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Über dieses Buch

Renate Motzer führt in die Welt der Brüche ein und bringt sie in Verbindung mit Dezimalzahlen. Sie zeigt anschaulich, dass Brüche als Anteile eines Ganzen verstanden werden können, aber auch als Verhältnisse von zwei Größen. Die Autorin zeigt verständlich auf, warum Wurzeln nicht exakt durch Brüche angegeben werden können, wie man gute Näherungen findet und warum eine ungewöhnliche Bruchaddition zu paradoxen Ergebnissen führen kann. Weiterhin erläutert sie praxisnah die Anwendung von Brüchen beim Prozentrechnen und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und geht schließlich auf verschiedene Möglichkeiten ein, Mittelwerte zu bilden.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Die Beschäftigung mit Brüchen bringt immer auch einen Bruch mit bisherigen Zahlenvorstellungen mit sich. Ganze Zahlen haben eine eindeutige Darstellung. Jede Ziffernkonstellation steht für genau eine Zahl.

Renate Motzer

Kapitel 2. Was sind (gewöhnliche) Brüche?

Viele würden sagen, es sind Zahlen, die man mit einem Bruchstrich schreibt, oben der Zähler, unten der Nenner. Das ist schon mal das Wesentlichste. Meistens denkt man an positive Zahlen, also dass Zähler und Nenner positive ganze Zahlen sind, d. h. natürliche Zahlen.

Renate Motzer

Kapitel 3. Brüche als Anteile von einem Ganzen

Doch was soll man sich nun unter einem Bruch oder unter einer Bruchzahl vorstellen? Bei gewöhnlichen Brüchen denkt man meist als an Anteile von Stückgrößen oder von anderen Größen. Aufgefordert Anteile von Stückgrößen darzustellen könnte man zu Skizzen wie in Abb. 3.1.

Renate Motzer

Kapitel 4. Brüche als Verhältnisse

Neben dem Größen- und dem Operatoraspekt (einen Anteil von etwas zu betrachten) ist der Verhältnisaspekt die dritte wichtige Grundvorstellung zum Bruchrechnen. Hier gibt es kein von vorn herein eindeutiges Ganzes, mit dem man alle auftretenden Brüchen (einschließlich des Ergebnisses einer Rechnung) in Beziehung setzt. Brüche als Verhältnisse spielen daher erst später in der Schule eine Rolle, etwa bei der Behandlung der Proportionalität (doppelter Preis für die doppelte Menge und ähnliches).

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Kapitel 5. Ordnen von Brüchen

Das Ordnen von Brüchen wurde schon beim Vergleich der Steigungen angesprochen. Für Brüche mit positivem Nenner und Zähler gilt: $$\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$$ genau dann, wenn ad < bc. Diese kann durch Bringen auf den Hauptnenner und anschließendes Vergleichen der Zähler erkannt werden oder indem man die Ungleichung mit dem Hauptnenner $$(b \cdot d)$$ durchmultipliziert.

Renate Motzer

Kapitel 6. Dezimalbrüche

Vielen Menschen sind Dezimalbrüche vertrauter als gewöhnliche Brüche. Kommazahlen kommen im Alltag häufiger vor, bei Preisen mit zwei Kommastellen im Grunde ständig. Kommazahlen haben gegenüber gewöhnlichen Brüchen den Vorteil, dass man sie im Stellenwertsystem darstellen und damit auch viel leichter der Größe nach ordnen kann (vgl. Abb. 6.1).

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Kapitel 7. Prozentrechnen

Neben gewöhnlichen Brüchen und Dezimalbrüchen begegnet man im Alltag häufig Prozentangaben. Preisnachlässe werden im Schaufenster meist durch große Prozentzeichen angedeutet – und das Unterbewusstsein ist sofort begeistert von einem möglichen Schnäppchen.

Renate Motzer

Kapitel 8. Irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen sind uns in diesem Büchlein schon mehrmals begegnet, allerdings nur am Rand. Wir haben beispielsweise festgestellt, dass Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, keine Brüche sein können. Wenn man einen Bruch nicht mehr kürzen kann, kann man sein Quadrat auch nicht kürzen (vgl. Abschn. 6.1).

Renate Motzer

Kapitel 9. Wahrscheinlichkeiten

„Wahrscheinlichkeit hat immer etwas mit Ungewissheit zu tun“ (Büchter und Henn 2004, S. 133). Je größer man eine Wahrscheinlichkeit angibt, desto gewisser scheint man sich zu sein.

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Kapitel 10. Verschiedene Mittelwerte

Meistens denkt man bei Mittelwerten an das arithmetische Mittel zwischen zwei Zahlen. Bei 1 und 2 würde man 1,5 als Mittelwert betrachten. Bei beliebigen Zahlen a und b den Wert $$\frac{1}{2}\left( {a + b} \right)$$.

Renate Motzer

Kapitel 11. Schluss

Insgesamt hoffe ich, dass Sie in diesem Buch gesehen haben: es kann zwar immer wieder sein, dass man sich im Leben mit Brüchen beschäftigen muss (und manchmal wird es sogar irrational). Aber wenn man hinschaut, kann man die Verhältnisse doch wieder ordnen und findet vielleicht eine harmonische Mitte.

Renate Motzer

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