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BIT Numerical Mathematics

Erschienen in:

09.05.2016

Cheap arbitrary high order methods for single integrand SDEs

verfasst von: Kristian Debrabant, Anne Kværnø

Erschienen in: BIT Numerical Mathematics | Ausgabe 1/2017

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Abstract

For a particular class of Stratonovich SDE problems, here denoted as single integrand SDEs, we prove that by applying a deterministic Runge–Kutta method of order \(p_d\) we obtain methods converging in the mean-square and weak sense with order \(\lfloor p_d/2\rfloor \). The reason is that the B-series of the exact solution and numerical approximation are, due to the single integrand and the usual rules of calculus holding for Stratonovich integration, similar to the ODE case. The only difference is that integration with respect to time is replaced by integration with respect to the measure induced by the single integrand SDE.

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Burrage, K., Burrage, P., Higham, D., Kloeden, P., Platen, E.: Comment on “numerical methods for stochastic differential equations”. Phys. Rev. E Stat. Nonlinear Soft Matter Phys. 74(6):068701 (2006). doi:10.1103/PhysRevE.74.068701

Burrage, K., Burrage, P.M.: High strong order explicit Runge–Kutta methods for stochastic ordinary differential equations. Appl. Numer. Math. 22(1–3), 81–101 (1996). doi:10.1016/S0168-9274(96)00027-X. (Special issue celebrating the centenary of Runge–Kutta methods)MathSciNetCrossRefMATH

Burrage, K., Burrage, P.M.: Order conditions of stochastic Runge–Kutta methods by \(B\)-series. SIAM J. Numer. Anal. 38(5), 1626–1646 (2000). doi:10.1137/S0036142999363206 (electronic)

Butcher, J.C.: Coefficients for the study of Runge–Kutta integration processes. J. Austral. Math. Soc. 3, 185–201 (1963)MathSciNetCrossRefMATH

Butcher, J.C.: Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. 2nd revised ed. Wiley, Hoboken. vol. xix, p. 463 (2008). doi:10.1002/9780470753767

Cohen, D.: On the numerical discretisation of stochastic oscillators. Math. Comput. Simul. 82(8), 1478–1495 (2012). doi:10.1016/j.matcom.2012.02.004 MathSciNetCrossRefMATH

Cohen, D., Dujardin, G.: Energy-preserving integrators for stochastic Poisson systems. Commun. Math. Sci. 12(8), 1523–1539 (2014). doi:10.4310/CMS.2014.v12.n8.a7 MathSciNetCrossRefMATH

Debrabant, K., Kværnø, A.: B-series analysis of stochastic Runge–Kutta methods that use an iterative scheme to compute their internal stage values. SIAM J. Numer. Anal. 47(1), 181–203 (2008/2009). doi:10.1137/070704307

Hairer, E., Lubich, C., Wanner, G.: Geometric Numerical Integration, Springer Series in Computational Mathematics, vol. 31, 2nd edn. Springer-Verlag, Berlin (2006) (Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations). doi:10.1007/3-540-30666-8

10.

Hairer, E., Nørsett, S.P., Wanner, G.: Solving Ordinary Differential Equations. I: Nonstiff problems. 2nd revised ed., 3rd corrected printing. Springer Series in Computational Mathematics 8, vol. xv. Springer, Berlin, p. 528 (2010) . doi:10.1007/978-3-540-78862-1

11.

Hong, J., Xu, D., Wang, P.: Preservation of quadratic invariants of stochastic differential equations via Runge–Kutta methods. Appl. Numer. Math. 87, 38–52 (2015). doi:10.1016/j.apnum.2014.08.003 MathSciNetCrossRefMATH

12.

Kloeden, P.E., Platen, E.: Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Applications of Mathematics, vol. 21, 2nd edn. Springer-Verlag, Berlin (1999) . doi:10.1007/978-3-662-12616-5

13.

Komori, Y.: Multi-colored rooted tree analysis of the weak order conditions of a stochastic Runge–Kutta family. Appl. Numer. Math. 57(2), 147–165 (2007). doi:10.1016/j.apnum.2006.02.002 MathSciNetCrossRefMATH

14.

Komori, Y., Mitsui, T., Sugiura, H.: Rooted tree analysis of the order conditions of ROW-type scheme for stochastic differential equations. BIT 37(1), 43–66 (1997). doi:10.1007/BF02510172 MathSciNetCrossRefMATH

15.

Ma, Q., Ding, D., Ding, X.: Symplectic conditions and stochastic generating functions of stochastic Runge–Kutta methods for stochastic Hamiltonian systems with multiplicative noise. Appl. Math. Comput. 219(2), 635–643 (2012). doi:10.1016/j.amc.2012.06.053 MathSciNetMATH

16.

Milstein, G.N.: Numerical Integration of Stochastic Differential Equations, Mathematics and its Applications, vol. 313. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht (1995) (Translated and revised from the 1988 Russian original). doi:10.1007/978-94-015-8455-5

17.

Milstein, G.N., Tretyakov, M.V.: Stochastic Numerics for Mathematical Physics. Scientific Computation, vol. ixx. Springer, Berlin (2004). doi:10.1007/978-3-662-10063-9

18.

Rößler, A.: Stochastic Taylor expansions for the expectation of functionals of diffusion processes. Stoch. Anal. Appl. 22(6), 1553–1576 (2004). doi:10.1081/SAP-200029495 MathSciNetCrossRef

19.

Rößler, A.: Rooted tree analysis for order conditions of stochastic Runge–Kutta methods for the weak approximation of stochastic differential equations. Stoch. Anal. Appl. 24(1), 97–134 (2006). doi:10.1080/07362990500397699 MathSciNetCrossRefMATH

20.

Sobczyk, K.: Stochastic models for fatigue damage of materials. Adv. Appl. Probab. 19(3), 652–673 (1987). doi:10.2307/1427411 MathSciNetCrossRefMATH

21.

Tian, T., Burrage, K.: Implicit Taylor methods for stiff stochastic differential equations. Appl. Numer. Math. 38(1–2), 167–185 (2001). doi:10.1016/S0168-9274(01)00034-4 MathSciNetCrossRefMATH

Titel: Cheap arbitrary high order methods for single integrand SDEs
verfasst von: Kristian Debrabant
Anne Kværnø
Publikationsdatum: 09.05.2016
Verlag: Springer Netherlands
Erschienen in: BIT Numerical Mathematics / Ausgabe 1/2017
Print ISSN: 0006-3835
Elektronische ISSN: 1572-9125
DOI: https://doi.org/10.1007/s10543-016-0619-8

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