Sylow-Theoreme

Zusammenfassung

Das Theorem von Lagrange behauptet, daß in einer endlichen Gruppe G der Ordnung g die Ordnung einer jeden Untergruppe ein Teiler von g ist. Die Umkehrung dieses Theorems ist falsch; denn wir haben gesehen, daß es Gruppen gibt (Beispiel Seite 125), die nicht zu jedem Teiler von g eine Untergruppe mit dieser Ordnung enthalten. Wenn aber p^b eine Potenz einer Primzahl p ist, so daß p^b die Ordnung g teilt, dann hat G mindestens eine Untergruppe von der Ordnung p^b. Diese bemerkenswerte Tatsache wurde 1872 von dem norwegischen Mathematiker L. Sylow entdeckt. Dies ist für die Gruppentheorie von weitreichender Bedeutung und liefert eines der eindrucksvollsten Beispiele für den subtilen Zusammenhang zwischen arithmetischen und strukturellen Eigenschaften einer Gruppe. Es gibt in der Literatur viele Beweise für die berühmten Ergebnisse von L. Sylow. Wir folgen hier*) den eleganten Argumenten von H. Wielandt (1959); aufbauend auf Grundtatsachen werden nur einige elementare Schlüsse über Permutationen verwendet.