Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Seit Jahrhunderten sind Menschen fasziniert von Zahlen. Zahlen sind jedem vertraut und bilden ein wesentliches Fundament für unser Verständnis der Welt. Und doch ist uns das Zahlensystem nicht „einfach so“ gegeben, sondern es hat sich über Jahrtausende entwickelt. Trotz aller Fortschritte kann auch heute noch jedes Kind Fragen in Bezug auf Zahlen stellen, die niemand beantworten kann. Viele ungelöste Probleme im Zusammenhang mit Zahlen erscheinen wie skurrile Seltsamkeiten von geringem Nutzen, andere wiederum behindern den grundlegenden Fortschritt in wichtigen Forschungsbereichen der modernen Mathematik.

Peter Higgins verarbeitet Jahrhunderte des Fortschritts zu einer erbaulichen Erzählung, die das Geheimnisvolle der Zahlen hervorhebt und erklärt, wie die verschiedenen Arten von Zahlen aufgetaucht sind und weshalb sie nützlich sind. Das Buch enthält viele historische Anmerkungen und interessante Beispiele, und es behandelt einfache Zahlenrätsel und Zaubertricks ebenso wie aufschlussreiche Verbindungen zu Problemen des Alltags: Wie bleiben beim Shoppen im Internet Einzelheiten zu unseren Bankdaten geheim? Wie groß sind die Chancen, beim Russisch Roulette zu gewinnen oder einen Flush im Poker zu erhalten?

Higgins gelingt eine gut lesbare Mischung aus leichteren Inhalten und schwierigeren Ideen über das Unendliche und die komplexen Zahlen. Und für alle, die gerne eine vollständige Erklärung mögen, behandelt ein abschließendes Kapitel „Für Kenner und Genießer“ nochmals spezielle Aussagen und Beispiele des Buchs in der Sprache der Mathematik.

Auch heute lernen wir immer noch Neues über die Zahlen, und dieses Buch lädt uns dazu ein, die Geheimnisse und die Schönheit der Zahlen neu zu entdecken, und es erinnert uns daran, dass die Erforschung der Zahlen eine sehr lange Geschichte hat und noch haben wird.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Die ersten Zahlen

Zusammenfassung
„Alles ist Zahl“, sagte vor über 2500 Jahren Pythagoras. Damit meinte er, dass die Natur in ihren Grundlagen von mathematischem Charakter ist und sich durch Zahlen und Zahlenverhältnisse beschreiben lässt. Hatte er Recht? Die knappe Antwort lautet „Nein“, wie er angeblich selbst herausgefunden haben soll.
Tatsächlich haben die Anhänger von Pythagoras entdeckt, wie sich bestimmte Aspekte der Welt durch Zahlen beschreiben lassen. Pythagoras ist am ehesten wegen seines berühmten Satzes bekannt, der die Seitenlängen eines rechteckigen Dreiecks zueinander in Beziehung setzt. In moderner Sprechweise würde man sagen, dass sich die genaue Distanz zwischen zwei Punkten aus ihren Koordinaten berechnen lässt. Diese Entdeckung machte es möglich, den räumlichen Abstand aus anderen Messgrößen exakt zu bestimmen, und war damit ein wichtiger Fortschritt. Etwas weniger bekannt ist vielleicht, dass Pythagoras auch angeblich die einfachen Zahlenverhältnisse gefunden hat, die reinen musikalischen Akkorden zugrunde liegen. Von ihrem Erfolg geblendet muss es den Pythagoräern so vorgekommen sein, als ob sich jeder Aspekt der Welt durch Zahlen beschreiben ließe, denn ihre Entdeckungen waren wirklich erstaunlich. Die Klarheit und Einfachheit, die in den pythagoräischen Gesetzen zum Ausdruck kamen, waren von einer noch nie zuvor gekannten Form.
Peter M. Higgins

2. Die Entdeckung der Zahlen

Zusammenfassung
Auch wenn uns Zahlen sehr vertraut sind, sollte man sich immer vor Augen halten, dass sie keine physikalische Existenz haben, sondern dass es sich eher um Abstraktionen handelt, die aus der wirklichen Welt gewonnen wurden. Von zwei Mengen sagt man, sie haben dieselbe Anzahl von Elementen, wenn die Elemente der Mengen paarweise einander zugeordnet werden können, wie in dem Film „Seven Brides for Seven Brothers“ („Eine Braut für sieben Brüder“). Die Zahl der Elemente in einer endlichen Menge gilt als kleiner als die Zahl der Elemente in einer anderen, wenn die Elemente dieser ersten Menge mit nur einem Teil der zweiten Menge gepaart werden können. So war es bei unserem Beispiel mit den Spielzeugen für die Kinder bei einer Geburtstagsfeier. Dadurch erhält die Menge der Zahlen eine natürlich ansteigende Ordnung. Da wir in der Kindheit alle gelernt haben zu zählen, können wir nur mit Mühe nachvollziehen, weshalb das Zählen eigentlich etwas Schwieriges ist. Es war sicherlich nicht leicht, bis man erkannt und in Worte gefasst hatte, dass ein Kaninchenpaar und zwei Tage etwas Gemeinsames haben. Letztendlich wichtig ist natürlich, dass der Mann mit den Kaninchen für jeden der nächsten beiden Tage etwas zu essen hat.
Peter M. Higgins

3. Zahlentricks

Zusammenfassung
Der Science-Fiction-Autor Isaac Asimov gelangte vor einigen Jahren wieder zu Ruhm durch den Film I Robot, der auf seinen drei Gesetzen der Robotik beruht – drei unabdingbare Grundgebote für das Verhalten von Maschinen, um sicherzustellen, dass sie keinen Schaden anrichten. Eine seiner weniger bekannten Kurzgeschichten handelt von einer „fortgeschrittenen Gesellschaft“, die vollständig von Maschinen abhängig ist und alles, was sie jemals über den Umgang mit Zahlen wusste, vergessen hat. Eines Tages entdeckt eine unerschrockene Seele all die Geheimnisse wieder, mit denen man selbst Berechnungen durchführen kann, und sie versetzt mit diesen scheinbar überirdischen Fähigkeiten alle in Staunen. Arithmetik wird plötzlich Mode, und die Bürger ergehen sich in fieberhaften Spekulationen, wie sie ihre neu gewonnenen Fertigkeiten und Unabhängigkeiten ausnutzen können.
Wollen wir hoffen, dass es nie soweit kommen wird. Aber wir müssen zugeben, dass diese Geschichte heute weitaus weniger absurd klingt als noch vor rund vierzig Jahren, als sie entstand. Taschenrechner sind schön und gut, doch wir sollten nicht zulassen, dass sie uns unserer intellektuellen Würde berauben – diese Geräte sollten unser Leben bequemer machen, aber wir sollten nicht von ihnen abhängig werden. Dabei geht es nicht nur um unseren Stolz. Ein Taschenrechner ist für jemanden, der kein wirkliches Gefühl für Zahlen hat, nur von begrenztem Nutzen. Ein Fehler bei der Eingabe bleibt unentdeckt, und die möglicherweise lächerliche Antwort wird unkritisch übernommen.
Peter M. Higgins

4. Trickreiche Zahlen

Zusammenfassung
Die traditionelle Zahlenkunde konzentrierte sich meist auf einzelne Zahlen mit besonderen Eigenschaften, wie beispielsweise die im ersten Kapitel erwähnten vollkommenen Zahlen. Ein Zahlenpaar, das die allgemeinen Fantasien angeregt hat, ist 220 und 284, das erste sogenannte befreundete Zahlenpaar. Damit ist gemeint, dass die Summe der Faktoren von jeder der beiden Zahlen gerade die andere Zahl ergibt – eine Art der erweiterten Vollkommenheit für Zahlenpaare. Wenn Liebende voneinander getrennt waren, trugen sie oft als Zeichen ihrer Bindung ein Schmuckstück, das mit der einen oder anderen dieser beiden Zahlen verziert war. Fermat (1601–1665) fand weitere befreundete Zahlenpaare, beispielsweise 17 296 und 18 415, und Euler (1707–1783) fand sogar mehrere Duzend solcher befreundeten Paare. Überraschenderweise übersahen sie alle das vergleichsweise kleine Paar 1184 und 1210, das im Jahre 1866 von dem 16 Jahre alten Nicolo Pagnini entdeckt wurde. Natürlich können wir auch versuchen, über Zahlenpaare hinauszugehen und nach vollkommenen Tripletts, Quadrupletts usw. Ausschau halten. Diese längeren Zyklen sind selten, aber es gibt sie.
Peter M. Higgins

5. Nützliche Zahlen

Zusammenfassung
Prozente, Verhältnisse und Wahrscheinlichkeiten
Nach einer Form der Zahlenangabe scheint die moderne Welt süchtig zu sein – dem Prozent. Dafür gibt es natürlich gute Gründe. Es geht ständig um Dinge wie Wachstum oder einen bestimmten Anteil von Populationen, andererseits lieben wir Brüche nicht besonders, und selbst der Bezug auf unhandliche Dezimalbrüche ist für eine Alltagsunterhaltung oft ungeeignet. Die Prozentangabe ist eine einfache Idee, die hier zur Hilfe kommt. Wir alle ziehen ganze Zahlen den Brüchen und Dezimalbrüchen vor, und wir rechnen auch lieber mit kleinen Zahlen als mit großen. Daher denken wir uns jede messbare Sache als aus 100 Teilen bestehend – wie immer soll unser System auf einer Potenz von 10 beruhen, und eine Unterteilung in 10 Teile wäre für ein nützliches Maß etwas zu grob, also nimmt man 100. Ein Prozent ist daher dasselbe, wie der 1=100. Teil der Sache, um die es gerade geht.Will man einen Bruch oder eine Dezimalzahl in Prozent umrechnen, muss man lediglich mit 100 multiplizieren.
Peter M. Higgins

6. Auf der Suche nach neuen Zahlen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel fassen wir die natürlichen Zahlen, wie man sie allgemein nennt, als gegeben auf, wobei diese mit der Zahl Null beginnen sollen: 0, 1, 2, .... Davon ausgehend werden wir sehen, wohin uns die natürlichen Fragen und Rechenoperationen der Arithmetik führen. Dabei kommen wir auch auf die knifflige Frage zurück, was das Ergebnis von 3 – 4 ist. Eine Möglichkeit wäre, dass diese Frage keine Antwort hat (erinnern wir uns an das Argument mit den Enten), und damit geben wir uns einfach zufrieden. Man kann sich auf den Standpunkt stellen, dass jeder Versuch, irgendwelche neuen Zahlen zu erfinden, um unseren numerischen Appetit zu stillen, ohnehin von vorneherein zum Scheitern verurteilt ist und nur verwirrt, da eine solche Zahl inhärent keine Bedeutung hat.
Das erscheint ein vernünftiger Standpunkt, aber es ist halt nur ein Standpunkt.Wie jede Vorhersage auf unsicherem Boden lässt sich ihr Wert nur dadurch einschätzen, dass man sie ausprobiert. Außerdem lässt sich die Argumentation teilweise mit ihren eigenen Mitteln angreifen. Es gibt Dinge in dieser Welt, die einen numerischen Anstrich haben und über das einfache Entenzählen hinausgehen. Nehmen wir als Beispiel das Konzept der Schulden – klar, dabei handelt es sich um eine menschliche Erfindung, doch sie erscheint uns sehr real, und in jedem Fall sollte man damit rechnerisch umgehen können. Das Rechnen mit Schulden, die letztendlich so etwas wie „negatives Geld“ bedeuten, erfordert, dass wir mit positiven und negativen Zahlen umgehen können.
Peter M. Higgins

7. Ein Blick in die Unendlichkeit

Zusammenfassung
Die Griechen hatten eine zwiespältige Einstellung gegenüber Zahlen. Sie wussten, dass die rationalen Zahlen nicht alles waren, zögerten andererseits aber, weit über die Quadratwurzeln hinauszugehen, die sich mit Längen in der euklidischen Geometrie identifizieren ließen. Gleichzeitig suchten sie nach einem besseren Verständnis der dritten Wurzeln, die nochmals auf einer anderen Hierarchieebene angesiedelt zu sein schienen. Sie zögerten, diese Ebene anzuerkennen, da sie keine befriedigende Möglichkeit sahen, mit diesen Zahlen zurechtzukommen. Außerdem gab es die quälende Frage nach dem Zahlenwert von π.
Peter M. Higgins

8. Anwendungen: Der Zufall

Zusammenfassung
Die Wahrscheinlichkeitstheorie gehört zu den Gebieten, die einen enormen Fortschritt gemacht haben, und zwar nicht nur in Bezug auf ihre theoretische Entwicklung, sondern auch hinsichtlich der allgemeinen Anerkennung ihrer Bedeutung. Einerseits spielt sie heute eine wichtige Rolle in der theoretischen Physik und den Wirtschaftswissenschaften, andererseits hat sie auch in den Schulunterricht vordringen können. Bis gegen Ende des 18. Jahrhunderts war die Wahrscheinlichkeitstheorie kein wirklich anerkannter Bereich der angewandten Mathematik. Obwohl der Zufall und die Glücksspiele schon seit Jahrtausenden für den Menschen von großer Bedeutung waren und trotz der Tatsache, dass Zahlen hierbei offensichtlich eine wichtige Rolle spielen, hielt man diesen Bereich für eine gründliche Untersuchung weder für reif noch würdig. Vielleicht hatte die Wahrscheinlichkeit in den Augen der Gelehrten immer den Makel, mit Glücksspielen assoziiert zu werden, und kam daher für eine ernsthafte Erforschung nicht in Frage. Außerdem sah man den Zufall als das genaue Gegenteil der Mathematik, die sich traditionell mit ewigen und strengen Wahrheiten beschäftigte. Was auch immer der Grund gewesen sein mag, die Wahrscheinlichkeitstheorie entwickelte sich schließlich zu einem der fruchtbarsten und aktivsten Forschungsgebiete mathematischer Untersuchungen und führt auch heute noch zu überraschenden Ergebnissen.
Peter M. Higgins

9. Die komplexe Geschichte des Imaginären

Zusammenfassung
Die Verwendung der Algebra ist kennzeichnend für die moderne Mathematik. Sieht man irgendwo ein x und y, weiß man, dass es hier um richtige Mathematik geht und nicht mehr nur um Arithmetik, also das reine Rechnen mit Zahlen. In der Schule werden mathematische Probleme, selbst solche in der Geometrie, meist auf Gleichungen reduziert, und ihre Lösung erfordert den Umgang mit algebraischen Symbolen nach den Regeln der Algebra, also den gewöhnlichen Rechenregeln, angewandt allerdings auf Symbole statt auf bestimmte Zahlen. Der häufige Gebrauch von Koordinatensystemen zur Behandlung räumlicher Probleme unterstreicht die Tendenz, alles so schnell wie möglich auf Gleichungen und später auf Zahlen zurückzuführen. Sogar der Satz des Pythagoras – die Summe der Quadrate über den kürzeren Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse – wird gewöhnlich in einer Gleichung zusammengefasst: a 2 + b 2 = c 2. Diese Art des Denkens war den Griechen in der Antike vollkommen fremd.
Peter M. Higgins

10. Vom Imaginären zum Komplexen

Zusammenfassung
Die zweite Hälfte des 16. Jahrhunderts ist durch einen raschen und deutlichen Aufschwung der Mathematik gekennzeichnet. Ungefähr zu dieser Zeit kam die Entwicklung der modernen Disziplin Mathematik in vollen Gang. Die Wissenschaftler suchten und sicherten den Fortschritt an vielen Fronten, und dieser Prozess hält bis auf den heutigen Tag an. Neben dem allgemeinen Gebrauch der Dezimalzahlen stammen aus dieser Zeit auch die ersten Ansätze zur Verwendung von Logarithmen durch Scot John Napier (1550–1617). Hierbei handelt es sich um ein praktisches Hilfsmittel, das noch bis vor 25 Jahren in den Wissenschaften in Gebrauch war. Logarithmen nutzen die Potenzgesetze, um komplizierte Multiplikationen und Divisionen in einfachere Additionen und Subtraktionen umzuwandeln, und der Rechenschieber setzt dies physikalisch um. Heute erscheinen sie wunderlich und überholt, doch im 17. Jahrhundert halfen Logarithmentafeln den Astronomen, die Umlaufbahn des Mondes zu berechnen, und im Jahr 1969 ermöglichten sie es sogar einem Menschen, auf dem Mond herumzulaufen.
Peter M. Higgins

11. Die Zahlengerade unter dem Mikroskop

Zusammenfassung
In Kap. 7 haben wir gesehen, dass die reelle Zahlengerade ein dicht gepacktes Gemisch aus rationalen und irrationalen Zahlen bildet. Angenommen, wir könnten die rationalen Punkte blau und die irrationalen Punkte rot färben, was würden wir sehen? Zwischen je zwei blauen Punkten gäbe es rote Punkte und zwischen je zwei roten Punkten gäbe es blaue Punkte, also könnte man erwarten, dass der Gesamteindruck einem gleichförmigen Lila entspricht. Andererseits bilden die blauen Punkte nur eine abzählbare Menge, die im Vergleich zu den verbliebenen blauen Punkten vom Maß null ist, also sollte die rote Farbe die blaue bei weitem übertreffen und die letztere praktisch unsichtbar machen. Keine der beiden Interpretationen hält einer genaueren Prüfung stand, denn wir können dieses Grenzverhalten, über das wir spekulieren, durch kein physikalisches Experiment annähern. Wir müssen die Zahlengerade mit mathematischen Konzepten untersuchen.
Peter M. Higgins

12. Anwendungen der Zahlentheorie: Codes und Public-Key-Kryptographie

Zusammenfassung
Geheimcodes oder Chiffren gehören zu den Dingen, von denen die Fantasie der Menschen magisch angezogen wird, besonders die der Kinder. Für ein Kind scheint es nur wenig zu geben, was man ganz für sich hat, ohne Zugriff der Erwachsenen und die Gefahr, es weggenommen zu bekommen. Die Möglichkeit einer eigenen Kommunikation mit ein oder zwei vertrauten Freunden, die niemand anders verstehen kann, gehört zu den wenigen Dingen, bei denen man sich in einer Welt fühlen kann, in die noch nicht einmal die Eltern eindringen können.
Bis vor Kurzem lagen die wichtigsten Anwendungen von Geheimcodes im militärischen Bereich. Mittlerweile werden aber auch vielfältige Codierungsformen in der elektronischen Informationsübertragung verwendet. Einiges, wie die Übertragung persönlicher Daten, ist immer noch geheim und geschützt, doch vieles ist auch öffentlich zugänglich und dient bevorzugt dem weltweiten freien Datenaustausch.
Peter M. Higgins

13. Für Kenner und Feinschmecker

Zusammenfassung
Dieses letzte Kapitel soll einige der mathematischen Hintergründe beleuchten, die mit den Behauptungen im eigentlichen Text zusammenhängen. Der Schwierigkeitsgrad dieser Bemerkungen und das notwendige Vorwissen sind sehr unterschiedlich, doch die meisten Leser sollten zumindest von einigen der Anmerkungen etwas profitieren können. Anders als in den übrigen Kapiteln mache ich hier jedoch ungezwungenen Gebrauch von dermathematischen Notation und Symbolik, und gelegentlich erfordern einige Abschnitte auch auf Seiten des Lesers eine gewisse Vertrautheit mit den betreffenden Aspekten der Mathematik.
Peter M. Higgins

Backmatter

Weitere Informationen

Premium Partner

    Bildnachweise