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Erschienen in:

2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

5. Biegeelement

verfasst von : Prof. Dr.-Ing. Markus Merkel, Prof. Dr.-Ing. Andreas Öchsner

Erschienen in: Eindimensionale Finite Elemente

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Mit diesem Element wird die Grundverformung Biegung beschrieben. Zunächst werden einige grundlegende Annahmen für die Modellbildung vorgestellt und das in diesem Kapitel verwendete Element gegenüber anderen Formulierungen abgegrenzt. Die grundlegenden Gleichungen aus der Festigkeitslehre, das heißt die Kinematik, das Gleichgewicht und das Stoffgesetz werden vorgestellt und zur Ableitung der Differentialgleichung der Biegelinie verwendet. Analytische Lösungen schließen den Grundlagenteil ab. Im Anschluss wird das Biegeelement mit den bei der Behandlung mittels der FE-Methode üblichen Definition für Belastungs- und Verformungsgrößen eingeführt. Die Herleitung der Steifigkeitsmatrix erfolgt auch hier mittels verschiedener Methoden und wird ausführlich beschrieben. Neben dem einfachen, prismatischen Balken mit konstantem Querschnitt und Belastung an den Knoten werden auch veränderliche Querschnitte, verallgemeinerte Belastungen zwischen den Knoten und Orientierung in der Ebene und dem Raum analysiert.

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Genauer gesagt handelt es sich hier um die neutrale Faser oder um die Biegelinie.

Somit bleiben zum Beispiel bei einem Rechteckquerschnitt die Breite \(b\) und die Höhe \(h\) unverändert.

Vergleiche hierzu die Ausführungen in Kap. 8.

Die Summe aller Punkte mit \(\sigma=0\) entlang der Balkenachse bezeichnet man als neutrale Faser.

Wird die \(y\)-Achse nach unten eingeführt, ergeben sich die gleichen Gleichungen. Alternativ findet man auch in der Literatur die Ableitung anhand der \(x\)-\(z\)-Ebene. Siehe hierzu Tab. 5.5.

Man beachte, dass nach Voraussetzung beim Bernoulli-Balken die Länge 01 und \(0^{\prime}1^{\prime}\) unverändert bleibt.

Das positive Schnittufer ist dadurch definiert, dass die Flächennormale auf der Schnittebene die gleiche Orientierung wie die positive \(x\)-Achse aufweist. Zu beachten ist hierbei, dass die Flächennormale immer nach außen gerichtet ist. Beim negativen Schnittufer sind die Flächennormale und die positive \(x\)-Achse antiparallel orientiert.

Wird die Achse mit der rechten Hand so „umfasst“, dass der abgespreizte Daumen in Richtung der positiven Achse zeigt, so zeigen die gekrümmten Finger die Richtung des positiven Drehsinns an.

Nur für den Fall, dass ein äußeres Moment \(M^{\mathrm{ext}}\) an der Stelle \(x=L\) angreifen würde, ergäbe sich das Schnittmoment zu: \(M_{z}(x=L)=M^{\mathrm{ext}}\). Hierbei wurde angenommen, dass das äußere Moment \(M^{\mathrm{ext}}\) im mathematischen Sinn positiv orientiert wäre.

Alternativ wird auch die Bezeichnung Interpolationsfunktion verwendet.

Im allgemeinen dreidimensionalen Fall kann man die Form \(\Pi_{\mathrm{int}}=\frac{1}{2}\int_{\Omega}\boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\sigma}\mathrm{d}\Omega\) ansetzen, wobei \(\boldsymbol{\sigma}\) und \(\boldsymbol{\varepsilon}\) die Spaltenmatrix mit den Spannungs- und Verzerrungskomponenten darstellt.

Das Prinzip der virtuellen Arbeit umfaßt das Prinzip der virtuellen Verrückungen (Verschiebungen) und das Prinzip der virtuellen Kräfte [16].

Die Sätze von Castigliano wurden von dem italienischen Baumeister, Ingenieur und Wissenschaftler Carlo Alberto Castigliano (1847–1884) formuliert. Der zweite Satz besagt: Die partielle Ableitung der in einem linear-elastischen Körper gespeicherten Verzerrungsenergie nach der Verschiebung \(u_{i}\) ergibt die Kraft \(F_{i}\) in Richtung der Verschiebung an der betrachteten Stelle. Ein analoger Zusammenhang gilt auch für die Verdrehung und das Moment.

Eine übliche Darstellung der partiellen Integration zweier Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) ist: \(\int f^{\prime}g\mathrm{d}x=fg-\int fg^{\prime}\mathrm{d}x\).

Vergleiche Abschn. 5.2.2 mit den Ausführungen zu den Schnittreaktionen und äußeren Lasten.

Man beachte die Vorzeichen: Somit haben die virtuellen Verschiebungen die Richtung der eingeprägten, äußeren Belastung.

Man siehe dazu auch Tab. 5.5 und weiterführende Aufgabe 5.6.

Treten Einzellasten zwischen Knoten auf, kann natürlich immer die Diskretisierung weiter unterteilt werden, so dass an der Stelle des Lastangriffspunktes ein neuer Knoten platziert wird. In diesem Kapitel soll jedoch der Fall betrachtet werden, dass das Netz nicht weiter unterteilt wird.

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Titel: Biegeelement
verfasst von: Prof. Dr.-Ing. Markus Merkel
Prof. Dr.-Ing. Andreas Öchsner
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Eindimensionale Finite Elemente
Print ISBN: 978-3-662-57993-0

Electronic ISBN: 978-3-662-57994-7

Copyright-Jahr: 2020
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-57994-7_5

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