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2014 | OriginalPaper | Buchkapitel

Composition Operators on Large Fractional Cauchy Transform Spaces

verfasst von : Yusuf Abu Muhanna, El-Bachir Yallaoui

Erschienen in: Concrete Operators, Spectral Theory, Operators in Harmonic Analysis and Approximation

Verlag: Springer Basel

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For α >0 and

z

in the unit disk

D

the spaces of fractional Cauchy transforms

F

α

are known as the family of all functions

f

(

z

) such that

f

(

z

)=

$$\int_{T}[K(\overline{x}z)]^{\alpha}d\mu(x)$$

where

K

(

z

)=(1-

z

)

-1

is the Cauchy kernel,

T

is the unit circle and μ ∈

$$\mathcal{M}$$

the set of complex Borel measure on

T

. The Banach space

F

α

may be written as

F

α

=(

F

α

)

a

⊕ (

F

α

)

s

, where (

F

α

)

a

is isomorphic to a closed subspace of

$$\mathcal{M}_a$$

the subset of absolutely continuous measures of

$$\mathcal{M}$$

, and (

F

α

)

s

is isomorphic to

$$\mathcal{M}_s$$

the subspace of

$$\mathcal{M}$$

of singular measures. In this article we show that for α ≥1, the composition operator

C

φ

is compact on

K

α

C

φ

$$C_\varphi[K^{\alpha}(\overline{x}z)]\subset(F_{\alpha})_a$$

and in doing so, extend a result due to [1] who showed that

C

φ

is compact on

F

1

if and only if

C

φ

(

F

1

) ⊂ (

F

1

)

a

.

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Metadaten
Titel
Composition Operators on Large Fractional Cauchy Transform Spaces
verfasst von
Yusuf Abu Muhanna
El-Bachir Yallaoui
Copyright-Jahr
2014
Verlag
Springer Basel
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0648-0_23