung von Ausfallwahrscheinlichkeiten und betrachten dazu sogenannte Struktur- und Intensitätsmodelle. Diese Modelle können an Marktpreise von Credit-Default-Swaps (CDS) kalibriert werden. Wir beschreiben daher die Funktionsweise und die Bewertung dieses Produkts. Der Bewertung der in diesem Kapitel vorgestellten Produkte ist gemein, dass partielle Differentialgleichungen mit zeitabhängigem Gebiet gelöst werden müssen. Mit Hilfe einer geeigneten Variablentransformation können wir diese Bewertungsprobleme auf Differentialgleichungen mit zeitabhängigen Koeffizienten zurückführen, welche wir bereits im Kapitel 6 behandelt haben.

Wir betrachten in diesem Kapitel nochmals die Finite-Differenzen-Diskretisierung von parabolischen Differentialgleichungen. In den vorherigen Kapiteln haben wir eine Diskretisierung implementiert, welche (maximal) quadratisch in der Maschenweite und dem Zeitschritt gegen die exakte Lösung der Differentialgleichung konvergiert. Wir implementieren nun eine Finite-Differenzen-Diskretisierung vierter Ordnung. Damit wir von der höheren Ordnung profitieren können, müssen wir gegenüber dem Verfahren zweiter Ordnung zwei Anpassungen vornehmen. Erstens führen die typischerweise unglatten Payoff dazu, dass ein Finite-Differenzen-Verfahren vierter Ordnung nur mit reduzierter Rate konvergiert; um die volle Konvergenzrate zu erhalten, verdichten wir das Gitter um den Strike herum. Damit zweitens das theta-Verfahren mit der Ordnung der Ortsdiskretisierung mithalten kann, muss die Anzahl der Zeitschritte quadratisch mit der Anzahl der Gitterpunkte wachsen; dies führt auf ein ineffizientes Verfahren. Wir entwickeln daher ein Zeitschrittverfahren vierter Ordnung, welches auf einer sogenannten Padé-Approximation der e-Funktion basiert. Als Anwendung des resultierenden Verfahrens bewerten wir unter anderem Europäische und Bermuda Optionen im Heston Modell und berechnen den Volatilitäts-Smile im SABR Modell.

In diesem letzten Kapitel betrachten wir nochmals Erweiterungen des Black-Scholes Modell, insbesondere sogenannte LV und LSV Modelle. Die Konstruktion der darin vorkommenden lokalen Volatilität aus Marktdaten von Europäischen Call und Put Optionen geschieht über die Dupire-Gleichung und dem parametrischen Ansatz für implizite Totalvarianzen von Gatheral. Als Anwendung bewerten wir unter anderem einen Varianz-Swap. Um in einem LSV Modell die sogenannte “leverage function” zu bestimmen, müssen wir zunächst eine nicht-lineare Kolmogorov Vorwärtsgleichung lösen. Damit wir dies mit dem hier entwickelten Finite-Differenzen-Verfahren tun können, entkoppeln wir die Zeitabhängigkeit geeignet. Anschliessend zeigen wir anhand einer fiktiven Double-Barrier Option auf, dass die in diesem Text diskutierten Modelle sehr unterschiedliche Optionspreise liefern können. Wir schliessen das Kapitel mit der Bewertung von Derivaten im PDV (Path Dependent Volatility) Modell von Hobson und Rogers, welches gegenüber SV und LSV Modellen den Vorteil hat, dass es vollständig ist.