Zusammenfassung
Wir wollen berechnen, wie sich die Oberfläche einer krummen Fläche bei einer Formänderung verhält. Es sei \(r=r(u^1,u^2)\) die (zweimal stetig differenzierbare) Ausgangsfläche. Auf deren Flächennormalen tragen wir die Längen \(n(u^1,u^2)=\varepsilon n(u^1,u^2)\) (n = stetig differenzierbar, ε = const!) ab und kommen dadurch zur Nachbarfläche \(r=r+n.\mathfrak{n}\) die für ε→ 0 in die Ausgangsfläche hineinrückt. Durch Ableitung nach u i folgt \(r_i=r_i+n_i.\mathfrak{n}+n\mathfrak{n}_i\) (i=1,2)
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Notes
Plateau, J.: Recherches expérimentales et théoriques sur les figures d’équilibre d’une masse liquidesans pé. Mémoires de l’Académie royale de Belgique 36 (1866).
Lagrange, J. L.: Werke I, S. 335.
Ein solches x v existiert stets, da andernfalls r1 = r2 = 0 gelten würde!
Der Faktor 2 ist hier unwesentlich!
Vgl. etwa G. Monges „Application …“ von 1850, XX, S. 211–222. Die ersten Versuche Monges über Minimalflächen gehen bis auf 1784 zurück.
Lie, S.: Beiträge zur Theorie der Minimalflächen. Math. Ann. 14, 331 (1879).
Weierstraß, K.: Untersuchungen über die Flächen, deren mittlere Krümmung überall gleich Null ist. Werke III, S. 39–52; bes. S. 46 (35).
Siehe Bonnet, O.: Comptes Rendus 37, 529–532 (1853).
Vgl. die Angaben am Schluß der Abhandlung von Study, E.: Über einige imaginäre Minimalflächen. Leipz. Akad.-Ber. 63, 14–26 (1911).
Siehe Schwarz, H. A.: Mathematische Abhandlungen I, S. 178.
Vgl. Blaschke, W.: Reziproke Kräftepläne zu den Spannungen in einer biegsamen Haut. Congress Cambridge 2, 291–297 (1912).
Es ist das ein Sonderfall eines Satzes von Fräulein E. Noether über invariante Variationsprobleme. Gött. Nachr. 1918, S. 235–257.
Schwarz, H. A.: Mathematische Abhandlungen I, S. 179, S. 181.
Siehe Radó, T.: Math. Zeitschrift 32, 763–796 (1930).
Siehe Douglas, J.: Transactions Amer. Math. Soc. 33, 263–321 (1931).
Vgl. Schwarz, H. A.: Gesammelte Abhandlungen I, S. 157.
Vgl. Courant, R.: Math. Zeitschrift 7, 1–57 (1920), Satz 1.
(43) ist nämlich für alle am Rande, aber nicht identisch verschwindenden, stetig differenzierbaren Variationen δn richtig, da eine derartige Variation nach Multiplikation mit einer geeigneten positiven Konstanten, welche an der Gültigkeit von (43) nichts ändert, (42) genügt!
Siehe Schwarz, H. A.: Gesammelte Abhandlungen I, S. 223–269.
Dies folgt aus der Tatsache, daß wegen \(\sqrt[+]{(dx_1) 2+(dx_2) 2}\leq ds\) die senkrechte Projektion einer geodätischen Linie der Minimalfläche von endlicher Länge auf die (x 1, x 2)-Ebene ebenfalls endliche Länge besitzt und somit nach den Überlegungen in §107 gegen eine Stelle (x 1 (0), x 2 (0)) konvergieren muß, über die die geodätische Linie sich fortsetzen läßt, so daß letztere unendlich lang sein muß.
Siehe Nitsche, J. C. C.: Archiv d. Math. 7, 417–419 (1956).
Jede Cauchyfolge in G ist nämlich Bild einer Cauchyfolge der (x 1 , x 2 )-Ebene. Letztere konvergiert aber wegen der Vollständigkeit dieser Ebene, und damit konvergiert auch die erstere wegen der Stetigkeit der Transformation (49).
Siehe Ossermann, R.: Commentarii Math. Helv. 35, 65–76 (1961).
Siehe S. 261.
Steiner, J.: Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze. Werke II, S. 75–91.
Vgl. Fußnote 1 auf S. 262 und S. 349. (57) bleibt auch unter dieser allgemeineren Voraussetzung samt Gleichheitsdiskussion gültig!
Schwarz, H. A.: Beweis des Satzes, daß die Kugel kleinere Oberfläche besitzt als jeder andere Körper gleichen Volumens. Gesammelte Abhandlungen II, S. 327–340.
Blaschke, W.: Kreis und Kugel. Leipzig 1916.
Gross, W.: Die Minimaleigenschaft der Kugel. Monatsh. Math. Phys. 28, 77–97 (1917).
Daß bei Eiflächen F 1, F 2 aus \(D_1\subseteq D_2\) für die Oberflächen \(O_1\subseteq O_2\) folgt, kann man z.B. aus der Formel \(O=\frac{1}{\pi} \int_{S_1} O_e d\omega\) von Cauchy einsehen, wobei S 1 die Einheitssphäre, dω ihr Oberflächenelement und O e den Flächeninhalt der Orthogonalprojektion p e (F) von F auf eine zum Einheitsvektor e senkrechte Ebene bedeuten. Es gilt nämlich \(2\pi O=\int_{F}(\int_{S_1}\left | en \right |d\omega )do=\int_{S_1}(\int_{F}\left | en \right |(r_1,r_2,\mathfrak{n})du^1 du^2)d\omega =\int_{S_1}(\int_{F}\left | (r_1,r_2,e) \right |du^1 du^2)d\omega =\int_{S_1}(\int_{F}\left | (\mathfrak{n}_1,\mathfrak{n}_2,e) \right |du^1 du^2)d\omega =\int_{S_1}2O_e\) weil pe(F) etwa die Vektordarstellung \(\mathfrak{n}=r - (re)e\) e besitzt.
Siehe dazu etwa Hadwiger, H.: Portugaliae Math. 8, 89–93 (1949).
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Blaschke, W., Leichtweiß, K. (1973). Extreme bei Flächen. In: Elementare Differentialgeometrie. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 1. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-49193-1_9
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