Teilweise Bestimmung der Eigenfunktionen aus ihren Transformationseigenschaften

Zusammenfassung

Die Transformationseigenschaften der Eigenfunktionen, die im vorangehenden Kapitel eine so wesentliche Rolle gespielt haben, können nur so zustande kommen, daß die Werte der Eigenfunktionen für solche Werte der Argumente, die durch die Transformationen der Gruppe ineinander übergeführt werden, in irgendeiner Weise zusammenhängen. Besteht die Gruppe z. B. aus der Einheit und aus der Transformation x' = — x, so gilt für Funktionen, die zur identischen Darstellung gehören, d. h. für gerade Funktionen,

$$g\left( { - x} \right) = g\left( x \right)$$

(1)

während für Funktionen, die zur negativen Darstellung gehören, d. h. für ungerade Funktionen,

$$f\left({ - x} \right)= - f\left( x \right)$$

(1a)

gilt. Im allgemeinen folgt aus

$${P_R}{\psi _x}\left( {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right) = \sum\limits_\lambda{D{{\left( R \right)}_{\lambda x}}{\psi _\lambda }\left( {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right)}$$

(2)

nach Kap. XI (26a)

$$P{\psi _x}\left( {{{x'}_1},{{x'}_2},...,{{x'}_n}} \right) = \sum\limits_\lambda {D\left( R \right)_{x\lambda }^ * {\psi _\lambda }\left( {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right)}$$

(3)

wo die x ^'₁ ,x ^'₂ ,…,x ^'_n durch die Transformation R aus den x₁, x₂,…, x_nhervorgehen.