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Erschienen in:

2017 | OriginalPaper | Buchkapitel

Coherence of Direct Images of the De Rham Complex

verfasst von : Kyoji Saito

Erschienen in: Singularities and Computer Algebra

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

We show the coherence of the direct images of the De Rham complex relative to a flat holomorphic map with suitable boundary conditions. For this purpose, a notion of bi-dg-algebra called the Koszul-De Rham algebra is developed.

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We assume that a manifold is connected, paracompact, Hausdorff and, hence, metrizable.

In [2] (Theorem 4.1), some algebra similar to the (but differently graded) Koszul-De Rham algebra in the present paper was introduced in order to calculate the Hochshild and cyclic homology of a complete intersection affine variety (similar to the complete intersection variety U in a Stein manifold W in the present paper). It should be of interest to find a relation of the present work with the Hochshild and cyclic homology. However, since the description in [2] misses the parameter space S in the present paper, the relation seems not promptly apparent.

A polycylinder of radius r is by definition a domain of the form \(\{(z_{1},\cdots \,,z_{m}) \in \mathbb{C}^{m}\mid \vert z_{i} - a_{i}\vert <r\ (i = 1,\cdots \,,m)\}\) where \((a_{1},\cdots \,,a_{m}) \in \mathbb{C}^{m}\) is called the center of the polycylinder.

A parallel statement obtained by replacing the terminologies: complex manifold, holomorphically and \(\mathbb{C}^{N}\) by C ^∞ -manifold, differentiably and \(\mathbb{R}^{N}\), respectively, holds by the same proof.

Here, embeddings are not necessarily isometric.

For our later application, we may assume furthermore that φ _p is extendable to a holomorphic embedding of the ball B( p, R( p)(1 − (1 − 3b)∕(1 + b)) into \(\mathbb{C}^{N}\) since 3b < 1 and 1 − (1 − 3b)∕(1 + b)) < 1.

To be precise, one need to show that any point in D _K × S _K satisfying the relations (1) and (2) is in the image of j _K. But this can be shown by a routine work so that we omit it.

The generalization is done mainly for notational simplification replacing D(r) × S _U by W. In application in Sect. 5, we shall use relative charts only in the form (3).

The notation might have better been \(\mathcal{K}_{j,\mathbf{f}}^{\bullet,\star }\) than \(\mathcal{K}_{W/S,\mathbf{f}}^{\bullet,\star }\).

For a notational simplicity, we shall sometimes confuse the sheaf \(\Omega _{U/S}^{p}\) on U with its j-direct image \(j_{{\ast}}(\Omega _{U/S}^{p})\) on W. For instance, we shall write \(\Omega _{W/S}^{p}/\Sigma _{i=1}^{l}(f_{i} \cdot \Omega _{W/S}^{p} + df_{i} \wedge \Omega _{W/S}^{p-1}) \simeq \Omega _{U/S}^{p}\).

Usually, Koszul resolution is defined for even elements f _i’s, but here we construct a resolution for odd elements df _i’s together. The interpretation to regard it as the Koszul resolution for the odd elements df _i’s and to introduce the variables η _i was pointed out by M. Kapranov, to whom the author is grateful.

That this construction of De Rham structure is the universal construction of dg-structure on \(\mathcal{K}_{W/S,\mathbf{f}}\) extending that on \(\Omega _{W/S}^{\bullet }\) was pointed out by A. Voronov, to whom the author is grateful.

In the notation of LHS, we replaced the subscript like D _K(r) × S∕S indicating where the module is defined by \(\Phi \), since we may regard \(\mathcal{K}_{\Phi }^{p,s}\) to be a sheaf satisfying the functoriality (Lemma 12) defined on all relative charts, depending on the choice of a based lifting in Lemma 27.

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Titel: Coherence of Direct Images of the De Rham Complex
verfasst von: Kyoji Saito
Verlag: Springer International Publishing
Buch: Singularities and Computer Algebra
Print ISBN: 978-3-319-28828-4

Electronic ISBN: 978-3-319-28829-1

Copyright-Jahr: 2017
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-28829-1_11

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Abstract

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