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2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

Corrado Segre and Nodal Cubic Threefolds

verfasst von : Igor Dolgachev

Erschienen in: From Classical to Modern Algebraic Geometry

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

We discuss the work of Corrado Segre on nodal cubic hypersurfaces with emphasis on the cases of 6-nodal and 10-nodal cubics. In particular we discuss the Fano surface of lines and conic bundle structures on such threefolds. We review some of the modern research in algebraic geometry related to Segre’s work.

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Fußnoten
1
This fact was essentially known to Fano (1904a).
 
2
To get expected degree 15 one has to add six lines here that come from a choice of one ruling in each exceptional divisor of the resolution \( X^{\prime} \to X \).
 
Literatur
Zurück zum Zitat A. Altman, S. Kleiman, Foundations of the theory of Fano schemes. Compositio Math. 34 (1977), 3–47. A. Altman, S. Kleiman, Foundations of the theory of Fano schemes. Compositio Math. 34 (1977), 3–47.
Zurück zum Zitat A. Alzati, M. Bolognesi, A structure theorem for SU ℂ(2) and the moduli of pointed rational curves, Journal Alg. Geometry, to appear. A. Alzati, M. Bolognesi, A structure theorem for SU (2) and the moduli of pointed rational curves, Journal Alg. Geometry, to appear.
Zurück zum Zitat I. Bauer, A. Verra, The rationality of the moduli space of genus-4 curves endowed with an order-3 subgroup of their Jacobian. Michigan Math. J. 59 (2010), 483–504. I. Bauer, A. Verra, The rationality of the moduli space of genus-4 curves endowed with an order-3 subgroup of their Jacobian. Michigan Math. J. 59 (2010), 483–504.
Zurück zum Zitat A. Beauville, Variétés de Prym et jacobiennes intermédiaires, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 10 (1977), 309–391. A. Beauville, Variétés de Prym et jacobiennes intermédiaires, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 10 (1977), 309–391.
Zurück zum Zitat A. Beauville, R. Donagi, La variété des droites d’une hypersurface cubique de dimension 4. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 301 (1985), no. 14, 703–706. A. Beauville, R. Donagi, La variété des droites d’une hypersurface cubique de dimension 4. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 301 (1985), no. 14, 703–706.
Zurück zum Zitat G. Castelnuovo, Ricerche di geometria della rette nello spazio a quattro dimensioni, Atti. Ist. Veneto, 7 (1891), 855–901. G. Castelnuovo, Ricerche di geometria della rette nello spazio a quattro dimensioni, Atti. Ist. Veneto, 7 (1891), 855–901.
Zurück zum Zitat H. Clemens, Ph. Griffiths, The intermediate Jacobian of the cubic threefold. Ann. of Math. (2) 95 (1972), 281–356. H. Clemens, Ph. Griffiths, The intermediate Jacobian of the cubic threefold. Ann. of Math. (2) 95 (1972), 281–356.
Zurück zum Zitat A. Coble, Point sets and allied Cremona groups. I, Trans. Amer. Math. Soc. Part I 16 (1915), 155–198. A. Coble, Point sets and allied Cremona groups. I, Trans. Amer. Math. Soc. Part I 16 (1915), 155–198.
Zurück zum Zitat A. Coble, A Generalization of the Weddle Surface, of Its Cremona Group, and of Its Parametric Expression in Terms of Hyperelliptic Theta Functions. Amer. J. Math. 52 (1930), 439–500. A. Coble, A Generalization of the Weddle Surface, of Its Cremona Group, and of Its Parametric Expression in Terms of Hyperelliptic Theta Functions. Amer. J. Math. 52 (1930), 439–500.
Zurück zum Zitat I. Dolgachev, On certain families of elliptic curves in projective space. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 183 (2004), 317–331. I. Dolgachev, On certain families of elliptic curves in projective space. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 183 (2004), 317–331.
Zurück zum Zitat I. Dolgachev, Classical algebraic geometry:a modern view, Cambridge Univ. Press, 2012. I. Dolgachev, Classical algebraic geometry:a modern view, Cambridge Univ. Press, 2012.
Zurück zum Zitat G. Fano, Sulle superficie algebriche contenute in una variet cubica dello spazio a quattro dimensioni. Atti R. Acc. Sci. Torino 39 (1904a), 597–613. G. Fano, Sulle superficie algebriche contenute in una variet cubica dello spazio a quattro dimensioni. Atti R. Acc. Sci. Torino 39 (1904a), 597–613.
Zurück zum Zitat G. Fano, Sul sistema ∞3 di rette contenuto in una quadrica dello spazio a quattro dimensioni. Atti R. Acc. Sci. Torino 39 (1904b), 778–792. G. Fano, Sul sistema3 di rette contenuto in una quadrica dello spazio a quattro dimensioni. Atti R. Acc. Sci. Torino 39 (1904b), 778–792.
Zurück zum Zitat H. Finkelnberg, Small resolutions of the Segre cubic. Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 49 (1987), 261–277. H. Finkelnberg, Small resolutions of the Segre cubic. Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 49 (1987), 261–277.
Zurück zum Zitat H. Finkelnberg, J. Werner, Small resolutions of nodal cubic threefolds. Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 51 (1989), 185–198. H. Finkelnberg, J. Werner, Small resolutions of nodal cubic threefolds. Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 51 (1989), 185–198.
Zurück zum Zitat T. Gwena, Degenerations of cubic threefolds and matroids. Proc. Amer. Math. Soc. 133 (2005), no. 5, 1317–1323 (electronic). T. Gwena, Degenerations of cubic threefolds and matroids. Proc. Amer. Math. Soc. 133 (2005), no. 5, 1317–1323 (electronic).
Zurück zum Zitat B. Hassett, Yu. Tschinkel, Flops on holomorphic symplectic fourfolds and determinantal cubic hypersurfaces. J. Inst. Math. Jussieu 9 (2010), 125–153. B. Hassett, Yu. Tschinkel, Flops on holomorphic symplectic fourfolds and determinantal cubic hypersurfaces. J. Inst. Math. Jussieu 9 (2010), 125–153.
Zurück zum Zitat V. Iskovskikh, Yu. Prokhorov, Fano varieties. Algebraic geometry, V, 1–247, Encyclopaedia Math. Sci., 47, Springer, Berlin, 1999. V. Iskovskikh, Yu. Prokhorov, Fano varieties. Algebraic geometry, V, 1–247, Encyclopaedia Math. Sci., 47, Springer, Berlin, 1999.
Zurück zum Zitat P. Joubert, Sur l’equation du sixieme degré, Comptes Rendus hepdomadaires des séances de l’Académie des sciences, 64 (1867), 1025–1029, 1081–1085. P. Joubert, Sur l’equation du sixieme degré, Comptes Rendus hepdomadaires des séances de l’Académie des sciences, 64 (1867), 1025–1029, 1081–1085.
Zurück zum Zitat M. Kapranov, Chow quotients of Grassmannians. I. I. M. Gelfand Seminar, 29–110, Adv. Soviet Math., 16, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993. M. Kapranov, Chow quotients of Grassmannians. I. I. M. Gelfand Seminar, 29–110, Adv. Soviet Math., 16, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993.
Zurück zum Zitat C. Kumar, Invariant vector bundles of rank 2 on hyperelliptic curves. Michigan Math. J. 47 (2000), 575–584. C. Kumar, Invariant vector bundles of rank 2 on hyperelliptic curves. Michigan Math. J. 47 (2000), 575–584.
Zurück zum Zitat S. Mukai, Symplectic structure of the moduli space of sheaves on an abelian or K3 surface. Invent. Math. 77 (1984), 101–116. S. Mukai, Symplectic structure of the moduli space of sheaves on an abelian or K3 surface. Invent. Math. 77 (1984), 101–116.
Zurück zum Zitat H.W. Richmond, Concerning the locus Σ(t r 3 ) = 0; Σ(t r ) = 0 (r = 1,2,3,4,5,6), Quart. J. Math. 34 (1902), 117–154. H.W. Richmond, Concerning the locus Σ(t r 3 ) = 0; Σ(t r ) = 0 (r = 1,2,3,4,5,6), Quart. J. Math. 34 (1902), 117–154.
Zurück zum Zitat C. Segre, Sulle varietà cubica con dieci punti doppi dello spazio a quattro dimensioni, Atti Accad. Sci. Torino, 22 (1886/87) 791–801 [Opere: v. 4, n. 63]. C. Segre, Sulle varietà cubica con dieci punti doppi dello spazio a quattro dimensioni, Atti Accad. Sci. Torino, 22 (1886/87) 791–801 [Opere: v. 4, n. 63].
Zurück zum Zitat C. Segre, Sulle varietá cubiche dello spazio a quattro dimensioni e su certi sistemi di rette e certe superficie dello spazio ordinario. Mem. Acad. Sci. Torino (2) 39 (1887), 2–48. C. Segre, Sulle varietá cubiche dello spazio a quattro dimensioni e su certi sistemi di rette e certe superficie dello spazio ordinario. Mem. Acad. Sci. Torino (2) 39 (1887), 2–48.
Metadaten
Titel
Corrado Segre and Nodal Cubic Threefolds
verfasst von
Igor Dolgachev
Copyright-Jahr
2016
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-32994-9_11