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Über dieses Buch

Was ist Mathematik? Was macht sie so spannend? Und wie forschen Mathematiker eigentlich?

Das Geheimnis der transzendenten Zahlen ist eine Einführung in die Mathematik, bei der diese Fragen im Zentrum stehen.

Sie brauchen dazu keine Vorkenntnisse. Aufbauend auf den natürlichen Zahlen 0,1,2,3,... beginnt eine Reise durch verschiedene Gebiete dieser lebendigen Wissenschaft. Ziel der Reise sind die großen Entdeckungen, mit denen Jahrtausende alte Rätsel aus der Antike gelöst wurden. Den roten Faden bildet die berühmte Frage nach der Quadratur des Kreises, die eng mit transzendenten Zahlen verbunden ist.

Das Buch zeigt, wie Mathematiker mit Neugier forschen, immer neue Fragen stellen und dabei überraschende Zusammenhänge finden. Es richtet sich an Studierende, Lehrer, Schüler und Laien, die auch auf diesen Pfaden wandeln wollen.

Das Werk wurde für die 2. Auflage vollständig überarbeitet, durch intuitive Argumente vereinfacht und um das berühmte siebte Hilbert'sche Problem erweitert.

Stimme zum Buch:

„Fridtjof Toenniessen führt den Leser mit seinem klaren, einfühlsamen und auch kurzweiligen Stil auf einen Weg, der von der Schulmathematik über Grundbegriffe der Hochschulmathematik bis hin zu ausgewählten Höhepunkten der modernen Zahlentheorie führt und leistet damit einen wichtigen Beitrag, um den Übergang von der Schule zur Hochschule zu erleichtern. Dieses Buch lebt von der Faszination der Welt der Zahlen und der Begeisterung des Autors für dieses Gebiet. Besonders gut finde ich, dass auch Beweistechniken und die Methode der Abstraktion, die die Mathematik auszeichnen, nicht verborgen werden, sondern – im Gegenteil – in den Blickpunkt rücken." Prof. Dr. Stefan Müller-Stach, Universität Mainz

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Vorgeschichte

Zusammenfassung
Herzlich willkommen auf einer Entdeckungsreise durch die Mathematik. Ganz zu Beginn möchte ich Ihnen ein wenig vom Wesen dieser faszinierenden Wissenschaft erzählen. Es soll Sie einstimmen auf das, was uns später in den Tiefen des Zahlenreichs erwartet.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 2. Die natürlichen Zahlen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wollen wir die Grundlagen für alles Weitere auf unserem Streifzug durch die Mathematik legen. Nach der kleinen Vorgeschichte geht es nun also richtig los. Sind Sie bereit? Um die großen Fragen der alten Griechen zu beantworten, begeben wir uns jetzt in das Reich der Zahlen.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 3. Elemente und Mengen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel geht es kurz und knapp um einige Aspekte der Mengenlehre. Das klingt zunächst trocken und abstrakt. Warum also die Mühe?
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 4. Die ganzen Zahlen

Zusammenfassung
Willkommen auf dem nächsten Schritt unserer Reise durch die Mathematik. Wir wollen nun die natürlichen Zahlen erweitern, um uns insbesondere mit der Subtraktion anzufreunden und schließlich zu einer ersten bedeutenden algebraischen Struktur zu gelangen. Nicht zuletzt hilft uns die Erweiterung des Zahlenraumes dabei, zwei der drei Vermutungen zu beweisen, die wir im Kapitel über die natürlichen Zahlen aufgestellt haben.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 5. Die rationalen Zahlen

Zusammenfassung
Nachdem wir auf dem Weg zu den ganzen Zahlen so schwer gearbeitet haben, können wir nun die Früchte ernten. Denn die rationalen Zahlen entstehen durch die gleiche Konstruktion, welche uns von den natürlichen zu den ganzen Zahlen geführt hat. Merken Sie den Vorteil? Einmal richtig investiert, bekommt man später vieles geschenkt.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 6. Die reellen Zahlen

Zusammenfassung
Wir haben im vergangenen Kapitel den Körper der rationalen Zahlen kennen gelernt. Salopp gesprochen, sind das die ganzzahligen Brüche, und diese liegen dicht auf dem Zahlenstrahl. Am Ende bemerkten wir durch die Darstellung der rationalen Zahlen als Dezimalbrüche, dass noch sehr viele „Zahlen“ fehlen, nämlich genau die nicht periodischen Dezimalbrüche wie zum Beispiel.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 7. Die komplexen Zahlen

Zusammenfassung
Die komplexen Zahlen wurden schon vor mehr als 200 Jahren entdeckt und etwa zeitgleich von dem Franzosen AUGUSTIN LOUIS CAUCHY und CARL FRIEDRICH GAUSS systematisch eingeführt. Vor allem durch GAUSS haben sie ihre große Bedeutung entfaltet, viele von Ihnen haben bestimmt schon von der „GAUSSschen Zahlenebene“ gehört oder gelesen. Die komplexen Zahlen sind ein wunderbares Beispiel dafür, wie man in der Mathematik reich belohnt wird für den Mut, das Vorstellbare zu verlassen.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 8. Elemente der linearen Algebra

Zusammenfassung
Sie haben den Streifzug durch den Zahlen-Dschungel erfolgreich hinter sich gebracht, herzlichen Glückwunsch! In diesem Kapitel fangen wir damit an, unser Wissen auszubauen und spannende Zusammenhänge zu entdecken. Wir beginnen mit der linearen Algebra und werden dabei einen wichtigen Baustein finden, um den transzendenten Zahlen auf die Spur zu kommen. Lassen Sie mich dieses Teilgebiet der Mathematik kurz motivieren.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 9. Funktionen und Stetigkeit

Zusammenfassung
Nachdem wir einige algebraische Grundlagen kennen gelernt haben, wenden wir uns erstmals systematisch der Analysis zu. Es ist das Gebiet der Mathematik, welches sich mit den reellen und komplexen Zahlen beschäftigt, mit dem Mysterium der Grenzwerte und der Unendlichkeit. Mit der Unendlichkeit haben wir schon früher erste Bekanntschaft gemacht.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 10. Algebra und algebraische Zahlentheorie

Zusammenfassung
Nach den Abstechern in die lineare Algebra und die Analysis haben wir bereits alle Mittel zur Hand, um richtig spannende Algebra zu betreiben. Dieses Gebiet spielt eine Schlüsselrolle bei der Suche nach transzendenten Zahlen.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 11. Die ersten transzendenten Zahlen

Zusammenfassung
Endlich ist es soweit, Sie haben viel Geduld aufbringen müssen und eine Menge Denkarbeit investiert. Wir sind nun im Besitz der mathematischen Möglichkeiten, um die ersten transzendenten Zahlen zu entdecken.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 12. Differentialrechnung

Zusammenfassung
Wir haben in den Tiefen des Zahlenmeeres erste Exemplare transzendenter Zahlen entdeckt, sogar überabzählbar viele konnten wir gedanklich konstruieren. Diese waren aber rein theoretischer Natur und haben sich mit algebraischen Argumenten fast „zufällig“ ergeben. Viel schwieriger ist es, bei vorgegebenen Zahlen zu beweisen, dass sie transzendent sind – zum Beispiel bei e oder der berühmten Kreiszahl π, die wir im nächsten Kapitel genauer untersuchen (Seite 271 f).
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 13. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Zusammenfassung
Willkommen zu einem Kapitel mit besonders schönen Anwendungen in der Mathematik. Erinnern Sie sich an die Vorgeschichte dieses Buches, an die Zeit der griechischen Antike und der damals entdeckten geometrischen Probleme. Wir können unsere bisherigen Erkenntnisse verwenden, um auf viele der klassischen Fragen eine Antwort zu geben.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 14. Integralrechnung

Zusammenfassung
Willkommen zu einem Kapitel, dessen Inhalt auf bemerkenswerte Weise mit dem Kapitel über die Differentialrechnung verbunden ist. Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung die wichtigste Anwendung der Grenzwerte in der Analysis. Wir werden hier einen großartigen Zusammenhang finden, das Fundament der gesamten Analysis.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 15. Erste Erkenntnisse über e und π

Zusammenfassung
Im vorigen Kapitel haben wir das Wissen erarbeitet, um die Eulersche Zahl e und die Kreiszahl π genauer untersuchen zu können. Dabei erwarten uns neben einer verblüffenden Darstellung von π auch eine sehr nützliche asymptotische Formel, die beide Zahlen verbindet und später in einen großen Transzendenzbeweis mündet. Abschließend wird, als ein erster Meilenstein bei der Untersuchung der beiden Zahlen, deren Irrationalität bewiesen.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 16. Elemente der Analysis im 18. Jahrhundert

Zusammenfassung
Auf unserer Reise durch die Mathematik haben wir schon viele Sehenswürdigkeiten erlebt. Manchmal war es ganz leicht, manchmal auch etwas unbequemer, an die begehrten Aussichtspunkte zu gelangen. In der Algebra sind wir über den Schulstoff hinausgegangen und haben vor allem mit Körpererweiterungen gearbeitet.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 17. Elemente der Funktionentheorie

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir die Theorie vollenden, die uns zu den großen Transzendenzbeweisen führt. Sie haben eine erstaunliche Wegstrecke hinter sich gebracht, Kompliment! Halten Sie noch ein wenig durch, das mächtige Gipfelkreuz ist schon in Sichtweite gerückt. Wir setzen die Ergebnisse des vorangegangenen Kapitels nun zu einem mathematischen Gebäude von großer Eleganz zusammen, der sogenannten Funktionentheorie.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 18. Der große Transzendenzbeweis

Zusammenfassung
Herzlich willkommen zum Höhepunkt des Buches. Wir werden in diesem Kapitel ein wenig von dem erleben, was den Reiz anspruchsvoller Mathematik ausmacht, Forschung im 20. Jahrhundert.
Fridtjof Toenniessen

Kapitel 19. Weitere Ergebnisse zu transzendenten Zahlen

Zusammenfassung
Sie haben eine große Rundreise durch die Mathematik hinter sich. Angefangen bei den elementaren Grundlagen, welche schon in den ersten Schuljahren vermittelt werden, haben wir uns in mehreren Stationen aufgeschwungen bis hin zum siebten HILBERTschen Problem, wonach zum Beispiel die Zahlen 2√² oder eπ transzendent sind, oder zu der Transzendenz von π selbst, dem vielleicht bedeutendsten Einzelresultat im Reich der Zahlen. Dabei haben Sie viele Sehenswürdigkeiten genießen können und durch die lückenlosen Beweise erlebt, wie Mathematiker arbeiten und Mathematik letztlich funktioniert.
Fridtjof Toenniessen

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