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Erschienen in:
2013 | OriginalPaper | Buchkapitel
12. Chaostheorie
verfasst von : Hans-Joachim Bungartz, Stefan Zimmer, Martin Buchholz, Dirk Pflüger
Erschienen in: Modellbildung und Simulation
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Bei der Erwähnung des Begriffs Chaostheorie denken viele vielleicht zunächst an faszinierende Bilder von Fraktalen, wie z. B. das „Apfelmännchen“. Diese Bilder zeigen aber nur einen Teilbereich dessen, worum es bei der Chaostheorie geht. Sie beschäftigt sich im Wesentlichen mit der Untersuchung nichtlinearer dynamischer Systeme, also von Systemen, deren Dynamik z. B. durch nichtlineare Differentialgleichungen beschrieben wird. Nahezu jedes in der Realität vorkommende System zeigt nichtlineares Verhalten, daher beschäftigen sich Menschen aus den verschiedensten Bereichen der Wissenschaft mit solchen Systemen. Ein prominentes Beispiel ist natürlich das Wetter, das sich auch mit noch so viel Rechenleistung niemals beliebig lange vorhersagen lässt, da eben hin und wieder in China ein Sack Reis umfällt. Oftmals lässt sich bei den untersuchten Systemen in manchen Situationen scheinbar regelloses, so genanntes chaotisches Verhalten beobachten.
Was hat nun Chaos mit Modellbildung und Simulation zu tun? Zunächst geht es darum, chaotisches Verhalten zu verstehen, in solchem Verhalten Strukturen zu entdecken – die klassische Aufgabe der Chaostheorie. Systeme mit chaotischem Verhalten zu modellieren und zu simulieren – trotz der Unzugänglichkeit – ist für viele wissenschafliche Gebiete von Bedeutung. In der Finanzmathematik versucht man, aus chaotischem Verhalten Rückschlüsse auf die Entwicklung von Geldmärkten zu ziehen; in der Neurologie wird die Chaostheorie dazu verwendet, epileptische Anfälle vorherzusagen. Der Grund, weshalb sich die Chaostheorie als eigenständiges Forschungsgebiet etabliert hat, ist, dass sich solch seltsam anmutendes Verhalten bei den verschiedensten Anwendungen findet und sich dabei häufig ähnliche Strukturen entdecken lassen. Bei der Untersuchung nichtlinearer Systeme ist man fast zwangsläufig auf Computersimulationen angewiesen, da sich nur die wenigsten nichtlinearen Gleichungen analytisch lösen lassen.
Sowohl bei diskreten (z. B. diskrete Abbildungen) als auch bei kontinuierlichen (z. B. Differentialgleichungen) Systemen tritt Chaos auf. Die wesentlichen Merkmale des Chaos wie Bifurkationen und seltsame Attraktoren werden wir aufgrund der besseren Anschaulichkeit anhand einfacher diskreter Abbildungen erklären. Aber auch bei kontinuierlichen Systemen lassen sich die gleichen Effekte beobachten. Wir werden daher im letzten Teil des Kapitels ein mechanisches System – ein angetriebenes Pendel – zunächst kurz modellieren und dann mit Hilfe von Simulationsergebnissen das chaotische Verhalten des Systems betrachten. Zum leichteren Verständnis dieses Kapitels sind die Abschnitte zur Analysis und zur Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen aus Kap. 2 hilfreich.