Brückenkurs Mathematik für den Studieneinstieg

Frontmatter

Kapitel 1. Algebra-Grundwissen

Zusammenfassung

Dieses Kapitel richtet sich an diejenigen unter Ihnen, die noch einmal einige grundlegende Regeln, Fertigkeiten oder Kenntnisse aus der Mittelstufe wiederholen möchten. Dabei geht es im Wesentlichen um Teilbereiche der Algebra, im Schwerpunkt um Zahlenbereiche, grundlegende Rechenregeln, Terme, Termumformungen, Bruchrechnung, Binomische Formeln und ihre Verallgemeinerung, Potenz-, Wurzel- und Logarithmusgesetze sowie um das Summen- und Produktzeichen.

Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 2. Beweisverfahren

Zusammenfassung

Mathematik lebt davon, dass ihre Aussagen sich einem Beweis unterziehen müssen, um als mathematische Sätze Gültigkeit zu erlangen. Dabei reicht es nicht aus, sich einige Beispiele anzuschauen und dann von der Richtigkeit dieser Beispiele auf die Allgemeingültigkeit der Aussage zu schließen. In der Schulmathematik begnügt man sich häufig damit, einige Spezialfälle behandelt zu haben und daraus auf einen allgemeinen Zusammenhang zu schließen.

Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 3. Aussagenlogik und Mengenlehre

Zusammenfassung

In diesem Kapitel sollen zunächst einige Grundbegriffe und Grundregeln der Aussagenlogik formuliert werden, da ein grundlegendes mathematisches Verständnis darauf beruht. Im Anschluss betrachten wir einige wesentliche Grundbegriffe der Mengenlehre, die ebenfalls für das Verständnis vieler mathematischer Zusammenhänge notwendig sind. Des Weiteren bilden diese Grundbegriffe die Grundlage für das Verständnis der mathematischen Fachsprache, deren Kenntnis an der Hochschule vorausgesetzt wird.

Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 4. Abbildungen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Ihnen einige aus dem Schulunterricht bekannte Begriffe in anderem Gewand präsentiert, z. B. der Funktionsbegriff. Insbesondere werden wir diesen Begriff auf ein sicheres mathematisches Fundament stellen. Dabei spielen die in Abschn. 2.2 formulierten mengentheoretischen Begriffe eine wichtige Rolle.

Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 5. Gleichungen und Ungleichungen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir verschiedene Gleichungstypen behandeln, mit denen man in der Schule nur am Rande in Berührung kommt. Es handelt sich um Betragsgleichungen, Bruchgleichungen und Wurzelgleichungen. Wir werden zeigen, dass man diese Gleichungen häufig auf einfachere Gleichungen wie lineare oder quadratische Gleichungen zurückführen kann.

Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 6. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

Bisher haben wir immer nur mit reellen Zahlen (ℝ) gearbeitet. In Ihrer bisherigen Schullaufbahn sind Sie auch nur mit diesen Zahlen in Berührung gekommen, Sie haben allenfalls Spezialfälle wie natürliche Zahlen (ℕ), ganze Zahlen (ℤ) oder rationale (ℚ) und irrationale Zahlen (ℝ \ ℚ) kennengelernt (siehe Abschn. 0.1 und Abb. 0.1).

Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 7. Folgen und Reihen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel legen wir die Grundlagen für das Verständnis des für die Analysis so wichtigen Grenzwertbegriffs. In den Lehrplänen für die gymnasiale Oberstufe wird dieser Begriff nur noch rudimentär behandelt, was der Möglichkeit eines grundlegenden Verständnisses zuwiderläuft. Auf diese Art wird nur noch ein grundlegend intuitiver Umgang mit diesem Begriff vermittelt, ohne dass das mathematische Fundament dahinter begriffen werden kann. Wir wollen hier den Grenzwert spezieller Funktionen, den so genannten Zahlenfolgen, behandeln, um in Kap. 7 diesen Grenzwertbegriff auf allgemeine Funktionen zu übertragen.

Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 8. Grenzwerte und Stetigkeit bei Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir den in Kap. 6 eingeführten Grenzwertbegriff für Folgen auf Funktionen übertragen. Zudem werden wir verschiedene Funktionen hinsichtlich ihrer Stetigkeit an einer bestimmten Stelle untersuchen. Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn der Grenzwert an dieser Stelle existiert und mit dem Funktionswert übereinstimmt.

Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 9. Differentialrechnung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel soll es darum gehen, das Schulwissen um den Begriff der Ableitung einer Funktion auf eine solide mathematische Grundlage zu stellen, die den Bedürfnissen der Hochschulen gerecht wird. Wir werden insbesondere unsere Kenntnisse über Grenzwerte bei Funktionen aus Kap. 7 nutzen, um in den Kern des Begriffes Differenzierbarkeit vorzudringen. Beginnen wollen wir mit dem klassischen Tangentenproblem.

Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 10. Integralrechnung

Zusammenfassung

In der Oberstufe haben Sie sich mit der Integralrechnung beschäftigt. Sie haben vermutlich verschiedene Zugänge zu ihr kennengelernt. Ein klassischer Zugang funktioniert über die Flächenberechnung krummlinig berandeter Flächen mittels Oberund Untersummen, deren gemeinsamer Grenzwert als bestimmtes Integral bezeichnet wird.

Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Dieses Kapitel soll Ihnen eine Einführung in den Gebrauch einer in den Natur- und Ingenieurwissenschaften sehr wichtigen Klasse von Gleichungen geben, den gewöhnlichen Differentialgleichungen. Hierbei handelt es sich um Gleichungen, die einen Zusammenhang zwischen Ableitungen einer Funktion und der Funktion selbst herstellen. Am Wort „Gebrauch“ erkennen Sie schon, dass es uns hier nicht so sehr um die theoretischen Grundlagen als vielmehr um die Lösungen solcher Gleichungen geht.

Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 12. Taylorreihen und Polynomapproximationen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wollen wir die Differentialrechnung anwenden um einige wichtige Funktionen durch Näherungspolynome zu approximieren.

Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 13. Vektoren

Zusammenfassung

In diesen letzten beiden Kapiteln des Buches wollen wir einige Grundbegriffe und Verfahren der linearen Algebra kennenlernen. Als erstes führen wir den Begriff des Vektors ein, der bereits in der gymnasialen Oberstufe im Rahmen der so genannten analytischen Geometrie eine fundamentale Rolle spielt. Dort wird ein Vektor als eine Klasse gleichlanger, gleichgerichteter und paralleler Pfeile eingeführt.

Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 14. Matrizen und lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Wir definieren zunächst den zentralen Begriff dieses Kapitels.

Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 15. Lösungen: Algebra-Grundwissen

Zusammenfassung

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Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 16. Lösungen: Beweisverfahren

Zusammenfassung

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Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 17. Lösungen: Aussagenlogik und Mengenlehre

Zusammenfassung

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Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 18. Lösungen: Abbildungen

Zusammenfassung

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Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 19. Lösungen: Gleichungen und Ungleichungen

Zusammenfassung

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Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 20. Lösungen: Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

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Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 21. Lösungen: Folgen und Reihen

Zusammenfassung

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Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 22. Lösungen: Grenzwerte und Stetigkeit bei Funktionen

Zusammenfassung

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Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 23. Lösungen: Differentialrechnung

Zusammenfassung

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Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 24. Lösungen: Integralrechnung

Zusammenfassung

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Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 25. Lösungen: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zusammenfassung

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Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 26. Lösungen: Taylorreihen und Polynomapproximationen

Zusammenfassung

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Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

Kapitel 27. Lösungen: Vektoren

Zusammenfassung

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Kapitel 28. Lösungen: Matrizen und lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung

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Sabrina Proß, Thorsten Imkamp

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