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Über dieses Buch

Dieses Buch wird alle Liebhaber der Mathematik (und die es werden wollen) durch eine Fülle von reizvollen und unterhaltsamen Problemstellungen aus Algebra, Geometrie, Kombinatorik und Zahlentheorie begeistern. Ausgewählte Aufgaben aus 45 Jahren Bundeswettbewerb Mathematik werden mit ausführlichen Lösungen, Hintergrundinformation und inhaltlichen Variationen reich illustriert präsentiert.

Von der Mathematik geht für Viele seit jeher eine besondere Faszination aus. Wer tiefer in sie eindringt entdeckt ihre Schönheit, ihre Eleganz und ihre Vielfalt und stößt immer wieder auf überraschende Resultate. Hiervon bereits Schülerinnen und Schülern etwas nahe zu bringen, ist eines der Anliegen des Bundeswettbewerbs Mathematik. Mit seinen außergewöhnlichen Aufgaben regt er seit 46 Jahren Jugendliche an, sich eine Zeit lang intensiv mit Mathematik zu beschäftigen und Erfahrungen im Problemlösen zu sammeln.

Anhand von ausgewählten, in den Augen des Aufgabenausschusses besonders gelungenen Aufgaben dokumentiert dieses Buch die Vielfalt der Aufgabenstellungen und beleuchtet ihren jeweiligen mathematischen Hintergrund. Darüber hinaus sind hier zum ersten Mal alle Aufgaben, die seit dem ersten Lauf des Bundeswettbewerbs Mathematik im Schuljahr 1970/71 gestellt wurden, komplett versammelt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Teil I - Die schönsten Aufgaben

Frontmatter

Die Erste

Die erste gestellte Aufgabe in der Geschichte des Bundeswettbewerbs Mathematik ist ein kleines Zahlenspiel, in dem die Jahreszahl des Wettbewerbs eine Rolle spielt. Der Beitrag verfolgt neben der Lösung des Problems mit Hilfe des Invarianzprinzips vor allem das Ziel, ein Beispiel zu geben, wie man einen Beweis findet. Das beschäftigt interessierte Schüler ja immer am meisten: „Wie soll man denn darauf kommen?“ Denn ein eleganter Beweis kondensiert in der Regel einen Denkprozess, der ganz anders gelaufen ist, als der aufgeschriebene Beweistext vermuten lässt. Das wird hier vorgeführt. Das Prinzip „be wise – generalize“ kommt ebenfalls zum Tragen, da die gestellte Aussage in verallgemeinerter Form gelöst wird und auf den Spezialfall für die Jahreszahl 1970 herunter gebrochen wird.

Cornelia Wissemann-Hartmann

Plattenlegen I

In diesem Beitrag wird eine Aufgabe der 2. Runde aus den Anfangsjahren des Bundeswettbewerbs Mathematik vorgestellt, die sich mit rechteckigen Schiebepuzzeln befasst. Mit Hilfe geeigneter Muster bzw. Färbungen und der Idee Invarianten zu betrachten, gelingt ein kurzer Beweis der vorgelegten Aussage. Es wird hierbei nicht nur zielstrebig die „Gewinner-Idee“ präsentiert, sondern auch nahe liegende Lösungsversuche vorgestellt, die – obwohl nicht erfolgreich – dennoch lehrreich sind und zu weiteren Überlegungen anregen.

Eckard Specht

Einbahnwege im Vieleck

In diesem Beitrag wird die vierte Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 1973 vorgestellt. Dabei geht es um Wege entlang der mit Pfeilen zu versehenden Seiten und Diagonalen eines Vielecks. Die vorgestellten drei Lösungsvarianten nutzen kombinatorische und geometrische Aspekte. Abschließend wird ein Ausblick auf eine graphentheoretische Sichtweise der Aufgabe gegeben.

Robert Strich

Fahrt mit strenger Abbiegeregel

In Sikinien, wo es nur endlich viele Städte gibt, gehen von jeder Stadt drei Straßen aus, von denen jede wieder zu einer sikinischen Stadt führt. Ein Tourist startet von irgendeiner Stadt A aus und biegt in jeder folgenden Stadt abwechselnd einmal nach links und dann nach rechts ab. Erstaunt stellt er fest, dass er wieder in die Stadt A kommt. Dieser überraschende Effekt wird nicht nur auf verschiedene Weise bewiesen, sondern wir erfahren auch einen näheren Einblick in die möglichen Strukturen solcher Fahrten in unterschiedlichen sikinischen Ländern.

Erhard Quaisser

Eine Zahl beschreibt sich selbst

Der Beitrag befasst sich mit einer Aufgabe über natürliche Zahlen, deren Ziffern zugleich Anzahlen von Ziffern bedeuten. Neben einer vollständigen Lösung und einer Hinführung zu den wesentlichen Lösungsgedanken werden Verallgemeinerungen betrachtet. Darüber hinaus wird die Geschichte des vorliegenden Motivs bei mathematischen Schülerwettbewerben und Fachzeitschriften dargestellt.

Horst Sewerin

Eine unscheinbare Bedingung

Die schlichte Bedingung, dass in einem Dreieck die Summe der Seitenlängen a und b gleich dem Doppelten der Länge c der dritten Seite ist, hat überraschend zur Folge, dass die Verbindungsstrecke von Schwerpunkt und Inkreismittelpunkt parallel zu einer Dreieckseite verläuft, nämlich zu der Seite mit der Länge c. Die Aufgabenstellung ist bereits nach üblichen elementaren Unterweisungen aus dem Geometrieunterricht verständlich. Der Reiz und die Schönheit der Problemstellung erwachsen in dem Bemühen, sie zu lösen. Es eröffnen sich zunehmend viele (auch recht elementare) Möglichkeiten zum Beweis und interessante Einsichten. Eine Übersicht über derartige Dreiecke gewinnt man auch durch die Gärtnerkonstruktion von Ellipsen.

Erhard Quaisser

Plattenlegen II

Dieses Kapitel behandelt die dritte Aufgabe der 1. Runde im Bundeswettbewerb Mathematik 1981, ein Pflasterungsproblem, das sich mit einem Färbungstrick lösen lässt, und führt uns zu Überlegungen über Induktionsbeweise, Färbungsbeweise, den Unterschied zwischen Wettbewerbsaufgaben und Forschungsproblemen, und zu der Frage, warum wir uns (und anderen) immer wieder und immer noch etwas beweisen müssen.

Günter M. Ziegler

Kreise dominieren Geraden

Jede bijektive Abbildung der Ebene, die Kreislinien auf Kreislinien abbildet, bildet auch Geraden auf Geraden ab – das behauptete die zweite Aufgabe der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 1981. Damit lassen sich diese Abbildungen mit Mitteln der affinen Geometrie klassifizieren: es sind genau die Ähnlichkeitsabbildungen.

Eric Müller

Schattenspiele

Dieser Beitrag behandelt eine Fragestellung aus der 2. Runde des Jahres 1982, die mit einem einzigen kurzen Satz formuliert ist: Können beliebige Dreiecke im Raum einen gleichseitigen dreieckigen Schatten werfen? Die Antwort ergibt sich auf rein algebraischem Wege durch Lösung einer biquadratischen Gleichung, was mit Mitteln der Schulmathematik durchaus zu schaffen ist. Ein Tipp, wo man das Resultat „experimentell“ überprüfen kann, wird gegeben.

Eckard Specht

Fußbälle als Polyeder

Um Fußbälle geht es in einer vermeintlich leichten Einstiegsaufgabe (erste Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 1983). Ausgehend von kombinatorischen Überlegungen zu den Anzahlen von Seiten, Kanten und Ecken von Polyedern wird die Lösungsidee entwickelt, die schließlich auf unendlich viele Lösungen führt. Der Beitrag stellt die ansehnlich illustrierten archimedischen Körper vor und endet mit der Präsentation eines „Mega-Fußballs“, dessen Konstruktion echte Forschungsarbeit beinhaltete. Zahlreiche Literaturhinweise ermöglichen es, bereits als Schüler oder Schülerin tiefer in die teils unerforschte Welt der Polytope vorzudringen.

Eckard Specht

Der Wurm und die Halbkreisscheibe

Bei der vierten Aufgabe der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 1990, die mehrheitlich als die schönste aller jemals gestellten Aufgaben beurteilt worden ist, war zu zeigen, dass man jeden Wurm der Länge 1 in der Ebene mit einer Halbkreisscheibe mit dem Durchmesser 1 zudecken kann. Der Beitrag stellt einen kurzen Beweis dieser Aussage mit Hilfe des Spiegelungsprinzips vor und schlägt eine Brücke zu verwandten Problemen, u. a. dem ungelösten Wurmproblem von Leo Moser, und enthält eine entsprechende Aussage für Würmer im Raum.

Eric Müller

Ich weiß, dass ich nichts weiß

In dem Beitrag wird eine sehr ungewöhnliche Wettbewerbsaufgabe vorgestellt. In ihr sollen zwei Spieler die gedachte Zahl des anderen erraten, ohne dass scheinbar eine vernünftige Information zugrunde liegt. Die Situation wird ausführlich analysiert und daraus eine vollständige Lösung in Form eines indirekten Beweises mit vollständiger Induktion entwickelt.

Horst Sewerin

Kippspuren

Ein regelmäßiges Tetraeder mit einer schwarzen und drei weißen Flächen steht mit seiner schwarzen Fläche auf einer Ebene. Es wird über je eine seiner Kanten gekippt. Schließlich nimmt es wieder den ursprünglichen Platz in der Ebene ein. Kann es dann auf einer seiner weißen Flächen stehen? Nein, mehr noch, das Tetraeder nimmt die gleiche räumliche Lage wie zu Beginn der Kippungen ein. Kippspuren werden überdies bei den weiteren vier regelmäßigen Polyedern verfolgt, auch hier mit überraschenden Einsichten, u. a. über ebene Muster, die bei den Kippungen entstehen.

Erhard Quaisser

Vielfältige Wege

Der besondere Reiz der vorgelegten Aufgabe in der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 1998 besteht darin, dass man die unterschiedlichsten Sachverhalte sowie Mittel und Methoden bis hin zu komplexen Zahlen – insbesondere aus der Elementargeometrie – zum Beweisen nutzen kann. Die Darlegungen möchten einen solchen Spielraum aufzeigen. Dabei stehen Bereitstellungen aus der Schulgeometrie im Vordergrund. Insbesondere sieht man, wie nützlich man Bewegungen als Beweismittel und -methode einsetzen kann, und man lernt spezielle Sätze wie die von Thébault und von van Aubel kennen.

Erhard Quaisser

Mehr Seitenflächen als Ecken

In der dem Beitrag zugrunde liegenden Aufgabe geht es um spezielle konvexe Polyeder und die Bestimmung der Minimalzahl ihrer dreieckigen Seitenflächen. Neben der vollständigen Lösung dieser Aufgabe bietet der Beitrag einen kleinen Streifzug durch die regulären Polyeder und andere konvexe Deltaeder. Ein Ausschnitt der räumlichen Geometrie wird so auf Schulniveau handlungsorientiert erfahrbar.

Horst Sewerin

Ein besonderes Spielbrett

In diesem Abschnitt wird die vierte Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2000 vorgestellt. Dabei werden Spielsteine auf den Sektoren eines kreisförmigen Spielbretts nach einer fest vorgegebenen Regel gesetzt bzw. entfernt und es soll untersucht werden, unter welcher Bedingung an die Gesamtzahl der Sektoren aus einem anfangs nur mit einem Spielstein besetzten Brett ein leeres Brett erzeugt werden kann. Bei der vorgestellten Lösung wird das Invarianzprinzip in einer interessanten Variante angewandt.

Robert Strich

Wie beliebt sind Endziffern bei Teilern?

In der vierten Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2001 war zu zeigen, dass jede natürliche Zahl mindestens so viele Teiler mit der Endziffer 1 oder 9 wie Teiler mit den Endziffern 3 oder 7 hat. Der Artikel beweist daneben eine entsprechende Aussage bezüglich der Endziffern 2, 8, 4, 6 und bestimmt allgemeiner – zunächst experimentell computerunterstützt und dann durch Beweise, wie häufig Teiler mit gewisser Endziffer unter den Teilern einer natürlichen Zahl durchschnittlich vorkommen. Die Beweise enthalten zum Teil ungewöhnliche und interessante Anwendungen höherer Hilfsmittel wie der Potenzreihe für den natürlichen Logarithmus und dem Satz von Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Folgen.

Eric Müller

Taubenschläge und andere Kisten

Ein Färbungsproblem der Eckpunkte eines regelmäßigen 100-Ecks ist der Inhalt der ersten Aufgabe der 2. Runde von 2001. Der Artikel beleuchtet und variiert zunächst die Situation und stellt das Schubfachprinzip vor, das in der Kombinatorik häufig Anwendung findet. Eine drehbare Folie mit farbigen Punkten, die die Symmetrie des n-Ecks ausschöpft, wird nun als Beweismittel genutzt, um das Schubfachprinzip anzuwenden. Abschließend wird eine Verallgemeinerung der Aussage bewiesen, die die Ideen zusammenfasst, die bei der Exploration gefunden wurden.

Cornelia Wissemann-Hartmann

Ein besonderer Zusammenhang

In der anspruchsvollen vierten Aufgabe der 2. Runde im Bundeswettbewerb Mathematik 2002 geht es um eine wechselseitige Bedingung spezieller Lagen des Inkreismittelpunktes und des Umkreismittelpunktes eines Dreiecks. Ein übersichtlicher Beweis wird über eine Kette von äquivalenten Aussagen über Seitenlängen, Flächeninhalte und Winkelgrößen geführt, die auch ein eigenständiges Interesse beanspruchen. Es dominiert der Gebrauch von Mitteln und Methoden aus der Trigonometrie. Am Ende wird ein bemerkenswerter und kurzer Beweis mit trilinearen Koordinaten geführt.

Erhard Quaisser

Spiele mit Parkettierungen

Die dritte Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2004, die zwanzigste der Schönsten, stellt das Problem, zwei kongruente regelmäßige Sechsecke so in sechs Teile zu zerschneiden, dass man aus ihnen ein gleichseitiges Dreieck zusammensetzen kann – ein klassisches Zerschneidungsproblem. Die Fragestellung gibt Anlass, über platonische Parkettierungen der Ebene nachzudenken. Ein Ausflug in die Welt der Kunst zu den Metamorphosen von M. C. Escher darf da nicht fehlen. Mit elementargeometrischen Mitteln wird recht leicht eine passende Zerschneidung gefunden. Weitere Zerschneidungen werden vorgestellt, und es wird dazu aufgefordert, neue zu finden, die dann auf der Internetseite des Bundeswettbewerbs veröffentlicht würden. Den Abschluss des Beitrags bilden eine Verallgemeinerung auf andere allgemeinere Vielecke und eine theoretische Einbettung. Eine wirklich schöne Geometrie-Aufgabe mit vielen Bezügen!

Cornelia Wissemann-Hartmann

Verfolgungsjagd

Zwei Spieler stellen je einen Spielstein auf unterschiedlich gefärbte Ecken eines Schachbretts und dürfen dann abwechselnd um jeweils ein Feld (nicht diagonal) ziehen. Obwohl sich beide Spielsteine „gleich schnell“ bewegen, kann der Erste den Zweiten einholen und schlagen. Diese Aussage der ersten Aufgabe der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 wird bewiesen und auf beliebige Spielbretter aus Einheitsquadraten verallgemeinert, die mit den angegebenen Zügen durchwandert werden können. Es wird gezeigt, dass der erste Spieler den Zweiten genau dann einholen kann, wenn das Spielbrett aus endlich vielen Einheitsquadraten besteht und keine mit den angegebenen Zügen umwanderbaren Löcher hat.

Eric Müller

Pythagorasverdächtig

Die Gleichung a2 + b2 = c2, der Satz des Pythagoras in einem beim Eckpunkt C rechtwinkligen Dreieck, ist eine der bekanntesten Gleichungen in der Mathematik. Weniger verbreitet ist wohl die Tatsache, dass die Abwandlung zu a2 + b2 < c2 eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, dass der Winkel bei Eckpunkt C größer als 90° ist. Welche Eigenschaften hat ein Dreieck ABC, wenn man diese Bedingung weiter verändert zu a2 + b2 < 5c2? Die dritte Aufgabe der 1. Runde 2006 des Bundeswettbewerbs Mathematik beschäftigt sich mit eben diesem Thema.

Karl Fegert

Schwarz-weißes Roulette

In der ersten Aufgabe der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2006 werden gewisse Nummerierungen von schwarzen und weißen Sektoren in einem Kreis untersucht. Dieser Beitrag beginnt mit der Lösung dieser Aufgabe und behandelt anschließend eine Verallgemeinerung auf den unendlichen Fall. Dabei kommen Grenzwertphänomene und eine Intervallschachtelung vor.

Lisa Sauermann, Eric Müller

Ziffernreduzierte Zahlen

In diesem Beitrag geht es um die vierte Aufgabe der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2006. Dabei soll der Wert der Summe von endlich vielen verschiedenen Stammbrüchen, deren Nenner jeweils mindestens eine der zehn möglichen Ziffern nicht enthalten, abgeschätzt werden. Je nach der gewählten Vorgehensweise gelingen dabei beachtliche Erkenntnisse über die auf diese Weise „ausgedünnte“ harmonische Reihe. Insbesondere werden zwei Möglichkeiten aufgezeigt, wie man die kleinstmögliche obere Schranke aller derartiger Summen beliebig genau bestimmen kann.

Robert Strich, Eric Müller

Zahlenverteilung gesucht

In jeder englischen Kneipe hängt ein Dartboard – ein Kreis, der in 20 Sektoren aufgeteilt ist, die mit den Zahlen von 1 bis 20 beschriftet sind. Die Verteilung der Zahlen scheint dabei nicht besonders ausgewogen: die Summe der Zahlen in drei aufeinander folgenden Sektoren schwankt zwischen 39 und 22. Geht das gleichmäßiger? Dieses Motiv wird in der ersten Aufgabe der 1. Runde 2007 des Bundeswettbewerbs Mathematik aufgegriffen: Für ein Dartboard mit 4014 Sektoren wird eine Verteilung der Zahlen 1, 2, ..., 4014 gesucht, bei der diese Summen alle den gleichen Wert annehmen sollen. Dabei wird allerdings zur Beschreibung der Problemstellung nicht eine Aufteilung eines Kreises in 4014 Sektoren gewählt, sondern – passend zur Jahreszahl – ein 2017-Eck, bei dem die Ecken und die Seitenmitten mit Zahlen beschriftet werden.

Karl Fegert

Uhrige Dreiecke

Dieser Beitrag widmet sich der vierten Aufgabe der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2007. In dieser recht schwierigen, aber sehr interessanten Aufgabe geht es um Nummerierungen der Gitterpunkte eines in Dreiecke unterteilten Sechsecks und die jeweilige Anzahl an Dreiecken mit einer gewissen Uhrzeigersinn-Eigenschaft. Nach der Lösung der Aufgabe mithilfe doppelten Abzählens werden verschiedene Verallgemeinerungen und verwandte Aussagen diskutiert. Dabei wird unter anderem auf die eulersche Polyederformel und den Satz von Pick eingegangen.

Lisa Sauermann

Harmonische Partitionen

In der zweiten Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2008 war verlangt, diese Jahreszahl als Summe natürlicher Zahlen zu schreiben, deren Kehrwerte die Summe 1 haben. Hierfür gibt es sehr viele Herangehensweisen, was diese Aufgabe attraktiv macht. Der Beitrag stellt einige Möglichkeiten vor, gezielt solche Summanden zu finden, schätzt die Anzahl der Summanden ab und untersucht auch, für welche Zahlen eine derartige Summendarstellung überhaupt möglich ist (auch mit lauter unterschiedlichen Summanden und anderen ganzzahligen Summen der Kehrwerte).

Eric Müller

Schachbrettartige Zerlegung der Kugelfläche

Dieser Beitrag greift eine Aufgabe aus dem Jahr 2008 des Bundeswettbewerbs Mathematik auf (dritte Aufgabe der 2. Runde), der das Bild auf dem Buchtitel entstammt. Er beschäftigt sich mit einer schachbrettartigen Färbung von acht unsymmetrischen Gebieten auf der Kugeloberfläche. Durch den Trick einer erzwungenen Symmetrisierung des Problems, wodurch die Anzahl der zu betrachtenden Gebiete zwar auf 26 steigt, wird eine Lösung der Aufgabe jedoch überraschend augenfällig. In einem Exkurs wird das Verfahren der „Monte-Carlo-Integration“ als eine computerunterstützte Untersuchungmethode jenseits der exakten Beweistechniken vorgestellt.

Eckard Specht

Spiegelpunkte

Die dritte Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2009 entstammt der Elementargeometrie und handelt von mehreren Punktspiegelungen in einem Dreieck. Dieser Beitrag enthält vier verschiedene Lösungen der Aufgabe mit unterschiedlichen Methoden. Neben dem Beweis der Behauptung werden jeweils weitere interessante Eigenschaften der vorliegenden geometrischen Figur diskutiert.

Lisa Sauermann

Überraschende Ähnlichkeit

Über den Seiten eines beliebigen Dreiecks werden nach außen hin zueinander ähnliche Dreiecke aufgesetzt. Es überrascht, dass dann auch das Dreieck, das die Umkreismittelpunkte der aufgesetzten Dreiecke bilden, selbst zu diesen Dreiecken ähnlich ist. Die Verwendung von Drehstreckungen erweist sich als effektive und natürliche Beweisführung. Die Darlegungen führen zu weiteren interessanten Sachverhalten wie zu dem Satz von Miquel und dem Satz des Napoleon.

Erhard Quaisser

Verallgemeinerte Binärdarstellung

Bekanntlich lässt sich jede natürliche Zahl eindeutig im Stellenwertsystem zur Basis 2 darstellen. Erlaubt man weitere Ziffern, z. B. die 2 und 3, ist die Darstellung in der Regel nicht mehr eindeutig. In der vierten Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2010 war zu untersuchen, welche Zahlen in dieser Situation genau 2010 verschiedene Darstellungen erlauben. Der Beitrag verallgemeinert diese Aufgabenstellung auch auf Stellenwertsysteme mit beliebiger Basis, leitet verschiedene Rekursionsformeln für die Anzahl der Darstellungen her und ermittelt daraus das Wachstumsverhalten dieser Anzahlen, und unter welchen Voraussetzungen jede beliebige positive Anzahl von Darstellungen angenommen werden kann.

Eric Müller

Wie ungleichschenklig kann ein Dreieck sein?

Ist a die kleinste und c die größte Seitenlänge eines Dreiecks, dann kann das Minimum der Quotienten b/a und c/b als ein Maß für die Ungleichschenkligkeit des Dreiecks angesehen werden. Es interessiert die Menge der reellen Zahlen, die man auf diese Weise erhält. Dabei ist erstaunlich, dass hier die Goldene Schnittzahl eine Rolle spielt. Ein weiterer Zugang und eine Veranschaulichung der Problemstellung führt über den Apollonius-Kreis.

Erhard Quaisser

Teil II - Bundeswettbewerb Mathematik

Frontmatter

Aufgaben 1970 - 2015

Der Teil II des Buches enthält alle Aufgaben, die im Rahmen des Bundeswettbewerbs Mathematik seit 1970 gestellt wurden. In übersichtlicher Form sind die insgesamt 368 Aufgaben (bis einschließlich 2015), die vorwiegend aus den Gebieten Algebra, Geometrie, Kombinatorik und Zahlentheorie stammen, dokumentiert. Diese einzigartige kompakte Sammlung stellt ein herausragendes Kompendium an mathematischen Problemen dar, welches zum Training in Vorbereitung auf Mathematik-Wettbewerbe genutzt werden kann.

Hanns-Heinrich Langmann, Erhard Quaisser, Eckard Specht

Backmatter

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