Kurventheorie

Zusammenfassung

Eine räumliche Kurve kann man dadurch festlegen, daß man die rechtwinkligen Koordinaten x ₁,x ₂,x ₃ eines Kurvenpunktes r als Funktionen eines reellen Parameters t mit α < t < β (α ≥ - ∞, β ≤ + ∞) angibt:

$${{\text{x}}_i}{\text{ = }}{{\text{x}}_i}({\text{t)}}{\text{ }}{\text{(i = 1, 2, 3) oder zusammengefa}}\beta {\text{t }}\mathfrak{r} = \mathfrak{r}\left( t \right).$$

. Es soll dabei von den Funktionen x _i zunächst vorausgesetzt werden, daß sie einmal stetig differenzierbar sind. Natürlich dürfen unsere Funktionen außerdem nicht alle drei konstant sein, sonst schrumpft die Kurve auf einen einzelnen Punkt zusammen. Wir wollen sogar annehmen, daß an keiner Stelle t ₀ alle Ableitungen der drei Funktionen gleichzeitig verschwinden, ein Fall, der seinen Grund sowohl in der Parameterdarstellung wie auch in einem besonderen Verhalten der Kurve an der Stelle t ₀ haben kann.