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Fragen der Flächentheorie im Großen

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Elementare Differentialgeometrie

Part of the book series: Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften ((GL,volume 1))

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Zusammenfassung

Bisher haben wir in der Flächentheorie stets nur solche Flächen betrachtet, welche eine (mindestens einmal stetig differenzierbare) Parameterdarstellung

$$r=r(u^1,u^2) (r_1\times r_2\neq 0 )$$

mit Parametern u 1, u 2 aus einem Parametergebiet U der u 1, u 2-Ebene zulassen (vgl. § 41). Bei vielen Flächen ist aber eine derartige Darstellung nicht möglich, wie z.B. bei der Kugel. Wir werden nämlich im übernächsten Paragraphen sehen, daß auf der Kugel kein stetiges Feld von überall von Null verschiedenen Tangentenvektoren — wie es etwa das Feld der Tangentialvektoren r1 im Falle der Darstellbarkeit (1) wäre — existieren kann. Tatsächlich besitzt die Darstellung der Kugel durch die sphärischen Koordinaten ϑ, φ, von Kap. 4 (10) auch die zwei singulären Stellen ϑ = 0 und ϑ = π, in welchen die Bedingung \((r_1\times r_2\neq 0 )\) verletzt ist.

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Notes

  1. Die Grundzüge der allgemeinen Topologie finden sich etwa in Schubert, H.: Topologie, Stuttgart: Teubner 1964.

    MATH  Google Scholar 

  2. Vgl. Munkres, J.: Elementary differential topology, Princeton Univ. 1963, S. 101.

    Google Scholar 

  3. Siehe hierzu Hopf, H., Rinow, W.: Über den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche. Commentarii Mat. Helv. 3, 209–225 (1931).

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  4. Siehe Fußnote 1 auf S. 239.

    MATH  Google Scholar 

  5. Siehe Fußnote. 1 auf S. 215.

    MATH  Google Scholar 

  6. Vgl. Franz, W.: Topologie I, Sammlung Göschen, 1960, Satz 24.2.

    Google Scholar 

  7. Siehe dazu Seifert-Threlfall: Lehrbuch der Topologie, Leipzig: Teubner 1934, S. 141.

    Google Scholar 

  8. Siehe dazu Fußnote 1 auf S. 244.

    MATH  Google Scholar 

  9. Siehe Poincaré, H.: Journ. Math. Pure Appliqué 4, Ser. I, 203–208 (1885).

    Google Scholar 

  10. Zur Existenz einer solchen Hilfsabbildung siehe M. Newman: Topology of plane sets of points, Cambridge Univ. Press 1951, S. 149.

    Google Scholar 

  11. Dies läßt sich durch eine kleine Abänderung der Triangulation stets erreichen!

    Google Scholar 

  12. Siehe Hamburger, H.: Annals of math. II, 41 u. 63–86 (1940), Acta math. 73, 174–332 (1941) und Bol, G.: Math. Zeitschrift 49, 389–410 (1943).

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  13. Siehe Aleksandrow, A. D.: Vestnik Leningrad, Univ. 13, 5–8 (1958) und Amer. Math. Soc. Translation II 21, 412–416 (1962).

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  14. Siehe Liebmann, H.: Math. Annalen 53, 91–112 (1900) S. 107.

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  15. Siehe Hopf, H.: Math. Nachr. 4, 232–249 (1950) S. 240–241.

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  17. Hilbert, D.: Grundlagen der Geometrie, 8. Aufl. Stuttgart: Teubner 1956, Anhang V.

    MATH  Google Scholar 

  18. Vgl. Kamke, E.: Math. Zeitschr. 42, 287–300 (1937) S. 294–295.

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  19. Siehe Chern, S. S.: Duke Math. Journ. 12, 279–290 (1945) und Aleksan-drow, A. D.: C. R. Acad. Sci. URSS (2) 19, 227–229 (1938).

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  20. Hadamard, J.: Liouvilles Journ. (5) 3, 352 (1897).

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  21. Chern und Lashof konnten zeigen, daß dieser Satz auch unter den schwächeren Voraussetzungen F von Klasse C 2 und K ≥ 0 gültig ist. Siehe Amer. Journ. of Math. 79, 306–318 (1957).

    Google Scholar 

  22. Hierbei sind die Differentialformen ersten Grades in beiden Faktoren nach den Regeln des alternierenden Produkts zu multiplizieren, so daß diese Produktbildung im Gegensatz zum gewöhnlichen Vektorprodukt kommutativ ist!

    Google Scholar 

  23. Siehe Simon, U.: Math. Annal. 173, 307–321 (1967).

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  24. Siehe Efimov, N. W.: Flächenverbiegung im Großen. Berlin: Akademie-Verlag 1957, §61.

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  25. Siehe Hopf, H., Voss, K.: Archiv d. Math. 3, 187–192 (1952), u. Voss, K.: Math. Ann. 131, 180–218 (1956).

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  26. An der „Schattengrenze“ von F mit en == 0 erniedrigt sich nämlich die Differenzierbarkeitsklasse der Parallelprojektion um Eins, vgl. Voss, K.: Math. Ann. 131, 180–218 (1956), Lemma 1.

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  27. Hierbei haben wir die aus Kap.4 (75) und (202) folgenden Beziehungen \(r=r(u^1,u^2) (r_1\times r_2\neq 0 )\) sowie.

    Google Scholar 

  28. Mit L jk (τ) v j v k ist nämlich auch \((\varepsilon ^{mj}(\tau)\varepsilon ^{nk}(\tau)L_{jk}(\tau))v_mv_n=L_{jk}(\tau)(\varepsilon ^{mj}(\tau)v_m)(\varepsilon ^{nk}(\tau)v_n)\) positiv définit!

    Google Scholar 

  29. Siehe Commentarii Math. Helv. 33, 174–195 (1959).

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  30. Katsurada, Y.: Commentarli Math. Helv. 43, 176–194 (1968).

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  31. Christoffel, E. B.: Journal f. Reine u. Angew. Math. 64, 193–209 (1865) und Hurwitz, A.: Annales de l’Ecole Normale (3) 19, 357–408 (1902).

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  32. Minkowski, H.: Math. Annalen 57, 447–449 (1903).

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  33. Siehe Hsiung: Math. Zeitschrift 64, 41–46 (1956).

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  34. Siehe Chern, S. S.: Amer. Journal Math. 79, 949–950 (1957).

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  35. Lewy, H.: Transactions Amer. Math. Soc. 43, 258–270 (1938).

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  36. Firey, W. J.: Mathematika London 14, 1–13 (1967).

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  39. Aleksandrov, A. D.: Konvexe Polyeder. Berlin: Akad. Verl., 1958, S. 150.

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  40. Cohn-Vossen, S.: Göttinger Nachr. Math.-Phys. Klasse 1927, S. 125–134.

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  41. Herglotz, G.: Abhandl. Math. Sem. Hamburg 15, 127–129 (1943).

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  42. Siehe Zhitomirski, O. K.: Comptes Rendus Acad. Sci. URSS 25, 347–349 (1939).

    Google Scholar 

  43. Dies läßt sich für ganz F und F stets nach evtl. Spiegelung von F bzw. F erreichen!

    Google Scholar 

  44. Wir nennen diejenige der beiden Lösungsscharen von (127) „positiv“, bei der — im positiven Sinn auf F′ gesehen — auf die Tangentenrichtungen mit negativem Q diejenigen mit positivem Q folgen.

    Google Scholar 

  45. Vekua, I. N.: Systeme von Differentialgleichungen 1.Ordnung vom elliptischen Typus und Randwertaufgaben. Berlin: Akad. Verl. 1956, S. 17ff.

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  46. Siehe dazu Grotemeyer, K. P.: Archiv d. Math. 9, 382–388 (1958).

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  47. Aleksandrov, A. D., Senkin, E. P.: Vestnik Leningrad Univ. 10, 3–13 (1955).

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  48. Siehe Voss, K.: Jahresbericht der DMV 63, 117–135 (1960), Satz 7.

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  49. Chern, S. S., Lashof, K.: Michigan Journal 5, 5–12 (1958).

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  50. Pogorelov, A. V.: Eindeutige Bestimmtheit allgemeiner konvexer Flächen. Berlin: Akad. Verlag 1956.

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  51. Aleksandrov, A. D.: Mathem. Sbornik 4 Nr. 1, 69–77 (1938).

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  52. Vgl. dazu den Bericht von Efimov, N. W.: Flächenverbiegung im Großen, Berlin: Akad. Verl. 1957.

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  53. Grove, V. G.: Proceedings Amer. Math. Soc. 8, 777–786 (1957).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  54. Ein einfacher Beweis dieser Integralformel findet sich bei Leichtweiß, K.: Atti del Convegno di Geometria Differenziale, Roma 1972.

    Google Scholar 

  55. Siehe Huck, H. — Roitzsch, R. — Simon, U. — Vortisch, W. — Waiden R. — Wegner, B. — Wendland, W.: Beweismethoden der Differentialgeometrie im Großen. TU Berlin-TH Darmstadt 1972.

    Google Scholar 

  56. Siehe dazu etwa Weyl, H.: Berliner Sitzungsberichte (1917) S. 250–266 und Blaschke, W.: Math. Zeitschrift 9, 142–146 (1921).

    Google Scholar 

  57. Vgl. Fußnote 1 von S. 265.

    MATH  Google Scholar 

  58. Siehe Blaschke, W.: Math. Zeitschrift 9, 142–146 (1921).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  59. Die Formel (169) läßt sich übrigens beim Vorliegen der trivialen Verbiegung (150) auch durch einmalige Differentiation von (129) nach t an der Stelle t = 0 gewinnen!

    Google Scholar 

  60. Die Voraussetzung der positiven Definitheit der quadratischen Formen b ij du i du j und b ij du i du j ist nämlich beim Vorliegen der Voraussetzung (96) unnötig, wie aus dem Beweis des Hilfssatzes ersichtlich wird!

    Google Scholar 

  61. Siehe Rembs, E.: Math. Zeitschrift 56, 271–279 (1952).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  62. Siehe Weyl, H.: Vierteljahrsschrift d. naturi Ges. Zürich 61, 40–72 (1915).

    Google Scholar 

  63. Siehe Nirenberg, L.: Communications Pure Applied Math. 6, 337–394 (1953).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  64. Siehe Heinz, E.: Journal Math, and Mech. 11, 421–454 (1962).

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  65. Siehe Aleksandrov, A. D.: Die innere Geometrie der konvexen Flächen, Berlin: Akad. Verl. 1955, S. 51 Theorem A.

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  66. Siehe Hilbert, D.: Transactions Amer. Math. Soc. 2, 87–99 (1901).

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  67. Vgl. Fußnote 1, S. 254.

    MATH  Google Scholar 

  68. Hierbei sei \(x=h_1(p^1,p^2),y=h_2(p^1,p^2)\) die Umkehrung der Transformation (179)!

    Google Scholar 

  69. Hazzidakis, J.: Crelles Journal 88, 68–73 (1880).

    Google Scholar 

  70. Kuiper, N. H.: Indagationes Math. 17, 683–689 (1955), Satz 5.

    Article  Google Scholar 

  71. Wegen ε < +√m r liegt der p 0 und p verbindende Kurvenbogen ganz in N 0 (sonst ergibt Abschätzung (188) für den in N 0 liegenden Teil dieses Kurvenbogens sofort einen Widerspruch!).

    Google Scholar 

  72. Dies bedeutet, daß die Metrik d auf M die ursprünglich gegebene Topologie „induziert“, vgl. Schubert, H.: Topologie. Stuttgart: Teubner 1964, S. 11–13.

    MATH  Google Scholar 

  73. Siehe Hopf, H., Rinow, W.: Commentarii Math. Helv. 3, 209–225 (1931), Satz III.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  74. Dieses Minimum ist nämlich gleich dem Minimum aller p und q verbindenden durchweg stetig differenzierbaren Kurvenbogen, wie man durch beliebig kleine „Abrundungen“ etwaiger Ecken einsieht!

    Google Scholar 

  75. Siehe de Rham: Commentarii Math. Helv. 26, 328–344 (1952), S. 342/343.

    Google Scholar 

  76. Für die nachfolgenden Überlegungen reicht im Gegensatz zu § 79 die zweimalige stetige Differenzierbarkeit der die Metrik auf M definierenden quadratischen Differentialform g ij du i du i aus!

    Google Scholar 

  77. Siehe dazu Schubert, H.: Topologie. Stuttgart: Teubner 1964, S. 37–38.

    MATH  Google Scholar 

  78. In § 78 hatten wir bereits gezeigt, daß eine zweimal stetig differenzierbare Kürzeste auf einer im euklidischen Raum liegenden Fläche ein geodätischer Kurvenbogen ist!

    Google Scholar 

  79. Man beweist (210) analog wie (189) durch mehrmalige Anwendung der „Dreiecksungleichung“ in (188a).

    Google Scholar 

  80. Siehe Poincaré, H.: Transactions Amer. Math. Soc. 6, 237–274 (1905).

    Article  MATH  Google Scholar 

  81. Zum Begriff der Richtungsableitung siehe Kap. 4 (196) und (197)!

    Google Scholar 

  82. Wir benutzen eine ähnliche Produktregel, wie in Kap.4 (199) hergeleitet!

    Google Scholar 

  83. Jacobi, C.: Zur Theorie der Variationsrechnung, Werke IV, S. 39–55.

    Google Scholar 

  84. Diese invariante Beziehung folgt aus (220) und (222) unter Benutzung eines Parametersystems, für welches in einem beliebig vorgegebenen Punkt g ij = δ ij wird!

    Google Scholar 

  85. q gehört also genau dann zu C(p), wenn p zu C(q) gehört!

    Google Scholar 

  86. V ist an der Stelle r 0 stetig, da r 0 als Parameterwert des zu p konjugierten Punkts k 0 Nullstelle der Funktion v ist.

    Google Scholar 

  87. Vgl. Bliss, G. A.: Transactions Amer. Math. Soc. 17, 195–206 (1916).

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  88. Erdmann, G.: Crelles Journal 82, 21–30 (1877).

    Google Scholar 

  89. Mit y′(c-0) bzw. y′(c + 0) ist hierbei der linksseitige bzw. rechtsseitige Grenzwert von y′ an der Stelle x = c bezeichnet!

    Google Scholar 

  90. Siehe Darboux, G.: Theorie des surfaces III, 86–88 (1914).

    Google Scholar 

  91. Siehe S. 300 Mitte.

    Google Scholar 

  92. Um dies einzusehen, benutzen wir die Definition des Schnittortpunkts in § 109 und Fußnote 1 von S. 305!

    Google Scholar 

  93. Siehe Green, L. W.: Bull. Amer. Math. Soc. 67, 156–158 (1961) u. Blaschke, W.: Vorlesungen über Differentialgeometrie I. 4.Aufl. Berlin: Springer Verl. 1945, S.225.

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  94. Siehe Aleksandrow, A. D.: Innere Geometrie der konvexen Flächen. Berlin: Akad. Verl. 1955, S. 433 Satz 4.

    Google Scholar 

  95. Da F vollständig ist, lassen sich zwei beliebige Punkte von F stets durch eine Kürzeste verbinden (vgl. §108!).

    Google Scholar 

  96. Auf diese Bedingung kann beim Vergleich von T mit T 1 verzichtet werden!

    Google Scholar 

  97. Die T λ existieren wegen (249 a, b) und liegen ganz in einer offenen Halbsphäre von S λ, so daß sie durch ihre Ecken eindeutig bestimmt sind.

    Google Scholar 

  98. Hierunter verstehen wir die zwischen 0 und π genommenen Winkel zwischen den zwei von einer „Ecke“ ausgehenden „Dreiecksseiten“.

    Google Scholar 

  99. Hierbei ist \(d(p,C(p))=\underset{q\epsilon C(p)}{inf}d(p,q)\),usw.!

    Google Scholar 

  100. Vgl. dazu die Zulassungsarbeit von H. Karcher, Freiburg 1962.

    Google Scholar 

  101. Lediglich im Fall \(\alpha =\alpha_1=\pi\) kann der Diametralpunkt von p 1 auf T 1 zu liegen kommen, in welchem die zu beweisende Ungleichung α≥ ≥ α1 trivial ist!

    Google Scholar 

  102. Die Darstellung (259) versagt im Falle α1=0 in dem T 1=T 1 gilt und damit \(\alpha=\alpha_1=\alpha_1\) schon bewiesen ist!

    Google Scholar 

  103. Siehe Sturm, J.: Journal Liouville 1, 131 (1836).

    Google Scholar 

  104. Möglicherweise ist nicht α sondern 2π-α „Innenwinkel“ dieser Dreiecksfläche!

    Google Scholar 

  105. Die Darstellung (285) versagt im Falle α = 0 oder α = π, in dem T 2 = T 2 gilt und somit \(\alpha=\alpha_2=\alpha_2\) schon bewiesen ist!

    Google Scholar 

  106. Wegen \(r(\varphi )\leqslant \frac{1}{2}L(T)< \frac{\pi}{\sqrt[+]{2}}\) (vgl. (284) und (249b)) wird durch (285) tatsächlich ein Kurvenbogen auf S 2 dargestellt!

    Google Scholar 

  107. Dieses Maximum wird wegen der Kompaktheit der Parametermannigfaltigkeit M von F und der Stetigkeit von d (vgl. (210)!) angenommen!

    Google Scholar 

  108. Siehe Bonnet, O.: Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 40, 1311–1313 (1855).

    Google Scholar 

  109. Siehe Pogorelov, A. V.: Math. Sbornik N. S. 18, 181–183 (1946).

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  110. Siehe Karcher, H.: Manuscripta math. 2, 77–102 (1970) S. 4.

    MathSciNet  Google Scholar 

  111. Siehe Klingenberg, W.: Commentari math. Helv. 34, 17–36 (1960) Theorem 2.

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  112. Wegen (292) existiert c für jede von p auslaufende geodätische Linie G 0!

    Google Scholar 

  113. Die Seiten dieses Dreiecks haben die Länge 2m/3 < m und sind demnach wegen der Minimumeigenschaft von m Kürzeste!

    Google Scholar 

  114. Vgl. Fußnote 1. S. 324.

    MATH  Google Scholar 

  115. Vgl. Fußnote 2 von S. 320!

    Google Scholar 

  116. Siehe Lusternik u. Schnirelmann: Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 188, 295–297 (1929) und 189, 269–271 (1929).

    Google Scholar 

  117. Siehe Morse, M.: Proceedings Nat. Acad. Sci. 15, 856–859 (1929).

    Article  MATH  Google Scholar 

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  1. Mathematisches Institut B, Universität Stuttgart, Deutschland

    Kurt Leichtweiß

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  1. W. Blaschke
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  2. Kurt Leichtweiß
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Blaschke, W., Leichtweiß, K. (1973). Fragen der Flächentheorie im Großen. In: Elementare Differentialgeometrie. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 1. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-49193-1_8

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