Zusammenfassung
Im ersten Kapitel waren die bekanntesten Lehren aus der Krümmungstheorie der Kurven zusammengestellt worden. Im dritten Kapitel hatten wir uns zur Vorbereitung auf die Fragen der Flächentheorie mit den Flächenstreifen beschäftigt. Jetzt wollen wir mit der Lehre von der Krümmung der Flächen beginnen, wie sie nach den ersten Untersuchungen von L. Euler (1707–1783), dann insbesondere von G. Monge (1746–1818) in seinem klassischen Werk „L’application de l’analyse à la géometrie“ begründet worden ist, das 1795 zu erscheinen begonnen hat. Die tiefergehenden Gedanken von Gauß „Disquisitiones circa superficies curvas“ (1827) werden in dem vorliegenden Kapitel nur zum geringen Teil verwertet und bilden die Grundlage des 6. Kapitels. Die Flächentheorie ist ungleich vielgestaltiger und anziehender als die Theorie der Kurven, bei der alles Wesentliche schon in den Formeln von Frenet steckt.
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Notes
Diese Behauptung ist ohne den Klammerzusatz falsch, wie das Gegenbeispiel von ebenen Kurven zeigt!
Wie wir später sehen werden, sind die g ij die Komponenten eines „zweifach kontravarianten Tensors“, welche sich nach dem zu (8 a) „inversen“ Gesetz \(g^{kl*}=g^{ij}\frac{\partial u^{k*}}{\partial u^i}\frac{\partial u^{l*}}{\partial u^j}\) transformieren.
Baltzer, R.: Ableitungen der Gaußschen Formeln für die Flächenkrümmung. Leipziger Ber., math.-phys. Klasse 18, 1–6 (1866).
Vgl. Stäckel, P.: Materialien für eine wissenschaftliche Biographie von Gauß, V: Gauß als Geometer (1918), bes. S. 120–125. Ferner im folgenden § 82.
Eine geometrische Erklärung der „Oberfläche“ entsprechend der der Bogenlänge in Kap. 1 findet man etwa bei H. Bohr und J. Mollerup, Mathematisk Analyse II, S. 366. Kopenhagen 1921.
Diese Integrierbarkeitsbedingungen werden dadurch erhalten, daß (153) mit i = 1 unter Einsetzung von sich selbst nach u 2 differenziert wird, daß von der entstehenden Gleichung die entsprechende Gleichung mit vertauschten Indizes 1 und 2 subtrahiert wird und daß dann schließlich die Koeffizienten der Unbekannten z l gleich Null gesetzt werden.
Hierbei ist A (Φ1 2) durch \(A(\Phi^1_2)(\mathfrak{v},\mathfrak{w},\mathfrak{B})=\Phi^1_2(\mathfrak{w},\mathfrak{v},\mathfrak{B})\) für alle v,w,B definiert
Jacobi, C. G. J.: Werke VII, S. 356.
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Blaschke, W., Leichtweiß, K. (1973). Anfangsgründe der Flächentheorie. In: Elementare Differentialgeometrie. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 1. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-49193-1_5
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