Darstellungen und Eigenfunktionen

Zusammenfassung

1. Betrachten wir die Schrödingergleichung H ψ=Eψeines Systems, das aus zwei gleichen Teilchen aufgebaut ist. Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß beide Teilchen nur je einen Freiheitsgrad haben, die entsprechenden Koordinaten seienxundy

$$ {\rm H}\,\psi = - \frac{{{h^2}}}{{8\,{\pi ^2}\,m}}\left( {\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial \,{x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial \,{y^2}}}} \right)\,\psi \left( {x,y} \right) + V\left( {x,y} \right) = E\psi \left( {x,y} \right), $$

(1)

womdie Masse der Teilchen ist. Die potentielle Energie muß gleich groß sein, wenn das erste Teilchen die Koordinateaund das zweite die Koordinateb, oder das erste die Koordinatebund das zweite die Koordinateahat. Es muß daher für alle Werte vonaundb V(a,b)=V(b,a)(2) gelten. Nehmen wir weiter an, daß (1) ein diskretes Spektrum hat undψ _x (x,y)zum diskreten EigenwertE _x gehört. Zu diesem Eigenwert gehöre keine andere, linear vonψ _x (x,y)unabhängige Eigenfunktion: die allgemeine Lösung der Differentialgleichung fürψ _x H ψ _x =E _x ψ _x ,(3) die fürx= ±∞ undy= ±∞ verschwindet, sei ein konstantes Vielfaches von ψ _x (x,y).