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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Vorgeschichte

Herzlich willkommen auf einer Entdeckungsreise durch die Mathematik. Ganz zu Beginn möchte ich Ihnen ein wenig vom Wesen dieser faszinierenden Wissenschaft erzählen. Es soll Sie einstimmen auf das, was uns später in den Tiefen des Zahlenreichs erwartet.

Fridtjof Toenniessen

2. Die natürlichen Zahlen

In diesem Kapitel wollen wir die Grundlagen für alles Weitere auf unserem Streifzug durch die Mathematik legen. Nach der kleinen Vorgeschichte geht es nun also richtig los. Sind Sie bereit? Um die großen Fragen der alten Griechen zu beantworten, begeben wir uns jetzt in das Reich der Zahlen.

Fridtjof Toenniessen

3. Elemente und Mengen

In diesem Kapitel geht es kurz und knapp um einige Aspekte der Mengenlehre. Das klingt zunächst trocken und abstrakt. Warum also die Mühe?

Fridtjof Toenniessen

4. Die ganzen Zahlen

Willkommen auf dem nächsten Schritt unserer Reise durch die Mathematik. Wir wollen nun die natürlichen Zahlen erweitern, um uns insbesondere mit der

Subtraktion

anzufreunden und schließlich zu einer ersten bedeutenden algebraischen Struktur zu gelangen. Nicht zuletzt hilft uns die Erweiterung des Zahlenraumes dabei, zwei der drei Vermutungen zu beweisen, die wir im Kapitel über die natürlichen Zahlen aufgestellt haben.

Fridtjof Toenniessen

5. Die rationalen Zahlen

Nachdem wir auf dem Weg zu den ganzen Zahlen so schwer gearbeitet haben, können wir nun die Früchte ernten. Denn die rationalen Zahlen entstehen durch die gleiche Konstruktion, welche uns von den natürlichen zu den ganzen Zahlen geführt hat. Merken Sie den Vorteil? Einmal richtig investiert, bekommt man später vieles geschenkt. Das werden wir auf unserer Reise durch die Mathematik noch mehrmals erleben.

Fridtjof Toenniessen

6. Die reellen Zahlen

Wir haben im vergangenen Kapitel den Körper der rationalen Zahlen kennen gelernt. Salopp gesprochen, sind das die ganzzahligen Brüche, und diese liegen dicht auf dem Zahlenstrahl. Am Ende bemerkten wir durch die Darstellung der rationalen Zahlen als Dezimalbrüche, dass noch sehr viele „Zahlen“ fehlen, nämlich genau die nicht periodischen Dezimalbrüche wie zum Beispiel

Fridtjof Toenniessen

7. Die komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen wurden schon vor mehr als 200 Jahren entdeckt und etwa zeitgleich von dem Franzosen A

ugustin

L

ouis

C

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und C

arl

F

riedrich

G

auss

systematisch eingeführt. Vor allem durch G

auss

haben sie ihre große Bedeutung entfaltet, viele von Ihnen haben bestimmt schon von der „G

auss

schen Zahlenebene“ gehört oder gelesen. Die komplexen Zahlen sind ein wunderbares Beispiel dafür, wie man in der Mathematik reich belohnt wird für den Mut, das Vorstellbare zu verlassen. Wir gewinnen wichtige Erkenntnisse von praktischer Bedeutung, diese Zahlen sind aus der Physik und den modernen Ingenieurwissenschaften nicht mehr wegzudenken.

Fridtjof Toenniessen

8. Elemente der linearen Algebra

Sie haben den Streifzug durch den Zahlen-Dschungel erfolgreich hinter sich gebracht, herzlichen Glückwunsch! In diesem Kapitel fangen wir damit an, unser Wissen auszubauen und spannende Zusammenhänge zu entdecken. Wir beginnen mit der linearen Algebra und werden dabei einen wichtigen Baustein finden, um den transzendenten Zahlen auf die Spur zu kommen. Lassen Sie mich dieses Teilgebiet der Mathematik kurz motivieren.

Fridtjof Toenniessen

9. Funktionen und Stetigkeit

Nachdem wir einige algebraische Grundlagen kennen gelernt haben, wenden wir uns erstmals systematisch der

Analysis

zu. Es ist das Gebiet der Mathematik, welches sich mit den reellen und komplexen Zahlen beschäftigt, mit dem Mysterium der Grenzwerte und der Unendlichkeit. Mit der Unendlichkeit haben wir schon früher erste Bekanntschaft gemacht. Sie ist einerseits unvorstellbar, unfassbar – aber wenn wir bereit sind, uns auf das Abenteuer einzulassen, ernten wir wenig später reiche Früchte.

Fridtjof Toenniessen

10. Elemente der klassischen Algebra

Nach den Abstechern in die lineare Algebra und die Analysis haben wir bereits alle Mittel zur Hand, um richtig spannende Algebra zu betreiben. Dieses Gebiet spielt eine Schlüsselrolle bei der Suche nach transzendenten Zahlen.

Fridtjof Toenniessen

11. Die ersten transzendenten Zahlen

Endlich ist es soweit, Sie haben viel Geduld aufbringen müssen und eine Menge Denkarbeit investiert. Wir sind nun im Besitz der mathematischen Möglichkeiten, um die ersten transzendenten Zahlen zu entdecken.

Fridtjof Toenniessen

12. Die Exponentialfunktion im Komplexen

Willkommen zurück in der Analysis. Wir werden jetzt unseren Horizont erweitern und die analytischen Konzepte aus dem Kapitel über stetige Funktionen auf den Körper ℂ übertragen. Damit betreten wir Neuland. Genau wie die Mathematiker vor über 200 Jahren, die Zeugen ganz besonderer Entdeckungen wurden.

Fridtjof Toenniessen

13. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Willkommen zu einem Kapitel mit besonders schönen Anwendungen in der Mathematik. Erinnern Sie sich an die Vorgeschichte dieses Buches, an die Zeit der griechischen Antike und der damals entdeckten geometrischen Probleme. Wir können unsere bisherigen Erkenntnisse verwenden, um auf viele der klassischen Fragen eine Antwort zu geben.

Fridtjof Toenniessen

14. Differenzialrechnung

Wir haben in den Tiefen des Zahlenmeeres erste Exemplare transzendenter Zahlen entdeckt und danach algebraische Konzepte auf die großen antiken Fragen der Mathematik angewendet. Die Quadratur des Kreises ist das einzige dieser Rätsel, welches wir noch nicht beantworten konnten. Immerhin, einen vielversprechenden Ansatz haben wir gefunden: Wir müssten zeigen, dass π transzendent ist, um die Frage definitiv verneinen zu können (Seite 256). π ist aber keine L

iouville

sche Zahl, weswegen wir ganz andere Wege beschreiten müssen. Sie führen uns wieder zur Analysis.

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15. Integralrechnung

Willkommen zu einem Kapitel, dessen Inhalt auf bemerkenswerte Weise mit dem vorigen Kapitel verbunden ist. Die Integralrechnung ist neben der Differenzialrechnung die wichtigste Anwendung der Grenzwerte in der Analysis. Wir werden hier einen großartigen Zusammenhang finden, das Fundament der gesamten Analysis. Eine Vielzahl von Anwendungen in der Mathematik, den Naturwissenschaften und der Technik sprechen für die Tragweite dieser Entdeckungen.

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16. Erste Erkenntnisse über e und π

Im vorigen Kapitel haben wir das Wissen erarbeitet, um die Eulersche Zahl e und die Kreiszahl π genauer untersuchen zu können. Dabei erwarten uns neben einer verblüffenden Darstellung von π auch eine sehr nützliche asymptotische Formel, die beide Zahlen verbindet und später in einen großen Transzendenzbeweis mündet. Abschließend wird, als ein erster Meilenstein bei der Untersuchung der beiden Zahlen, deren Irrationalität bewiesen.

Fridtjof Toenniessen

17. Elemente der Analysis im 18. Jahrhundert

Auf unserer Reise durch dieMathematik haben wir schon viele Sehenswürdigkeiten erlebt. Manchmal war es ganz leicht, manchmal auch etwas unbequemer, an die begehrten Aussichtspunkte zu gelangen. In der Algebra sind wir über den Schulstoff hinausgegangen und haben vor allem mit Körpererweiterungen gearbeitet. Ab diesem Kapitel werden wir auch in der Analysis den Schulstoff verlassen, um uns den großen Fragen der Transzendenz zuwenden zu können. Bleiben Sie dabei, das Beste kommt noch. Es warten verblüffende und großartige Ergebnisse.

Fridtjof Toenniessen

18. Elemente der Funktionentheorie

In diesem Kapitel werden wir die Theorie vollenden, die uns zu den großen Transzendenzbeweisen führt. Sie haben eine erstaunliche Wegstrecke hinter sich gebracht, Kompliment! Halten Sie noch ein wenig durch, das mächtige Gipfelkreuz ist schon in Sichtweite gerückt. Wir setzen die Ergebnisse des vorangegangenen Kapitels nun zu einem mathematischen Gebäude von großer Eleganz zusammen, der sogenannten

Funktionentheorie

. Sie beschäftigt sich mit der Analysis in den komplexen Zahlen ℂ.

Fridtjof Toenniessen

19. Die Transzendenz von e und π

Herzlich willkommen zum Höhepunkt des Buches. Wir werden in diesem Kapitel ein wenig von dem erleben, was den Reiz äußerst anspruchsvoller Mathematik ausmacht, Forschung im 20. Jahrhundert. Ich hoffe, die Faszination ergreift auch Sie, wenn Algebra, Analysis und Funktionentheorie, ja sogar Elemente der Numerik sich mit der Zahlentheorie vereinen und nach mehr als 2000 Jahren der Ungewissheit zu einer bestechend schönen Lösung des Problems der Quadratur des Kreises beitragen.

Fridtjof Toenniessen

20. Weitere Ergebnisse zu transzendenten Zahlen

Sie haben eine große Rundreise durch die Mathematik hinter sich. Angefangen bei den elementaren Grundlagen, welche schon in den ersten Schuljahren vermittelt werden, haben wir uns in mehreren Stationen aufgeschwungen bis hin zur Transzendenz der Zahl π, dem vielleicht bedeutendsten Einzelresultat im Reich der Zahlen. Dabei haben Sie viele Sehenswürdigkeiten genießen können und durch die lückenlosen Beweise erlebt, wie Mathematiker arbeiten und Mathematik letztlich funktioniert.

Fridtjof Toenniessen

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