Das Anfangswertproblem der gewöhnlichen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Zusammenfassung

Von dem Differentiationssatz und dem Faltungssatz wollen wir eine wichtige Anwendung machen, indem wir mit ihrer Hilfe die gewöhnliche lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten im Intervall t ≧ 0 integrieren, wobei die Werte der Lösung und gewisser Ableitungen für t = 0, die sogenannten Anfangswerte, gegeben sein sollen (Anfangswertproblem). Das ist zwar eine Aufgabe, die man auf die bekannte klassische Weise dadurch lösen kann, dass man zunächst für die homogene Gleichung eine hinreichende Anzahl von Fundamentallösungen und durch lineare Kombination die sogenannte allgemeine Lösung herstellt, dann durch «Variation der Konstanten» eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung sucht und diese zur vorigen Lösung addiert, wodurch man die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung erhält. Schliesslich hat man dann noch die hierin vorkommenden beliebigen Konstanten den gegebenen Anfangswerten «anzupassen». Dies sieht theoretisch sehr einfach aus, stösst aber praktisch bei höherer Ordnung der Differentialgleichung auf grosse Schwierigkeiten. Dagegen wird sich zeigen, dass man vermittels L-Transformation das Problem mit einem Minimum an Rechenaufwand lösen kann.