Das mengentheoretische Unabhängigkeitsphänomen

Georg Cantor führte Ende des 19. Jahrhunderts die unendlichen Mengen ein. Er entwickelte die Idee, dass man nach ‚unendlich‘ weiterzählen kann und benutzte dafür unendliche Ordinalzahlen. Ebenso untersuchte er, wie man die Größe unendlicher Mengen mit Hilfe unendlicher Kardinalzahlen vergleichen kann. Er bewies, dass es mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen gibt und mutmaßte, dass es keine Menge gibt, die größer ist als die Menge der natürlichen Zahlen und gleichzeitig kleiner als die Menge der reellen Zahlen: die Kontinuumshypothese. Auf Cantors Ergebnisse aufbauend wurde die Mengenlehre von Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel in der Theorie ZFC axiomatisiert. Diese axiomatische Theorie ist jedoch, wie viele andere auch, von den Gödelschen Unvollständigkeitssätzen betroffen, bewiesen von Kurt Gödel. Insbesondere gibt es Aussagen, die in der Theorie ZFC weder beweisbar noch widerlegbar sind – und dazu gehört auch die Kontinuumshypothese.

Dieses Kapitel führt wichtige Begriffe des mengentheoretischen Unabhängigkeitsphänomens ein, z. B. formale Sprachen, formale Theorien, Axiome, Beweisbarkeit in einer Theorie und Modelle einer Theorie. Außerdem erläutert es den engen Zusammenhang zwischen Syntax und Semantik (Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik erster Stufe, Löwenheim-Skolem-Theorem). Anschließend wenden wir uns dem Unabhängigkeitsbeweis der Kontinuumshypothese zu. Ein Unabhängigkeitsbeweis einer mengentheoretischen Aussage besteht aus der Konstruktion von zwei Modellen der Theorie ZFC, einem Modell, in dem die Aussagen wahr ist, und einem Modell, in dem die Aussage falsch ist. In Bezug auf die Kontinuumshypothese hat Kurt Gödel das innere Modell L definiert, in dem CH wahr ist. Paul Cohen hat anschließend ein Forcingmodell konstruiert, in dem CH falsch ist. Cohens Forcingkonstruktion besteht aus vier Teilbeweisen. In einem Teilbeweis muss gezeigt werden, dass aus einem abzählbaren Modell ein etwas größeres Modell gebaut werden kann, in dem es mindestens \(\aleph _2\) viele reelle Zahlen gibt. Diesen Schritt sehen wir uns in diesem Kapitel genauer an. Mehrere Abbildungen veranschaulichen die Erklärungen.

Um das mengentheoretische Unabhängigkeitsproblem in der Philosophie der Mengenlehre zu beschreiben, ist es sinnvoll zwischen dem Unabhängigkeitsphänomen und dem Unabhängigkeitsproblem zu unterscheiden. Das Unabhängigkeitsphänomen besteht aus den zugrundeliegenden mathematischen Tatsachen. Aber ein Unabhängigkeitsproblem entsteht erst durch die Frage, warum manche Aussagen, wie \(2+2=4\) oder ‚Es gibt mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen‘, als wahre mathematische Aussagen, andere dagegen, wie die Kontinuumshypothese, weder als wahre noch als falsche Aussagen gelten. Eine zentrale philosophische Frage lautet: Ist letztendlich doch eine Entscheidung darüber möglich, ob die Kontinuumshypothese wahr oder falsch ist? Monisten glauben an diese Möglichkeit, Pluralisten hingegen nicht.