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10.08.2020 | Ausgabe 4/2020

Journal of Combinatorial Optimization 4/2020

Connected max cut is polynomial for graphs without the excluded minor \(K_5\backslash e\)

Zeitschrift:
Journal of Combinatorial Optimization > Ausgabe 4/2020
Autor:
Brahim Chaourar
Wichtige Hinweise

Publisher's Note

Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

Abstract

Given a graph \(G=(V, E)\), a connected cut \(\delta (U)\) is the set of edges of E linking all vertices of U to all vertices of \(V\backslash U\) such that the induced subgraphs G[U] and \(G[V\backslash U]\) are connected. Given a positive weight function w defined on E, the connected maximum cut problem (CMAX CUT) is to find a connected cut \(\varOmega \) such that \(w(\varOmega )\) is maximum among all connected cuts. CMAX CUT is NP-hard even for planar graphs, and thus for graph without the excluded minor \(K_5\). In this paper, we prove that CMAX CUT is polynomial for the class of graphs without the excluded minor \(K_5\backslash e\), denoted by \({\mathcal {G}}(K_5\backslash e)\). We deduce two quadratic time algorithms: one for the minimum cut problem in \({\mathcal {G}}(K_5\backslash e)\) without computing the maximum flow, and another one for Hamilton cycle problem in the class of graphs without the two excluded minors the prism \(P_6\) and \(K_{3, 3}\). This latter problem is NP-complete for maximal planar graphs.

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