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2021 | OriginalPaper | Buchkapitel

\(\kappa \)-Circulant Maximum Variance Bases

verfasst von : Christopher Bonenberger, Wolfgang Ertel, Markus Schneider

Erschienen in: KI 2021: Advances in Artificial Intelligence

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

Principal component analysis (PCA), a well-known technique in machine learning and statistics, is typically applied to time-independent data, as it is based on point-wise correlations. Dynamic PCA (DPCA) handles this issue by augmenting the data set with lagged versions of itself. In this paper, we show that both, PCA and DPCA, are a special case of \(\kappa \)-circulant maximum variance bases. We formulate the constrained linear optimization problem of finding such \(\kappa \)-circulant bases and present a closed-form solution that allows further interpretation and significant speed-up for DPCA. Furthermore, the relation of the proposed bases to the discrete Fourier transform, finite impulse response filters as well as spectral density estimation is pointed out.

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Fußnoten
1
Matched filters are learned in a supervised setting, while here we restrict ourselves to the unsupervised case. Hence, the “matching” of the filter coefficients is according to a variance criterion (similar to PCA).
 
2
Principal component analysis is almost equivalent to the Karhunen-Loève transform (KLT) [14]. Further information regarding the relationship between PCA and KLT is given in [10].
 
3
The dot product \(\mathbf {u}^T\mathbf {x}\) serves as measure of similarity.
 
4
The discrete circular convolution of two sequences \(\mathbf {x},\mathbf {y}\in \mathbb {R}^{D}\) is written as \(\mathbf {x}\circledast \mathbf {y}\), while the linear convolution is written as \(\mathbf {x}*\mathbf {y}\).
 
5
Due to the constraint \(\left\Vert \mathbf {g}\right\Vert _2^2=1\) this is not trivial.
 
6
This interpretation is only valid under the assumptions mentioned in Sect. 3.3. Furthermore, the normalization of the autocorrelation (autocovariance) is to be performed as \(\mathbf {r}' = \frac{\mathbf {r}}{r_0}\), with the first component \(r_0\) of \(\mathbf {r}\) being the variance [16].
 
7
Let \(\mathbf {Y}=\mathbf {G}_\kappa \mathbf {X}\). Maximizing \(\left\Vert \mathbf {Y}\right\Vert _F^2\) (cf. Eq. 19) means maximizing the trace of the covariance matrix \(\mathbf {S}\propto \mathbf {Y}\mathbf {Y}^T\), which in turn is a measure for the total dispersion [18].
 
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Metadaten
Titel
-Circulant Maximum Variance Bases
verfasst von
Christopher Bonenberger
Wolfgang Ertel
Markus Schneider
Copyright-Jahr
2021
Buch
KI 2021: Advances in Artificial Intelligence

Print ISBN: 978-3-030-87625-8

Electronic ISBN: 978-3-030-87626-5

Copyright-Jahr: 2021

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-030-87626-5_2

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