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12.09.2019 | Ausgabe 2/2020

BIT Numerical Mathematics 2/2020

Convergence analysis of a finite difference scheme for a two-point boundary value problem with a Riemann–Liouville–Caputo fractional derivative

Zeitschrift:
BIT Numerical Mathematics > Ausgabe 2/2020
Autoren:
José Luis Gracia, Eugene O’Riordan, Martin Stynes
Wichtige Hinweise
The research of José Luis Gracia was partly supported by the Institute of Mathematics and Applications (IUMA), the Project MTM2016-75139-R and the Diputación General de Aragón (E24-17R). The research of Martin Stynes was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under Grant NSAF-U1930402.

Publisher's Note

Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

Abstract

The Riemann–Liouville–Caputo (RLC) derivative is a new class of derivative that is motivated by modelling considerations; it lies between the more familiar Riemann–Liouville and Caputo derivatives. The present paper studies a two-point boundary value problem on the interval [0, L] whose highest-order derivative is an RLC derivative of order \(\alpha \in (1,2)\). It is shown that the choice of boundary condition at \(x=0\) strongly influences the regularity of the solution. For the case where the solution lies in \(C^1[0,L]\cap C^{q+1}(0,L]\) for some positive integer q, a finite difference scheme is used to solve the problem numerically on a uniform mesh. In the error analysis of the scheme, the weakly singular behaviour of the solution at \(x=0\) is taken into account and it is shown that the method is almost first-order convergent. Numerical results are presented to illustrate the performance of the method.

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